4.2.1 指数函数的概念+4.2.2指数函数图象和性质（1）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

null 回顾与展望 函数的定义： 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 第1天，杰米支出1分钱，收入10万元。 第2天，杰米支出2分钱，收入10万元。 第3天，杰米支出4分钱，收入10万元。 第10天，杰米支出512分钱(5.12元)，收入10万元；共得100万元。 指数的故事-与百万富翁的交易 杰米是百万富翁。一天，他碰到上一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍。”杰米说：“真的？你说话算数？”合同开始生效了，杰米欣喜若狂。 1 1×2 1×2×2 1×29 到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得5千多(219)元。 杰米想：要是合同订两三个月该多好！可从24天起，情况发生了转变。 第24天，杰米支出8万多(223)元，收入10万元。 第28天，杰米支出134万多(227)元，收入10万元。 结果，杰米在一个月(31天)得到310万元的同时，共给韦伯2100多万元！杰米破产了。 一个人永远赚不到认知之外的钱。凭运气得来的钱，也会凭实力输掉。 从函数观点看 杰米收入：y=10x 韦伯收入： y=2x 4.2 指数函数 4.2.1 指数函数的概念 自主研读 P111~P115包括阅读与思考，梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 精读指数函数的定义，划出关键词（底数  的范围、自变量  的位置）。 为什么底数  必须大于0且不等于1？ 指数函数的定义域是什么？为什么？ 问题一：下列函数中，哪些是指数函数？请说明理由？  (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)   (7)  (8) ❌ √ √ √ ❌ ❌ ❌ ❌ 指数函数： 一般地，形如 y= a x(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量. 定义域为 R 与幂函数有什么区别？  幂函数： 问题二：指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数a范围为什么有此规定？  当  时，如 ，对于很多实数 ，函数值没有意义. 例如: ，则  在实数范围内不存在. 为了保证  取任意实数时， 都有意义（即定义域为 ），我们必须规定 . 当  时，函数变为 . 这是一个常值函数，其图像是一条平行于 x 轴的直线. 它不具有指数函数“变化”的核心特征（增长或衰减）.把它单独拿出来作为一个特殊的函数（常函数）研究更合适，因此我们从指数函数家族中将它“开除”. 当  时，若 ， ；若 ，如  无意义. 同样无法保证定义域为 ，且  的图像不连续、不美观，研究价值不大. 定义域为什么是 R 问题三：P115阅读与思考中：  一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩质量 其中Q0是该物质的初始质量 你能说明理由吗？ 它计算的是剩余量占总初始量的比例. 核心规律：每经过一个时间长度  t ，剩余量就乘以  分步看： 1. 经过时间 t 后，总共发生的“半衰”次数是  2. 因此，原始量Q0需要连续乘以  ，共 n 次 典例精析 由a2−3a+3=1得：a=1 （舍）或 a=2   所以 f(x) =2x   f(2) =4   典例精析 D 典例精析 P119 8 增长率模型 问题四：研究一个新函数的一般过程是怎样的？ 作函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质 4.2.2 指数函数的图象和性质 问题五： 试用描点法画出函数 的图象 0 1 1 0 1 1 将图象画在同一个坐标系内 问题六：观察图象，你能发现指数函数的哪些性质？  指数函数的图象和性质 图 象 性 质 x y o 1 x y o 1 R ( 0 , + ∞) 过定点 ( 0 , 1 )，即x=0时，y=1 当x＞0时，y＞1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时， 0＜y＜1当x＜0时， y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 (1)定义域 (2)值域 (3)定点 (5)函数值的分布情况 (4)单调性 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 左右无限上冲天， 永与横轴不沾边. 大 1 增，小 1 减， 图象恒过(0,1)点. 归纳总结 1.指数函数的概念： 一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R． 2.指数函数的图象与性质： 左右无限上冲天， 永与横轴不沾边. 大 1 增，小 1 减， 图象恒过(0,1)点. x y o 1 x y o 1 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 随堂小测 课本P115 1，2，3 课本P118 3 课后作业 课本P118 习题3.2 1 课本P119 2，4，5（2） 变式：若指数函数 的图象经过点，求 ． 例2：我国工农业总产值从 年到年的 年间翻了两番，设平均每年的增长率为 ，则有（    ） A． B． C． D． 例3：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元）， 每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 解：（1）根据题意可得 ； （2）由（1）可知，当 时， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴5期后的本利和约为 元． $