第1章 04 1.4 空间向量的应用（能力提升）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）
1.4 空间向量的应用
知识易错易混
【知识导图】
【易错易混1】 求空间距离记错公式
例1 已知点A(1,1,1),直线l过原点O且一个方向向量为a=(0,1,2),则点A到直线l的距离为 ( )
A.
B.1 C.
D.
[答案] A
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[解析] 由题知
=(1,1,1),则点A到直线l的距离d=
=
=.故选A.
【易错易混2】 异面直线夹角取值范围出错
例2 已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-
,则l与α所成的角为 .
[答案] 30°
[解析] 设l与α所成的角为θ,∵cos<m,n>=-,∴sin θ=|cos<m,n>|=,又0°≤θ≤90°,∴θ=30°.
【易错易混3】 线面角、二面角取值范围出错
线面角的取值范围是
0,
,二面角的取值范围是[0,π].
例3 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,平面BA1C1与平面A1C1D1的夹角的余弦值为 .
[答案] 
-
[解析] 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图
所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),∴
=(0,2,0),
=(-1,2,0),
=(0,2,-1).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则
即
令y=1,得n=(2,1,2).设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=
=
=,即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.易知平面A1C1D1的一个法向量为m=(0,0,1),设平面BA1C1与平面A1C1D1的
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夹角为α,则cos α=|cos<m,n>|=
=
=,故平面BA1C1与平面A1C1D1的夹角的余弦值为.
解题方法拓展
【方法解读1】 空间平行关系的解题策略
| 几何法 | 向量法 |
线线平行 | 对于三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面α,β, (1)若l∥m,l∥n,则m∥n; (2)若l⊥α,m⊥α,则l∥m; (3)若l∥α,l⊂β,α∩β=m,则l∥m | 若两条不同的直线l,m的方向向量共线,则l∥m |
线面平行 | 对于两条不同的直线m,n和平面α, (1)若m⊥α,m⊥n,n⊄α,则n∥α; (2)若m⊄α,n⊂α,m∥n,则m∥α | 若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直且l⊄α,则l∥α |
面面平行 | 对于两条不同的直线l,m和两个不同的平面α,β, (1)若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,且l∩m=A,则α∥β; (2)若l⊥α,l⊥β,则α∥β | 若两个不同的平面α,β的法向量共线,则α∥β |
例4 如图, 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱DD1,C1D1的中点.求证:B1F∥平面A1BE.
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