第1章 01 1.1 空间向量及其运算（能力提升）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

 

1.1　 空间向量及其运算

知识易错易混

【知识导图】

【易错易混】 类比平面向量与空间向量概念

向量的两个要素:大小和方向.

例1 (多选题)下列命题是假命题的是 (　 )　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

A.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量

B.“|a|=|b|”是“向量a=b”的必要不充分条件

C.与实数类似,对于两个向量a,b,有a=b,a>b,a<b三种大小关系

D.若两个非零向量与满足+=0,则与共线

[答案] AC

[解析] 对于A,因为空间中任意两向量平移之后都可以共面,所以空间中任意两向量均共面,故A中命题是假命题;对于B,若|a|=|b|,则a和b的模相等,方向不一定相同,若a=b,则a和b的模相等,方向也相同,所以“|a|=|b|”是“向量a=b”的必要不充分条件,故B中命题为真命题;对于C,向量不能比较大小,只能对向量的模进行比较,故C中命题是假命题;对于D,因为+=0,所以=-,故与共线,故D中命题是真命题.故选AC.

解题方法拓展

【方法解读1】 空间向量线性运算的应用

空间向量的运算类似于平面向量的运算.向量加法运算的技巧是“首尾相接”,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;向量减法运算的技巧是“起点相同”,结果为减向量的终点指向被减向量的终点.

例2 在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD和BC的中点,化简下列各表达式.

(1)++;

(2)(+-).

解:(1)++=+++=+++=++=+=++==.

 (2)如图,分别取AB,AC的中点P,Q,连接PH,QH,AH,FH,则四边形APHQ为平行四边形,且=,=,+=,=,则(+-)=-=-=.

例3 如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=4,且∠A1AD=∠A1AB=60°,M为BD的中点,P为BB1的中点,设=a,=b,=c.

(1)用向量a,b,c表示向量;

(2)求线段PM的长度.

解:(1)因为M为BD的中点,P为BB1的中点,=a,=b,=c,

所以=+=+=-+(-)=--=(--)=(b-a-c).

(2)因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=4,且∠A1AD=∠A1AB=60°,所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=0,a·c=b·c=2×4×=4,

所以||2=(b-a-c)2=(b2+a2+c2-2a·b-2b·c+2a·c)=×(4+4+16-0-8+8)=6,

所以||=,即线段PM的长度为.

【方法解读2】 证明空间三点共线的思路

对于空间三点P,A,B,可通过下列结论来证明P,A,B三点共线: