考点03 多边形与圆、圆与圆的位置关系9题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级下册

考点03 多边形与圆、圆与圆的位置关系 考点一：圆内接四边形 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆，四个顶点共圆称为四点共圆。 性质一：对角互补：圆内接四边形ABCD的对角互补：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。注意：互补的是对角，不是邻角。 性质二：外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角，等于它的内对角。例如延长BC至E，则∠DCE＝∠A。原理：∠DCE＋∠BCD＝180°，∠A＋∠BCD＝180°，同角的补角相等。 四点共圆的判定（证明题常用）：满足下列条件之一，即可判定四点共圆。 （1）四边形一组对角互补； （2）四边形的一个外角等于它的内对角； （3）两个点在一条线段同侧，且对这条线段的张角相等（同弧所对圆周角相等的逆用）。 考点二：正多边形和圆 正多边形与圆的关系：把圆n（n≥3）等分，顺次连接各分点，得到圆内接正n边形；这个圆是正多边形的外接圆，正多边形同时有内切圆。 四个专有名词（必须分清）　 中心O：外接圆的圆心； 半径R：外接圆半径，即中心到顶点的距离； 中心角：相邻两条半径的夹角，每条边对应一个中心角； 边心距r：中心到正多边形一边的距离（即弦心距，垂直于边）。 角度公式：中心角＝（与正n边形的一个外角相等）；内角＝。 核心计算模型（重中之重）：半径R、边心距r、边长的一半a/2构成直角三角形，勾股定理是正多边形一切计算的基础。R2 = r2 + ( )2 对称性与相似：正n边形是轴对称图形，有n条对称轴，都经过中心；n为偶数时还是中心对称图形（对称中心为外接圆圆心），n为奇数时仅轴对称。边数相同的正多边形彼此相似：周长比＝半径比＝边心距比＝相似比，面积比＝相似比的平方。 考点三：圆与圆的位置关系 五种位置关系：设两圆半径分别为R、r（R≥r），圆心距为d。两圆的位置关系由d与R＋r、R－r的大小共同决定。 两条重要性质：相切两圆（外切或内切）：连心线经过切点，两圆心与切点三点共线；相交两圆：连心线垂直平分公共弦（辅助线：相交常连公共弦）。 位置关系 公共点个数 数量关系（R≥r） 公切线条数 图示 外离 0 d＞R＋r 4 外切 1（切点） d＝R＋r 3 相交 2 R－r＜d＜R＋r 2 内切 1（切点） d＝R－r 1 内含 0 d＜R－r（同心圆时d＝0） 0 题型一：直接求圆内接四边形角度（基础） 看到顶点都在圆上的四边形，第一时间在图上标注对角互补关系。 1．如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵A，B，C，D是上的四点， ∴， ∵， ∴． 2．如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ． 3．如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 4．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴. 5．圆内接四边形中，，则______． 【答案】 【详解】解：∵圆内接四边形的对角互补， ∴，， ∵， ∴设，则，， 将上述角度代入，得， 解得， ∴， 将代入，得． 6．在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 【答案】45或135 【详解】解：如图， ∵半径为，弦， ∴，， ∴， ∴， 当点C在优弧上，如图中的点，则； 当点C在劣弧上，如图中的点，则， ∴， 综上，或． 题型二：圆内接四边形外角模型求角 外角模型优先用“外角＝内对角”，比补角计算更快。 7．如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ． 是的直径， ， ， ， ． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． 8．如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在优弧上取一点E，连接，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 又， ． 9．如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵为四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴． 10．如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线，若，则________． 【答案】32 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三：圆内接四边形综合证明（证角相等／证四点共圆） 同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是90°。 优先找一组对角互补，其次找同侧张角相等。 11．如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】(1)证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ， ， ． 12．如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点是上的一动点（不与点，点重合），连接． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②设，的弧长为，求关于的函数关系式． 【详解】(1) 证明：∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵， ∴， 解得； ②连接， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接． (1)试说明：； (2)求证：平分； (3)若，，且经过圆心，求的长． 【详解】(1)解：是的直径，弦， 由垂径定理可得， ； (2)证明：是的直径，弦， 由垂径定理可得， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 即平分； （3）解：如图所示： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， 经过圆心，即为的直径， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， 是的直径， ， 在中，由勾股定理可得． 14．四边形内接于圆O，为直径，连接，已知． (1)求的度数； (2)如图2，过点D作交延长线于点E，连接． ①求证：， ②若，，求的长． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：将绕着点B按顺时针方向旋转得到， 则， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 15．阅读与思考．在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． (2)点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 【详解】(1)①证明：是等腰直角三角形，， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ， ，即， 在和中 ， ． ②， ， 是等腰直角三角形 ，也就是， ∴，即 在中， ③证明： ． ． 根据对角互补的四边形四个顶点共圆， 四点共圆． （2）解：， 在中， ， ，是等腰直角三角形， ， 四点共圆， ， 过点作于， 是等腰直角三角形， 在中， ， ． 题型四：求正多边形中心角、内角、边数 16．（24-25九年级下·上海宝山·阶段检测）如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是___________度 【答案】 【详解】解：正边形的中心角为，由于个外角的和为，所以每一个外角为， 因此正边形的中心角与外角相等， 所以它的中心角是度， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·上海·期中）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为___． 【答案】 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 18．（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 19．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为________ 【答案】 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 20．（2024·上海普陀·二模）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【详解】（1）解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接， ∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴（两直线平行，内错角相等），，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接、、、，过点作于点， ∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， 和都等于旋转角，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 整理得：； ②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下， 如图，由①过程得：，，， ∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， ∴也是一个正多边形的中心角， ∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形， ∴这两个正多边形也是相似多边形， ∵当这两个正多边形的面积比是时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这两个正多边形的中心角， ∴这两个正多边形的边数， ∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为． 题型五：边长、半径、边心距互求（必考） 21．一个圆的内接正六边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为_______． 【答案】 【详解】解：如图，六边形是的内接正六边形，连接，， 则， 又∵， ∴是等边形三角形， ∴，即圆的半径为2． 如图，四边形是的内接正方形，连接，， 则， 又， ∴， 即该圆的内接正方形的边长为， 故答案为：． 22．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 【答案】 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是． 23．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为______． 【答案】 【详解】解：连接，作， ∵边长为2的正六边形内接于， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∴它的内切圆半径为； 故答案为： 24．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为_____． 【答案】4 【详解】解：设该圆半径为， 如图1，∵为等边三角形， ∵， ∴；， ∴内接正三角形的面积； 如图2，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积， ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：4． 25．边长为3的正六边形的边心距为____ 【答案】 【详解】解：在正六边形中，连接，作于点M， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 即边长为3的正六边形的边心距为， 故答案为： 题型六：正多边形面积 26．同圆的内接正三角形与内接正六边形面积的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设的半径为R，如图所示： 作于M，于N，连接、、； 则，， ∵是的内接正三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴的面积， 同理：，，， ∴正六边形的面积， ∴的内接正三角形与正六边形的面积之比为． 故选：B． 27．（2024·上海·模拟预测）由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______ 【答案】 【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1， ∴小正六边形的面积为： ， 故答案为：． 28．（24-25九年级下·上海·阶段检测）周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：设周长为，则正方形的边长为，正六边形的边长为， ∴， 对于正六边形，由6个等边三角形组成，分割出一个等边，过点O作于点D， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七：判断两圆位置关系（基础） 找R、找r、算d，再与R＋r、R－r比较。 