第04讲 随机事件、频率与概率（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

随机事件、频率与概率 第04讲 4大知识点 6大题型 核心考点 2026 2025 2024 随机事件与概率 _______ 全国一卷T15（1）（5分） 全国甲卷（文）T4（5分） 全国甲卷（理）T16（5分） 全国甲卷（理）T17（2）（8分） 全国II卷T14（5分） 考情分析 本节属于概率基础知识，高考既可以设置选择、填空小题，也可作为解答题的基础片段进行考查。命题重点集中在随机事件关系辨析、频率与概率理解、互斥与对立事件的概率简单求解。整体在全国卷中以基础题为主，难度偏易，侧重概念理解，常结合简单现实情境命题，是概率统计大题的必备前置知识。 复习目标 1.了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性，理解概率的含义，能够区分频率与概率，明晰二者的联系与差异。 2.理解事件的包含、相等、互斥、对立等关系，掌握并事件、交事件的运算，能完成事件关系的简单辨析与转化。 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识点1随机试验、样本空间与随机事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点1随机试验、样本空间与随机事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点1随机试验、样本空间与随机事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1随机试验、样本空间与随机事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点1随机试验、样本空间与随机事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1随机试验、样本空间与随机事件 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2事件之间的关系 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2事件之间的关系 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点2事件之间的关系 解 析 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点2事件之间的关系 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2事件之间的关系 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3事件的运算 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点3事件的运算 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点3事件的运算 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点3事件的运算 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点3事件的运算 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点3事件的运算 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点4频率与概率 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点4频率与概率 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点4频率与概率 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 知识点4频率与概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点4频率与概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【例1-1】 题型1随机事件与样本空间 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1随机事件与样本空间 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例1-2】 题型1随机事件与样本空间 解 析 故选：BD 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-1】 题型1随机事件与样本空间 解 析 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-2】 题型1随机事件与样本空间 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1随机事件与样本空间 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-3】 题型1随机事件与样本空间 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1随机事件与样本空间 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1随机事件与样本空间 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-1】 题型2随机事件之间的关系与运算 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2随机事件之间的关系与运算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2随机事件之间的关系与运算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-2】 题型2随机事件之间的关系与运算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2随机事件之间的关系与运算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 事件运算识图法 方法技巧 易错点 题型2随机事件之间的关系与运算 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-1】 题型2随机事件之间的关系与运算 解 析 故选：D 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-2】 题型2随机事件之间的关系与运算 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-1】 题型2随机事件之间的关系与运算 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-2】 题型2随机事件之间的关系与运算 解 析 故选：D 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例3-1】 题型3频率估计概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3频率估计概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例3-2】 题型3频率估计概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3频率估计概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-1】 题型3频率估计概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-2】 题型3频率估计概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3频率估计概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-3】 题型3频率估计概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3频率估计概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例4-1】 题型4随机事件的概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4随机事件的概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例4-2】 题型4随机事件的概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4随机事件的概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-1】 题型4随机事件的概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-2】 题型4随机事件的概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-3】 题型4随机事件的概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4随机事件的概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例5-1】 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例5-2】 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 互斥对立判别法 方法技巧 易错点 题型5互斥事件与对立事件的判断 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-1】 题型5互斥事件与对立事件的判断 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-2】 题型5互斥事件与对立事件的判断 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-3】 题型5互斥事件与对立事件的判断 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5互斥事件与对立事件的判断 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例6-1】 题型6利用互斥事件与对立事件计算概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6利用互斥事件与对立事件计算概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例6-2】 题型6利用互斥事件与对立事件计算概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 互斥对立概率公式 方法技巧 易错点 题型6利用互斥事件与对立事件计算概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-1】 题型6利用互斥事件与对立事件计算概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-2】 题型6利用互斥事件与对立事件计算概率 解 析 故选：B 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-3】 题型6利用互斥事件与对立事件计算概率 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6利用互斥事件与对立事件计算概率 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【1】 解 析 故选：B 04 真题溯源・考向感知 【2】 解 析 故选：C 04 真题溯源・考向感知 【1】 解 析 故选：C 05 课本典例・高考素材 91 【2】 解 析 05 课本典例・高考素材 92 解 析 05 课本典例・高考素材 93 【3】 解 析 05 课本典例・高考素材 94 【4】 05 课本典例・高考素材 95 解 析 05 课本典例・高考素材 96 解 析 05 课本典例・高考素材 97 【5】 05 课本典例・高考素材 98 解 析 05 课本典例・高考素材 99 解 析 05 课本典例・高考素材 100 【6】 05 课本典例・高考素材 101 解 析 05 课本典例・高考素材 102 解 析 05 课本典例・高考素材 103 【7】 05 课本典例・高考素材 104 05 课本典例・高考素材 105 解 析 05 课本典例・高考素材 106 解 析 05 课本典例・高考素材 107 解 析 05 课本典例・高考素材 108 解 析 05 课本典例・高考素材 109 【8】 05 课本典例・高考素材 110 解 析 05 课本典例・高考素材 111 解 析 05 课本典例・高考素材 112 1.随机试验 对随机现象的实现和观察称为随机试验（简称试验），一般用字母表示，满足三个特征：①可以在相同条件下重复进行；②所有可能结果明确可知，且结果不止一个；③每次试验恰好出现其中一个结果，但事前无法确定出现哪一个。 2.样本空间与样本点 （1）样本点：随机试验每一个可能的基本结果。 （2）样本空间：全体样本点构成的集合，常用表示；样本点常用表示。 若试验有个结果，则，称为有限样本空间。 3.随机事件、确定事件 （1）随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件；只含一个样本点的事件叫基本事件。当子集内某个样本点出现，称该事件发生。 （2）必然事件：本身，每次试验一定发生。 （3）不可能事件：空集，不包含任何样本点，每次试验都不会发生。 （4）确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 在下列事件中，随机事件是（   ） A．物体在只受重力作用下会自由下落 B．若是实数，则 C．若，则 D．函数（，且）是上的增函数 选项中的事件为必然事件，错误； 选项中的事件为不可能事件，错误； 选项中的事件为不可能事件，错误； 选项中的事件当时，发生；时，不发生，为随机事件，正确． 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确，对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确，对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确.故选：C 设为同一试验下的两个事件 1.包含关系：若事件发生，则事件一定发生，称包含（或包含于），记作：（或）。 注：任何事件都包含不可能事件。 2.相等关系：若且，则事件与事件相等，记作。 3.互斥事件：事件与不能同时发生，即，称与互斥。 推广：若中任意两个都互斥，则称这些事件彼此互斥。 4.对立事件：与在一次试验中有且仅有一个发生。满足，且；叫作的对立事件。 互斥与对立的关系：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件； “对立”“互斥”；互斥是对立的必要不充分条件，对立是互斥的充分不必要条件。 由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以. 同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球（标号为和），个黑色球（标号为、和），从袋中不放回地依次随机取出个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与互斥 C．与对立 D． 对于A，“摸到的两球均为白色或均为黑色”，“摸到的两球一个是白球，一个是黑球”，则，，与为对立事件，A错误；对于B，与不能同时发生，与互斥，B正确；对于C，“两次摸到的都是白球或一个是白球，一个是黑球”，则，与对立，C正确；对于D，“摸到的两球均为白色或均为黑色”，则，D正确. 1.并事件（和事件） 事件发生或事件发生，即至少一个发生，叫作与的并事件。记作：（也记）。 2.交事件（积事件） 事件与事件同时发生，叫作与的交事件。记作：（也记）。 某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲未中奖”，事件为“乙未中奖”，事件“至少有一人中奖”，表示“甲中奖乙未中奖”或者“乙中奖甲未中奖”或者“甲乙同时中奖”； 对选项A，表示事件和事件同时发生，即“甲乙同时中奖”，故A错误；对选项B，表示事件或事件发生，即至少有一人中奖，故B正确；对选项C，表示事件和事件 同时发生，即“甲乙都未中奖”，故C错误；对选项D，表示事件和事件同时发生，即“甲中奖且乙未中奖”，故D错误. （多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中， “至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中， 故，，，. 1.频数、频率 在次重复试验中，事件发生的次数叫作频数； 事件发生的频率：。 2.概率定义 大量重复同一试验时，事件发生的频率会在某个常数附近摆动，这个常数就是事件发生的概率，记作。 3.频率的稳定性 随着试验次数增大，频率偏离概率的幅度会缩小，事件发生的频率逐渐稳定于概率。 小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误； B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误；C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确． 某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； （2025·广东河源·模拟预测）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件D．若任取，则是必然事件 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 由题意，得表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为， 因此前次检测到的都是正品，第次检测到的是次品， （2026·山东聊城·模拟预测）（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． （2025·河南驻马店·二模）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 由事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，则， 又由事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，则 （2025·吉林长春·一模）（多选）已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 ，又由事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则，所以可以为2或3. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 （2025·河北衡水·二模）在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6，若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小，每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的个位数字，则所有的可能结果为： ， ， ， ， 此时最小为，所以选中的方格中，的4个数之和最小，为. （2026·山西太原·二模）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机，另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 设样本空间为对于A：因为事件，互斥，则. 可得，所以是必然事件，故A正确； 对于BC：因为， （2025·辽宁大连·模拟预测）（多选）记，分别为事件，的对立事件，如果事件，互斥，那么（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与互斥 D． 可知当且仅当，即事件，对立时，， 但题干中并没有说明，不一定是不可能事件，即与不一定互斥，故选项BC不一定正确；对于D：因为，所以，故D正确. 借助韦恩图辅助理解包含、相等、并、交、差事件。牢记符号含义：（发生或发生），（同时发生）。先翻译文字描述，转化为集合符号；化简事件表达式，区分“或”“且”对应的运算，避免并事件、交事件符号混用。 由已知得，事件， 事件， 所以事件， （2025·湖南常德·一模）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件用样本点表示为（　　） A． B． C． D． 至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，故A，C正确；事件B与D是互斥事件，故，故B正确，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表 示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D错误， （2025·江苏徐州·模拟预测）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． （2026·山西太原·二模）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生. （2025·安徽滁州·一模）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． （2026·广东汕头·三模）、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用，，，，，，，表示获胜；，表示获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每个随机数作为一组. 例如，产生组随机数： ，据此估计获胜的概率为（    ）． 共有组随机数，其中，表示B获胜， 则获胜的概率约为 A． B． C． D． （2025·河南商丘·二模）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_________（精确到0.1）． 在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率； 观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可. 设黑球个数为，则，得，故袋中约有黑球个 （2025·海南三亚·二模）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的6个红球，2个黄球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量的重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中约有黑球_____个. （2025·贵州铜仁·模拟预测）为了解某中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道 由题意可以估计回答问题（1）的学生有人，其中有人回答“是”．因此回答问题（2）的人中有40人回答“是”．由此可以估计这人中有人闯过红灯． 回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（     ） A．40人 B．80人 C．160人 D．200人 （2026·江西上饶·模拟预测）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 设事件为 “甲获胜”，20组随机数，其中事件发生了18次， . 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 （2025·浙江湖州·一模）如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（     ） A． B． C． D． 由图可知，第5日和第8日的空气质量指数大于， 则天中有两天空气质量为重度污染， 所以所求概率为． 从1，2，3中随机抽取2个不同的数，共有3种等可能的情况： ①抽取1，2，则，剩余数为3，此时； ②抽取1，3，则，剩余数为2，此时； （2025·吉林白山·二模）从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（    ） A．1 B． C． D．0 ③抽取2，3，则，剩余数为1，此时； 在总共3种等可能的情况中，满足的情况有2种，因此． 从中随机取两个不同的数有，，，，，，，，，，共种情况， 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 所以所求的概率为． （2025·广西钦州·模拟预测）从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数，则样本空间，共有个样本点，则，所以，则．故与事件至少有一个发生的概率为. （2026·湖南衡阳·三模）用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为_________． 设6盒牛奶依次编号为1、2、3、4、5、6，规定1、2为中奖牛奶； 从6盒中随机抽取2盒，所有可能的组合为，，，，，，，，，，，，， （2026·湖南永州·一模）某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． ，，共有15种抽取方法，其中能中奖的组合为，，，，，，，，，共有9种抽取方法；则能中奖的概率. 掷一枚质地均匀的骰子的样本空间， 对于选项A，骰子的最大点数为，不可能出现， （2025·河南郑州·二模）掷一枚质地均匀的骰子，下列判断错误的是（    ） A．事件“出现的点数为7”是不可能事件 B．事件“出现的点数大于3”是随机事件 C．事件“出现的点数为奇数”与“出现的点数为5”是互斥事件 D．事件“出现的点数为奇数”与“出现的点数为偶数”是对立事件 因此“出现点数为”是不可能事件，该判断正确； 对于选项B，掷骰子前无法确定结果是否大于, 可能出现、、，也可能出现、、，符合随机事件的定义，该判断正确；对于选项C，“出现点数为”时，点数同时满足“为奇数”的条件，两个事件可以同时发生，不符合互斥事件“不能同时发生”的要求，该判断错误； 对于选项D，掷出的点数要么是奇数、要么是偶数，两个事件不能同时发生，且必然有一个发生， 符合对立事件的定义，该判断正确. 对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与 （2026·山东东营·二模）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 事件C同时发生，所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生，所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误；对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 第一步判断是否互斥：，两事件不能同时发生；第二步判断对立：不仅互斥，且。对立一定互斥，互斥不一定对立。 做题先找交集是否为空集，再检验是否构成全部样本空间，避开“互斥就是对立”的误区。 （2025·云南玉溪·二模）（多选）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（   ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 因为表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误； 因为表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，所以表示后两次测试成绩均不及格，故B正确； 表示同时发生，即表示三次测试成绩均及格，故C正确；表示测试成绩均不及格，所以表示三次测试成绩均不及格，故D正确； （2025·山东济南·三模）已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 袋子中只有2个红球、2个白球，一次摸出3个球，结果只能是“1红2白”或“2红1白”，所以“恰有1个红球”，“恰有2个红球”，“至少有1个白球”=（必然事件），“都是白球”=（不可能事件）.与互斥且，二者对立；、，均不互斥；与满足但，故互斥但不对立的是与. （2025·河北秦皇岛·二模）（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” “甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意；“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥，同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意；“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥，且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C 不合题意；“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥，例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 对于选项A，根据对立事件的概率公式，得，故选项A正确； 对于选项B，因为，所以，故选项B正 （2025·湖南邵阳·一模）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 确；对于选项C，根据概率的加法公式，得，故选项C错误；对于选项D，因为事件互斥，所以， 因此，故选项D正确. ，是互斥事件，，， . （2025·山东济宁·三模）设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（   ） A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 互斥事件加法公式：若，；对立事件：。正面情况多、计算繁琐时优先用对立事件转化；使用加法公式前先验证互斥，没有互斥关系不能直接相加，防止公式滥用。 因为为互斥事件，则， 所以. （2025·江苏连云港·二模）已知A、B为互斥事件，且，则______． 可知. （2025·河南三门峡·三模）设随机事件，满足，，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 （2025·四川宜宾·模拟预测）某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（    ） 结合题意与表格中的数据可知，该城市一年空气质量达到优或良的概率为. A． B． C． D． 设事件A为不用现金支付，则 （2018·全国III卷·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. （2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D．与相等 包含的结果有：(正，反)，(反，反)，对于AB，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，AB错误； 对于C，，C正确； 对于D，事件与事件不是同一个事件，D错误． （1）如果,那么,, 所以, （2）如果A,B互斥,那么, 所以, 已知. （1）如果，那么___________，___________； （2）如果A，B互斥，那么___________，___________. 如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字. (1)用表格表示试验的所有可能结果； (2)列举下列事件包含的样本点：A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为2”. （1）该试验的所有可能结果如下表： 蓝骰子点数 黄骰子点数 1 2 3 4 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （2）A包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）； B包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）； C包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）. 如图，由A，B两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况. (1)写出试验的样本空间； （1）A，B两个元件中每个元件都有正常（用1表示）或失效（用0表示）两种可能结果：故该试验的样本空间可以表示为； （2）对串联电路，只有当A，B都正常时电路才是通路，故M包 (2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点； (3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点. 含的样本点为； （3）对并联电路，只有当A，B都失效时电路才是断路，故N包含的样本点为. 据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下： 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 频率 （1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）； 解：（1）总人数：7704+10765+8970+3049=30488， ，，， 如表： 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 （2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？ 频率 0.253 0.353 0.294 0.100 （2）由（1）知H省O型血的频率为0.294，所以相应概率大约是0.294. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表： 父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB 解：当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为， 当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为， 当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为， 当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为， 填入表中，如表所示： 父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB 型血的概率为，型血的概率为. 所以一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型基因类型的可能结果如下：，，，共16个， 则他们的子女的血型是型血的概率为，型血的概率为， 在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% （1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； （2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在 （1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母， 其中元音字母出现频数和频率如下表，A出现38次，频率为：5.97% E出现96次，频率为：15.07%I出现47次，频率为：7.38% O出现52次，频率为：8.16%U出现12次，频率为：1.88% （2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为 差异的原因是什么. 统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小. $