第十七章 因式分解（复习课件）数学新教材人教版八年级上册

第十七章 因式分解 复习课件 人教版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 能识别因式分解，分清因式分解与整式乘法的互逆变形关系； 会判断公因式，识别平方差、完全平方式的结构特征。 02 工具掌握 熟练掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）分解因式； 会综合两种方法进行因式分解，分解到不能再分解为止。 深化理解 理解因式分解的变形逻辑，掌握整体换元思想； 能根据多项式形式，合理选择分解方法，规范书写分解步骤。 思想与应用 会运用因式分解进行简便计算、代数式求值； 体会转化、整体思想，能用因式分解解决简单的代数问题。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.准确识别公因式，处理好提取公因式后括号内剩余项的符号、系数为1的情况。 2.辨别平方差、完全平方式的结构，找准公式中的 a、b，灵活套用公式。 3.综合分解顺序：先提公因式，再用公式，容易漏掉先提公因式这一步。 4.分解因式要分解彻底，容易出现分解不彻底、中途停止的错误。 5.处理符号问题，如、负号提取、添括号变号。 1.理解因式分解的概念，分清因式分解与整式乘法是方向相反的变形。 2.掌握提公因式法，会准确找出多项式各项的公因式，正确提取公因式分解因式。 3.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，会用公式法分解因式。 4.能综合运用提公因式法、公式法分解因式，分解到不能再分解为止。 5.会把多项式中的整体看成字母，换元运用公式分解因式。 4 知识图谱 整式的乘法 提公因式法 因式分解 乘法公式 公式法 相反变形 特殊形式 相反变形 5 考点串讲 ——1：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.因式分解与整式乘法的关系：互逆关系 整式乘法 因式分解 示例 区别 积化和差 和差化积 联 系 6 考点串讲 ——1：因式分解 要点提醒： （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，其中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 归纳总结 7 考点串讲 ——2：用提公因式法分解因式（基础考点） 1．公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2．怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“”，则公因式的符号一般为负． 8 考点串讲 ——2：用提公因式法分解因式（基础考点） 3．提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4．提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 示例 9 考点串讲 ——2：用提公因式法分解因式（基础考点） 要点提醒： （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 归纳总结 10 考点串讲 ——3：用公式法分解因式（核心考点） 1．公式法定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 2．用平方差公式分解因式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． （1）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 11 考点串讲 ——3：用公式法分解因式（核心考点） 2．用平方差公式分解因式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． （2）适用条件： ①多项式是两项式； ②两项都能写成一个整式的平方形式； ③两项的符号相反（一正一负）。 （3）应用步骤： ① 确定公式中的  和 （ 、可以是单项式、多项式）； ② 代入公式写成的形式； ③ 检查是否分解彻底。 12 考点串讲 ——3：用公式法分解因式（核心考点） 3.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （1）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 13 考点串讲 ——3：用公式法分解因式（核心考点） 3.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （2）适用条件： ①多项式是三项式； ②首尾两项是两个整式的平方形式（符号相同）； ③中间项是首尾两项底数乘积的 2 倍（符号可正可负）。 14 考点串讲 ——3：用公式法分解因式（核心考点） 4.提公因式与公式法综合运用： （1）核心步骤： 第一步：优先提取公因式 观察多项式各项是否有公因式（包括单项式公因式和多项式公因式），先提取公因式，简化多项式形式。 注意：首项系数为负时，先提负号，括号内各项要变号。 第二步：套用公式分解 提取公因式后，观察剩余因式的结构： *若为两项式且符合 “平方差” 特征（a2−b2），用平方差公式分解； *若为三项式且符合 “完全平方” 特征（a2±2ab+b2），用完全平方公式分解。 第三步：检查分解彻底性 分解后需确认每个因式都不能再分解（有理数范围内），避免半途而废。 15 考点串讲 ——3：用公式法分解因式（核心考点） 4.提公因式与公式法综合运用： （2）典型题型： 类型 1：提公因式 + 平方差公式 特征：多项式含公因式，提取后剩余因式是两项平方差形式。 类型 2：提公因式 + 完全平方公式 特征：多项式含公因式，提取后剩余因式是三项完全平方形式。 类型 3：提多项式公因式 + 公式法 特征：公因式是多项式，提取后剩余部分仍可套公式。 16 考点串讲 ——3：用公式法分解因式（核心考点） 4.提公因式与公式法综合运用： （3）常见易错点： ①跳过提公因式，直接套公式 ②提取公因式后漏项 ③分解不彻底 17 考点串讲 ——4：用其他方法分解因式（了解） 1.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 特征:对于二次三项式当存在， 则 （其中，，） 18 考点串讲 ——4：用其他方法分解因式（了解） 2.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解这种方法叫分组解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特征:一般来说，对于四项式、五项式、六项式往往采用分组分解法。常见的以四项式为主。 19 题型全解 题型01 因式分解的定义 例1下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【解析】解：A．