29．（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 30．（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【详解】解：和的半径分别是5和7，且，， A、当时，，两圆内切，有1个公共点，故A错误； B、当时，，两圆相交，有2个公共点，故B错误； C 当时，，两圆内含，没有公共点，故C错误； D 当时，，两圆相交，有2个公共点，故D正确． 31．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】解：由于两圆的半径长之比为， 设两圆半径分别为 厘米， 厘米，其中 ， 当两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差，且内切时圆心距为 9 厘米， ， 解得， 厘米、厘米， 厘米、厘米， 圆心距为厘米，满足， 此时两圆位置关系为相交． 32．（2025·上海静安·二模）已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【详解】解：∵和的半径分别是5和7， ∴． A、，则与内切，有一个公共点，故该选项错误； B、，且，则与相交，有两个公共点，故选项错误； C、，当时，与内含，没有公共点，故选项错误； D、时，，则与相交，有两个公共点，故选项正确． 故选：D． 题型八：已知两圆相切求参数（分类讨论） 已知位置关系求参数，必须分类讨论——“相切”包含外切与内切两种情况。 33．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵点在内，点在外， ∴的半径的取值范围为， 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是，即， ∴， 解得， 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是，即， ∴， ∴， 综上可知，的半径的取值范围是或， 故选：C． 34．（24-25九年级下·上海·阶段检测）半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为______． 【答案】5或1 【详解】解：∵两圆的半径分别为2和3， 若两圆内切，则两圆的圆心距为：； 若两圆外切，则两圆的圆心距为：； ∴两圆的圆心距为5或1． 故答案为：5或1． 35．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是___________． 【答案】2或10 【详解】解：设圆的半径为． 若两圆外切，则圆心距，解得． 若两圆内切，则圆心距． 由于半径为正数，解，得或 解得或， 因为半径为正数， 所以． 因此，圆的半径为或． 故答案为：2或10． 36．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：设半径为， ∵与都内切， ∴，， ∵， ∴当时，，， ∴， 根据三角形三边关系，任意两边之差的绝对值小于等于第三边， ∴， ∴不成立，此情况无解； 当时，，， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，符合条件； 当时，，， 则，不成立，此情况无解． 综上所述，半径的取值范围是． 37．（2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 如果与外切，则的长为的半径长， 在中，， ∴， ，，， 四边形为矩形， ， ， 当时，最短， 根据三角形面积公式可得，此时， ， 当点无限接近点时，此时， ， 即的半径长r的取值范围是． 38．（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 【答案】或 【详解】解：如图，过点O作于点E，交于点F， ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，点是的重心， ∴ ∵以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切 当与外切时，如图，当点D在点E处时， ∴， ∴的半径取得最小值，即的长度； 如图，当点D在点A处时， ∴， ∴的半径取得最大值，即的长度8； ∴； 当与内切时，如图，当点D在点E处时，与的延长线交于点H， ∴， ∴的半径取得最小值，即的长度； 如图，当点D在点A处时，与的延长线交于点I， ∴， ∴的半径取得最大值，即的长度16； ∴． 综上所述，的半径的取值范围是或． 题型九：已知两圆相交求圆心距或公共弦长 连心线垂直平分公共弦，设半弦长，列勾股方程。 39．（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：设和相交于点，，连接，，，，，设与相交于点，如图所示： 设， 的半径是5，的半径是6．圆心在上， ，，，， ，， 在△和△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ． 故选：B 40．（2024·上海·模拟预测）若相交两圆的半径分别为4和5，公共弦长为6，两圆圆心距长为______． 【答案】 【详解】解：大圆圆心到公共弦的距离为：， 小圆圆心到公共弦的距离为：， ∵两圆相交， ∴两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的两侧， ∴两圆的圆心在公共弦的同侧时，两圆圆心距长为， 两圆的圆心在公共弦的两侧时，两圆圆心距长为， 故答案为： 41．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是__________． 【答案】或 【详解】如图，，，， ∵公共弦长为， ， ， ， ∴①当公共弦在两个圆心之间时，圆心距， ②当公共弦在圆心的同侧时，圆心距， 故这两个圆的圆心距是或． 故答案为：或． 42．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为__________． 【答案】或 【详解】解：设  与  交于点 ，则  为  的中点，且  ，当点  与点  位于点  异侧时，如图所示： 由于 ，故 ， 在  中，，，由勾股定理得 ， 在  中，，，由勾股定理得 ， ∴； 当点  与点  位于点  同侧时，如图所示： 同理可得； 综上所述：  的长度为  或 ； 故答案为   或 ． 43．（2025·上海·二模）相交两圆的圆心距为d．如果较小圆的一条半径在公共弦的一个端点处与大圆相切，且这条半径所在直线与连心线的夹角为，那么两圆连心线被截得的较短线段的长度为_________（用d和表示）． 【答案】 【详解】解：如图，为的公共弦，，是的切线，，，则：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理，得：， ∴； 故答案为：． 44．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， (1)如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 【答案】(1)y关于x的函数解析式为，定义域为 (2)或 【详解】（1）解：连接， ∵的直径， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴ ∵, ∴， ∴y关于x的函数解析式为，定义域为； （2）解：作，垂足为M， ∵是的弦， ∴． 设两圆的公共弦与相交于H，则垂直平分． ∴ 当点E在线段上时，， ∴， ∴， ∴． 当点E在线段上时，， ∴ ∴． ∴． 一、单选题 1．（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵正边形的中心角总和为， ∴每个中心角为， ∵正边形的内角和为， ∴每个内角为， 根据题意得， 解得， ∴这个正多边形是正八边形． 2．（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【详解】解：∵该正多边形的中心角为， ∴边数， ∴该多边形为正六边形． A、边数为，结论正确，故选项不符合题意； B、正六边形每个外角为，结论正确，故选项不符合题意； C、∵正六边形可被中心与顶点的连线分为个全等的等边三角形，正多边形的半径为等边三角形的边长， ∴正六边形的边长等于半径，边长与半径的比为，结论错误，故选项符合题意； D、正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，结论正确，故选项不符合题意． 3．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 4．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 5．（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 由与相交得的半径满足不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】解：的半径长为，，与相交， 的半径满足不等式：， 解得：， 故选：C． 6．（2025·上海·模拟预测）在锐角三角形中，，它的外接圆的半径长为若点是边的中点，以点为圆心的圆和圆相交，那么圆的半径长可以是（   ） A．2 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴其外接圆的圆心在的垂直平分线上． 设的中点为，连接，，， 则，． 已知外接圆的半径，设，则， 在中，根据勾股定理，即， 解得， ∴，，， 过作， 是中点， ∴，， 为中点 点为圆心的圆和圆相交 符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是正______边形． 【答案】五 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴这个多边形的边数为， 故这个多边形是正五边形． 8．正六边形的半径是2，则其内切圆半径是______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于点G，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴即其内切圆半径是． 故答案为： 9．（2026·上海虹口·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 【答案】 【详解】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为， 设正六边形的边长为， ∴ ， 解得． 则正六边形的边长为3． 10．（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 【答案】 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意得， 解得， ∴该正多边形为正八边形，如图正八边形，连接，，，交于点O，过点A作于I， ∵半径为2 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴正八边形的面积． 11．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于________． 【答案】 【详解】解：如图所示， ∵正八边形的中心为点， ∴正八边形所有顶点都在以为圆心的同一个圆上， 正八边形的中心角为，顶点之间各间隔1条边，相邻两点对的中心角为，且三点共线，是中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴． 12．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，那么点在旋转过程中经过的路径长为______米（结果保留）． 【答案】 【详解】解：在矩形中，， 根据勾股定理，得， 由旋转的性质可知，旋转角为，点的运动路径是以为圆心，为半径的圆弧， 根据弧长公式，代入，得：（米）． 13．（2025·宁夏银川·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为______ ． 【答案】 【详解】解：设半径为r，由题意得，， 解得， 六边形是的内接正六边形， ， ， 是正三角形， ， 弦所对应的弦心距为， 故答案为： 14．（2024·上海·模拟预测）如图．点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，的余弦值为____． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆， ∴，，，， ∴， ∴， 同理， ∴， 作的平分线交于点F，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 过点F作于点G，则， ∴． 故答案为： 15．（2026·上海浦东新·二模）如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为_____ ． 【答案】12 【详解】解：连接，如图， ∵，分别为的内接正六边形与内接正三角形的一边， ∴，， ∴， ∴． 16．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知矩形中，，以点为圆心，为半径作，交的延长线于点，连结．再以点为圆心，为半径作．若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：当交点在点时，此时与相切，， ∵与相切，，， ∴， 又∵以为半径， ∴． 此时取得了大值为2， 即的最大值为2； 如图，当交点在边上时，， 此时取得了小值为， 即的最小值为； 综上所述：，即 故答案为：． 17．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 18．（2025·上海·模拟预测）在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C___________（填写“内”“上”或“外”）． 【答案】外 【详解】解：设的半径为，的半径为，与内切于点D，交射线于点E， 则点D在延长线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在外． 故答案为：外． 三、解答题 19．（2026·上海松江·模拟预测）如图，已知是半圆的直径，点、在半圆上，，联结． (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的值． 【详解】(1)证明：如图1，联结， ， ． ， ， ， ； （2）解：如图2，联结，交于点， ， ， 是半径， 是的中点，， 又∵是的中点， ． 如图2，过点作于点， 是的中点，， ∵是半圆的直径， ． 设的半径为，则，． 在 中，． 在 中，． 在 中，， ， 解得 或（不合题意，舍去）， ， ； （3）解：如图3，联结，交于点． 为的内接正边形边长， ∴． 为的内接正边形边长， ∴． ， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，． ． ， ． ， ， ， ， ． ， ， ． 设，，则． 在和中， ， ， 即， ， 解得（负数已舍）． ． 在和 中， ， ， 即， ， 20．（2024·上海·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 【详解】(1)证明：连接，记交于点K，在上取点Q，使得， 对于矩形，由题意得，最长，或最短， ∵四边形的特征值为， ∴或， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是直径， ∴矩形是正方形， ∴中心角： ∵的特征值为1， ∴或或， ∴为等腰三角形， 若底边不与腰相等，则则不满足特征值为1， ∴为等边三角形， ∴中心角：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴ ∴； （2）解：当时，则， ∴正边形中心角为， 而中心角与外角相等，故外角， ∴每一个内角为钝角， 画出正边形的局部，如图： 设内角，外角， ∵， ∴， 设正边形的半径为， 由题意得：， 过点A作，， 由中心角等于外角得，， ∴， 则， 而， ∴， 化简得：， ∴， 当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式， ∴综上，y关于x的函数解析式为：； （3）解：连接，过点作于点， 由旋转得，， 设， ∴以线段为边的正多边形边数为， ∴以线段为边的正多边形同中心点C，同边数， ∴以线段为边的正多边形是双同正多边形， 当两个正多边形面积比为时， 则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 设， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴双同正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形，如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴则最长距离为，最短距离为， ∴特征值为：． 21．（2026·上海虹口·三模）如图1，已知是半圆O的直径，点D为延长线上一点，点B为上一点，连接交半圆O于点E，点P为半径上一点，连接． (1)如果，求证：； (2)如图2，，，如果是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)当时，如果，，平分，求的长． 【详解】(1)证明：连接、，如图， 根据圆的半径相等可知：， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点B、E、O、P四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ （2）解：连接，如图， ∵， ∴设，，即，， 设圆的半径为r，即，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形内接于圆O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得： （负值舍去）， ∴，即， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴，即， ∴，解得， 即， 根据是以为腰的等腰三角形，分情况讨论： 当时，过点E作于点M，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴； 当时， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或； （3）解：连接，过点B作于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴ ，，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵四边形内接于圆O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， 解得， 即， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴ ， 又∵， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴，即 ， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴ ． 22．（2025·上海·模拟预测）已知E为x轴正半轴上一点，交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，P点为劣弧上一个动点（点P不与B，C重合），且，． (1)如图1，连接，取的中点G，连接，，则与具有怎样的关系？并求的最大值； (2)如图2，连接，，，其中与y轴交于点F，平分交于点Q； ①求点Q的运动路径长； ②记，，求y关于x的函数关系式； (3)如图3，连接，，，求证：定值． 【详解】（1）解：与具有的关系为：，，理由如下： 由题意得：为的直径，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴当取得最大值时，取得最大值． ∵直径是圆中最长的弦， ∴当为圆的直径时，最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为4， ∴的最大值为2； （2）解：①连接，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵P点为劣弧上一个动点（点P不与B、C重合）， ∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，2为半径，圆心角为的， ∴点Q的运动路径长； ②连接，如图， 由①知：，， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在的延长线上取一点H，使，连接，，，   过点A作于点K，如图， 由题意得：为的直径，， ∴， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 多边形与圆、圆与圆的位置关系 考点一：圆内接四边形 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆，四个顶点共圆称为四点共圆。 性质一：对角互补：圆内接四边形ABCD的对角互补：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。注意：互补的是对角，不是邻角。 性质二：外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角，等于它的内对角。例如延长BC至E，则∠DCE＝∠A。原理：∠DCE＋∠BCD＝180°，∠A＋∠BCD＝180°，同角的补角相等。 四点共圆的判定（证明题常用）：满足下列条件之一，即可判定四点共圆。 （1）四边形一组对角互补； （2）四边形的一个外角等于它的内对角； （3）两个点在一条线段同侧，且对这条线段的张角相等（同弧所对圆周角相等的逆用）。 考点二：正多边形和圆 正多边形与圆的关系：把圆n（n≥3）等分，顺次连接各分点，得到圆内接正n边形；这个圆是正多边形的外接圆，正多边形同时有内切圆。 四个专有名词（必须分清）　 中心O：外接圆的圆心； 半径R：外接圆半径，即中心到顶点的距离； 中心角：相邻两条半径的夹角，每条边对应一个中心角； 边心距r：中心到正多边形一边的距离（即弦心距，垂直于边）。 角度公式：中心角＝（与正n边形的一个外角相等）；内角＝。 核心计算模型（重中之重）：半径R、边心距r、边长的一半a/2构成直角三角形，勾股定理是正多边形一切计算的基础。R2 = r2 + ( )2 对称性与相似：正n边形是轴对称图形，有n条对称轴，都经过中心；n为偶数时还是中心对称图形（对称中心为外接圆圆心），n为奇数时仅轴对称。边数相同的正多边形彼此相似：周长比＝半径比＝边心距比＝相似比，面积比＝相似比的平方。 考点三：圆与圆的位置关系 五种位置关系：设两圆半径分别为R、r（R≥r），圆心距为d。两圆的位置关系由d与R＋r、R－r的大小共同决定。 两条重要性质：相切两圆（外切或内切）：连心线经过切点，两圆心与切点三点共线；相交两圆：连心线垂直平分公共弦（辅助线：相交常连公共弦）。 位置关系 公共点个数 数量关系（R≥r） 公切线条数 图示 外离 0 d＞R＋r 4 外切 1（切点） d＝R＋r 3 相交 2 R－r＜d＜R＋r 2 内切 1（切点） d＝R－r 1 内含 0 d＜R－r（同心圆时d＝0） 0 题型一：直接求圆内接四边形角度（基础） 看到顶点都在圆上的四边形，第一时间在图上标注对角互补关系。 1．如图，A，B，C，D是上的四点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 4．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 5．圆内接四边形中，，则______． 6．在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 题型二：圆内接四边形外角模型求角 外角模型优先用“外角＝内对角”，比补角计算更快。 7．如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 10．如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线，若，则________． 题型三：圆内接四边形综合证明（证角相等／证四点共圆） 同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是90°。 优先找一组对角互补，其次找同侧张角相等。 11．如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点是上的一动点（不与点，点重合），连接． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②设，的弧长为，求关于的函数关系式． 13．如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接． (1)试说明：； (2)求证：平分； (3)若，，且经过圆心，求的长． 14．四边形内接于圆O，为直径，连接，已知． (1)求的度数； (2)如图2，过点D作交延长线于点E，连接． ①求证：， ②若，，求的长． 15．阅读与思考．在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． (2) 点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 题型四：求正多边形中心角、内角、边数 16．（24-25九年级下·上海宝山·阶段检测）如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是___________度 17．（23-24九年级上·上海·期中）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为___． 18．（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 19．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为________ 20．（2024·上海普陀·二模）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 题型五：边长、半径、边心距互求（必考） 21．一个圆的内接正六边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为_______． 22．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 23．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为______． 24．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为_____． 25．边长为3的正六边形的边心距为____ 题型六：正多边形面积 26．同圆的内接正三角形与内接正六边形面积的比是（   ） A． B． C． D． 27．（2024·上海·模拟预测）由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______ 28．（24-25九年级下·上海·阶段检测）周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为___________． 题型七：判断两圆位置关系（基础） 找R、找r、算d，再与R＋r、R－r比较。 29．（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 30．（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 31．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 32．（2025·上海静安·二模）已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 题型八：已知两圆相切求参数（分类讨论） 已知位置关系求参数，必须分类讨论——“相切”包含外切与内切两种情况。 33．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 34．（24-25九年级下·上海·阶段检测）半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为______． 35．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是___________． 36．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 37．（2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 38．（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 题型九：已知两圆相交求圆心距或公共弦长 连心线垂直平分公共弦，设半弦长，列勾股方程。 39．（2025·上海松江·二模）已知的半径是5，的半径是6．圆心在上．那么两圆的公共弦长是（    ） A． B． C．10 D．12 40．（2024·上海·模拟预测）若相交两圆的半径分别为4和5，公共弦长为6，两圆圆心距长为______． 41．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是__________． 42．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为__________． 43．（2025·上海·二模）相交两圆的圆心距为d．如果较小圆的一条半径在公共弦的一个端点处与大圆相切，且这条半径所在直线与连心线的夹角为，那么两圆连心线被截得的较短线段的长度为_________（用d和表示）． 44．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， (1)如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 一、单选题 1．（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 2．（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 3．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 4．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 5．（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·上海·模拟预测）在锐角三角形中，，它的外接圆的半径长为若点是边的中点，以点为圆心的圆和圆相交，那么圆的半径长可以是（   ） A．2 B．5 C．8 D．10 二、填空题 7．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是正______边形． 8．正六边形的半径是2，则其内切圆半径是______． 9．（2026·上海虹口·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 10．（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 11．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于________． 12．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，那么点在旋转过程中经过的路径长为______米（结果保留）． 13．（2025·宁夏银川·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为______ ． 14．（2024·上海·模拟预测）如图．点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，的余弦值为____． 15．（2026·上海浦东新·二模）如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为_____ ． 16．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知矩形中，，以点为圆心，为半径作，交的延长线于点，连结．再以点为圆心，为半径作．若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是______． 17．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 18．（2025·上海·模拟预测）在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C___________（填写“内”“上”或“外”）． 三、解答题 19．（2026·上海松江·模拟预测）如图，已知是半圆的直径，点、在半圆上，，联结． (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的值． 20．（2024·上海·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 21．（2026·上海虹口·三模）如图1，已知是半圆O的直径，点D为延长线上一点，点B为上一点，连接交半圆O于点E，点P为半径上一点，连接． (1)如果，求证：； (2)如图2，，，如果是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)当时，如果，，平分，求的长． 22．（2025·上海·模拟预测）已知E为x轴正半轴上一点，交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，P点为劣弧上一个动点（点P不与B，C重合），且，． (1)如图1，连接，取的中点G，连接，，则与具有怎样的关系？并求的最大值； (2)如图2，连接，，，其中与y轴交于点F，平分交于点Q； ①求点Q的运动路径长； ②记，，求y关于x的函数关系式； (3)如图3，连接，，，求证：定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $