4.1.1 n次方根与分数指数幂课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将要学的指数函数.为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数. 良渚遗址：1936年首次发现，遗存物碳14残留量测定，存在时期为公元前3300年~2300年 考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识？ 回顾与展望 初中已经学过整数指数幂． 幂 指数 底数 读作“a的n次方”或“a的n次幂” 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂. 现需要把指数的范围拓展到全体实数 如何拓展？怎样运算？ 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指 数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 自主研读 P104~P106例2（不含），梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 1. n次方根的定义是什么？与平方根、立方根有什么关系？ 2. 根式中各部分名称是什么？的取值范围有什么限制？ 3. 分数指数幂是如何定义的？如何与根式互化？ 4. 有理数指数幂的运算性质与整数指数幂有什么异同？ 问题一：n次方根是如何定义的？  n 次方根： 一般地，如果 xn＝a，那么 x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N∗ 再次研读P104这几段 问题二：为什么奇数次方根总是只有一个（实数）答案，而偶数次方根却常常有两个（一正一负），还规定正的那个为算术根？这个规定是为了解决什么问题？ 这是由实数乘方的符号规律决定的. 正数的任何次方为正，负数的奇次方为负，负数的偶次方为正. 因此，对于正数 a： 求 xn＝a  （n为偶数）时，存在两个符号相反的数（如22＝4，(-2) 2＝4 ） . 求 xn＝a  （n为奇数）时，仅存在一个正数. 对于负数a ，只有n为奇数时，才存在一个负的实数x. 规定正的那个为算术根（即  的值），是为了保证运算结果的唯一性，让根号成为一个“函数”，方便研究和应用. 否则，一个符号会对应两个值，给运算带来混乱. 任意实数的偶次方都是非负的 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示表示，负的次方根用符号表示表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成. 负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0，记作 根指数 被开方数 根式 根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 根据次方根的意义，可得： 问题三：表达式  和  描述的是同一件事吗？ 是同一件事，但视角不同. 前者像一个“谜题”（什么数的 n 次方等于a？），后者像一个“答案”. 当你看到  时，你能立刻写出它背后对应的那个“谜题”方程吗？ 开方运算（）与乘方运算（）是互逆的 这种“互逆”关系很像加与减、乘与除的关系 一种运算总有对应的逆运算 问题四： 一定成立吗？  例如， 一定相等吗？  当n为偶数时 中，a 可以为任意实数 当n为偶数时 中，a 必须非负 问题五：分数指数幂是如何优雅地统一了所有n次方根的表示的？你觉得这种表示法最大的优点是什么？  分数指数幂： 这种表示法的最大优点是： 统一简洁：无需绘制复杂的根号，用上标即可表示任意次方根。 规则统一：分数指数幂可以完美地纳入整个指数运算法则体系（如：同底数幂相乘指数相加等），使得对根式的运算可以转化为更熟悉和更强大的指数运算. 注意：分数指数幂不可随意约分 有理指数幂运算性质： 与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定， 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义． 典例精析 (3) 典例精析 典例精析 典例精析 归纳总结 1. n次方根 (1)偶数 ：，算术根  (2)奇数 ：，符号与  相同 2. 分数指数幂（） 运算性质同整数指数幂 3. 思想方法 从特殊到一般（平方根→n次方根） 化归与统一（根式⇔分数指数幂） 随堂小测 课本P101 1，2，3 课本P109 习题4.1 2 √ × × × 课后作业 课本P127 习题4.1 1，4，5 (3)原式＝ ＝eq \f(3,2)－1－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(1,2). 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　) (2)分数指数幂af (m,n) eq \s\up15( ) 可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．(　　) (3)0的任何指数幂都等于0.(　　) (4)[(a－b)2] f (1,2) eq \s\up15( ) ＝a－b.(　　) $