，不是因式分解，故不符合题意； B．是因式分解，符合题意； C．是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意； D．中含有分式，不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． B 20 题型全解 题型01 因式分解的定义 例2以下变形不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，需满足两个核心条件：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式的积的形式 ∴对各选项逐一分析： 选项A：左边是单项式，不满足“对象为多项式”的要求，因此该变形不是因式分解； 选项B：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解； 选项C：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解； 选项D：左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义，是因式分解，故选：A A 21 题型全解 方法总结 总结： 1. 看结果是否为积的形式：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积。若结果仍是和差形式（如才对，而 不对），则不是因式分解。 2. 看是否为整式且恒等：各因式必须是整式（分母不含字母），且分解前后必须恒等变形。最后需检查是否分解彻底（每个因式不能再分解）。注意与整式乘法的区别。 题型01 因式分解的定义 题型全解 题型02 已知因式分解的结果求参数 例3若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【解析】解：首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． C 23 题型全解 题型02 已知因式分解的结果求参数 例4已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【解析】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. B 24 题型全解 方法总结 总结： 解题核心： 利用因式分解与整式乘法互逆，将分解结果展开后与原式对比系数。 基本方法：1.将右边的因式乘积按整式乘法展开;2.与左边原多项式的对应项系数对比;3.列方程（组）求解参数 常见类型： 1.已知 ，求 、 ， 2.已知分解结果含参数，求原式中的未知系数 展开对比 3.已知多项式能被某因式整除，求参数 设商式，利用恒等关系 关键技巧： 1.对应项系数必须一一相等 2.注意常数项、一次项、二次项分别对比 3.若有多个参数，需列方程组求解 易错提醒： 展开时不要漏项；系数对比时注意符号。 题型02 已知因式分解的结果求参数 题型全解 题型03 用提公因式法分解因式 例5将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【解析】解：将多项式分解因式时，应提取的公因式是． C 26 题型全解 题型03 用提公因式法分解因式 例6已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【解析】解：∵，， ∴ ． C 27 题型全解 方法总结 解题核心： 找准公因式，一次提净。 解题步骤： 第一步：确定公因式——系数取最大公约数，字母取相同字母最低次幂 第二步：将公因式提到括号外 第三步：原多项式除以公因式，商写在括号内 第四步：检查括号内是否还有公因式，是否可继续分解 常见情形： 1.单项式公因式：直接提取 2.多项式公因式：把多项式看作整体提取 3.需变形后提取：，统一底数后再提 要点提醒： 1.某项就是公因式时，提取后剩“1”，不能漏写 2.首项系数为负时，一般先提负号，括号内各项变号 3.公因式要提“全”提“净” 题型03 用提公因式法分解因式 题型全解 题型04 用公式法分解因式 例7下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【解析】解：完全平方公式的结构为， ∵ 对于选项A，，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式因式分解，∴ 选项A符合题意； 对于选项B，，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项C，若符合完全平方公式，中间项应为，原式中间项为，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项D，的常数项为负，两个平方项符号不同，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意. A 29 题型全解 题型04 用公式法分解因式 例8把因式分解的结果是________． 【解析】解：：原式 ， 故答案为：． 30 题型全解 方法总结 解题核心： 识别公式特征，准确套用。 平方差公式： 1.形式： 2.识别：二项式，两项异号，每项都能写成平方形式 3.步骤：确定 、 代入公式 检查是否还能继续分解 完全平方公式： 1.形式： 2.识别：三项式，有两项是平方项且同号，第三项是两底数积的2倍 3.步骤：确定首平方 、尾平方 验证中间项是否为 代入公式 要点提醒： 1.公式中的 、 可以是数、单项式或多项式，要整体看待 2.平方差分解后，若因式仍为平方差形式，要继续分解（如 ） 3.完全平方结果是一个因式的平方，不要写成两个不同因式 4.中间项不是2倍关系的不能用完全平方公式 题型04 用公式法分解因式 题型全解 题型05 综合提公因式法与公式法分解因式 例9因式分解： (1)； (2) 【解析】（1）解： （2）解： 32 题型全解 题型05 综合提公因式法与公式法分解因式 例10先因式分解，再求值：，其中，． 【解析】解： ， 当，时， 原式 ． 33 题型全解 方法总结 解题核心： 先提公因式，再套公式，最后检查是否彻底。 解题步骤： 第一步：观察各项是否有公因式，有则先提取（提公因式法） 第二步：观察提取公因式后的多项式（或原式无公因式时），判断能否用公式 （1）二项式 考虑平方差 （2）三项式 考虑完全平方 第三步：套用公式分解 第四步：检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分为止 题型05 综合提公因式法与公式法分解因式 题型全解 方法总结 常见结构： 1.先提公因式后用平方差：如 2.先提公因式后用完全平方：如 3.提公因式后仍需多次用公式：如 要点提醒： 1.严格遵循“一提二套三查”的顺序 2.提公因式后不要忘记继续分解 3.分解必须彻底，每个因式在指定范围内不能再分解 题型05 综合提公因式法与公式法分解因式 题型全解 题型06 用十字相乘法分解因式 例11分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． D 【解析】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 36 题型全解 题型06 用十字相乘法分解因式 例12因式分解：_______ 【解析】解： ， 分解为 和 ， 将 分解为 和 ， 交叉相乘后相加得 ， 因此因式分解结果为 ， 验证：， 故答案为 ． 37 题型全解 方法总结 解题核心： 竖分两端，交叉验中，横写结果。 二次项系数为1型（）： 1.找两个数：积为常数项 ，和为一次项系数 2.分解结果：，其中 ， 3.常数项正：两数同号（与一次项系数同号） 4.常数项负：两数异号（大绝对值与一次项系数同号） 二次项系数不为1型（）： 1.二次项系数 分解为 （竖写左边） 2.常数项 分解为 （竖写右边） 3.交叉相乘之和 （一次项系数） 4.结果： 题型06 用十字相乘法分解因式 题型全解 方法总结 解题步骤： 第一步：分解二次项系数和常数项（尝试多种组合） 第二步：交叉相乘，验证是否等于一次项系数 第三步：验证通过后，横向写出两个因式 第四步：用整式乘法检验结果是否正确 要点提醒： 1.需要耐心尝试，因数分解方式和符号都可能调整 2.交叉相乘验证是关键步骤，不能省略 3.结果横向书写，不要写成对角线乘积 4.不是所有二次三项式都能在整数范围内十字相乘 题型06 用十字相乘法分解因式 题型全解 题型07 因式分解的应用 例13利用因式分解计算： (1)；(2)． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 40 题型全解 题型07 因式分解的应用 例14阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 41 题型全解 题型07 因式分解的应用 【解析】（1）解：， 当时，，，， 将101，11，9从大到小排列为101，11，9，所以生成的密码是101119． 答：所生成的密码为101119． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 42 题型全解 题型07 因式分解的应用 （2）解：， 当，时，，， 将28，21，14从大到小排列为28，21，14，所以生成的密码是282114． 答：生成的密码是282114． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 43 题型全解 方法总结 解题核心： 将多项式化为积的形式，利用积的特性解决问题。 1. 简便计算 提取公因数简化运算 平方差公式：，如 完全平方公式：如 关键：观察数字特征，凑成公式形式 2. 化简求值 先因式分解，再整体代入 已知 、等值，求 等 用完全平方变形 关键：分解后出现与已知条件相同的因式，整体代入不求单个变量 3. 整除问题 证明多项式能被某数整除 解出该因数 如 ，三个连续整数乘积必被6整除 关键：分解后分析因数的性质 题型07 因式分解的应用 题型全解 方法总结 4. 判断三角形形状 已知三边 、、 的关系式 因式分解变形 得到 （等腰）； 或 得到 直角三角形 关键：通过移项、因式分解将关系式化为“积为0”的形式 5. 解几何面积问题 用因式分解表示面积差、面积和 如大正方形减小正方形面积 关键：将面积代数式因式分解，转化为线段乘积 6. 解简单方程 方程右边化为0，左边因式分解 利用 或 求解 这是因式分解法解一元二次方程的基础 题型07 因式分解的应用 1．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 针对训练 解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． A 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 2．在对多项式进行因式分解时，提取的公因式为______． 针对训练 解：多项式的各项系数分别为，，，其最大公约数为，各项都含有的相同字母为，，其中的次数分别为，，，最低次数为，的次数分别为，，，最低次数为， 因此提取的公因式为． 针对训练 3．约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是___，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有___组． 解：根据“完美数组”定义，对于关于的完美数组，满足，，且，，均为正整数， 对等式因式分解得：， ∴ 或 ， ∵，，，均为正整数， ∴，不可能等于， ∴，整理得． 当时，则有，只有，符合条件， ∴关于的完美数组为； 针对训练 ∵关于正整数的“完美数组”为， ∴，． ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即， ∴，解得， ∵是正整数， ∴可取，共种取值，每种对应唯一符合条件的，因此共有组． 针对训练 解：（1）解： ； （2）解： ； 4．因式分解： (1) (2) (3) (4) 针对训练 （3）解： ； （4）解： ． 4．因式分解： (1) (2) (3) (4) 针对训练 5．【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 针对训练 （1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ． (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 针对训练 6．下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 解：由平方差公式， 含有因数3，5，17，不含因数7， 不能被7整除． C 针对训练 7．若为实数，且满足，则_______． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以． 故答案为：9 9 针对训练 8．计算：___． 解： 单元总结/易错复盘 ·分类规则 因式分解优先顺序：一提、二套； 先提取公因式，再判断能否用平方差、完全平方公式分解； 分解到每一个因式都不能再分解为止。 常用方法：提公因式法、公式法；可整体换元，把多项式看成一个整体进行分解。 ·核心概念 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，和整式乘法是互逆变形。 2.公因式：多项式各项都含有的相同因式，找公因式看系数最大公约数、相同字母最低次幂。 3.平方差公式：；完全平方公式：。 ·答题注意事项 区分因式分解与整式乘法，结果必须是整式相乘的形式，不能留有加减形式。 提取公因式后，括号里剩余项不要漏掉系数为1的项。 注意符号变化：提取负号时括号内各项全部变号。 看清式子结构，准确识别平方差、完全平方式。 必须分解彻底，能继续分解的因式要持续分解，不能中途停止。 57 人教版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $