4.1.1 n次方根与分数指数幂&4.1.2 无理数指数幂及其运算性质（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，涵盖n次方根、分数指数幂、无理数指数幂及其运算性质，通过课前预习的知识点梳理与诊断分析搭建旧知基础，课中探究分四个梯度探究点层层递进，形成完整学习支架。 其亮点是以“问题驱动+素养小结”贯穿教学，如探究点一结合绝对值性质辨析根式化简培养推理能力，数学文化融入展现指数发展历程培养数学眼光，助力学生循序渐进掌握知识，教师可直接使用系统资源提升教学效率。

4.1 指数 1 4.1.1 次方根与分数指数幂 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 2 探究点一 根式的化简与求值 探究点二 根式与分数指数幂互化 探究点三 实数指数幂的运算 探究点四 条件求值 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 通过对有理数指数幂,且；,为整数,且 、 实数指数幂,且； 含义的认识，了解指数幂的拓 展过程，掌握指数幂的运算性质. 4 知识点一 次方根 1. 次方根 （1）定义：一般地，如果，那么叫作 的_________，其中 ，且 . （2） 次方根的性质 次方根 为奇数 为偶数 ____ ______ 不存在 课 前 预 习 5 2.根式 （1）定义：式子____叫作根式,这里叫作根指数, 叫作被开方数. （2）性质:①当为奇数时,___;②当为偶数时, ____. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任意实数的偶次方根只有1个.( ) × [解析] 根据 次方根的定义知,负数没有偶次方根，0的偶次方根是0， 正数的偶次方根有2个. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）的5次方根有且只有一个，是 .( ) √ [解析] ,的5次方根有且只有一个，是 . （3） .( ) × [解析] . 课 前 预 习 8 知识点二 分数指数幂 1.正数的正分数指数幂 是的次方根,即______ . 2.正数的负分数指数幂和零的分数指数幂 （1）_ ___ . （2）0的正分数指数幂等于___. （3）0的负分数指数幂__________（0的0次幂无意义）. 0 没有意义 课 前 预 习 9 3.有理数指数幂的运算性质 （1）_____ ; （2）____ ; （3）______ . 课 前 预 习 10 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( ) √ （2） .( ) × （3）用分数指数幂表示 为 .( ) × （4） .( ) √ （5） .( ) √ （6） .( ) √ 课 前 预 习 11 知识点三 无理数指数幂 1.无理数指数幂____（, 为无理数）是一个确定的实数. 2.实数指数幂的运算性质 （1）_____ ; （2）____ ; （3）______ . 课 前 预 习 12 探究点一 根式的化简与求值 例1（1）计算下列各式的值: ① ____； [解析] . ② _______； [解析] . 课 中 探 究 13 例1（1）计算下列各式的值: ③ ______. [解析] . （2）化简： _____. [解析] . 课 中 探 究 14 （3）化简: . 解：， . 课 中 探 究 15 变式（1）化简下列各式： ① ； 解：原式 . ② . 解：当 时， ; 当 时， . 课 中 探 究 16 （2）若，求实数 的取值范围. 解： ， 由，可知，， 故实数 的取值范围为 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 根式化简与求值的思路及注意点 （1）思路：用根式的性质将根式化简,首先要分清根式为奇次根式还 是偶次根式，解题时要注意公式的适用范围,特别是在化简含有字母 的根式时要注意字母的取值范围. （2）注意点：①正确区分<m></m>与<m></m>两式；②运算时注意变形、 整体代换，以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用， 必要时要进行讨论. 课 中 探 究 18 探究点二 根式与分数指数幂互化 例2（1）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A,,故A正确; 对于B, ,故B错误; 对于C,,故C正确; 对于D, ,故D错误.故选 . √ √ 课 中 探 究 19 （2）设，将 写成分数指数幂的形式为___. [解析] . （3）若,,则 化为根式的形式为_ ____. [解析] . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 在解决根式与分数指数幂互化的问题时,关键是熟记根式与分数指数 幂的转化公式<m></m>和<m></m>,其中字母<m></m>要使式子有 意义. 课 中 探 究 21 变式 （多选题）[2026·沈阳五校高一期中]下列根式与分数指数幂的 互化中，正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 中 探 究 22 [解析] 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D正确.故选 . 课 中 探 究 23 探究点三 实数指数幂的运算 例3 计算下列各式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 课 中 探 究 24 例3 计算下列各式： （3） . 解：原式 . 课 中 探 究 25 变式 化简与求值. （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 课 中 探 究 26 变式 化简与求值. （4） . 解：原式 . 课 中 探 究 27 ［素养小结］ （1）基本原则:式子里既有指数幂又有根式时,一般把根式统一化为 指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简. （2）常规方法:①化负指数幂为正指数幂;②化根式为分数指数幂;③ 化小数为分数. 课 中 探 究 探究点四 条件求值 例4（1）已知 ，则 ① ____； [解析] 两边平方，得 ， 所以 . 课 中 探 究 29 例4（1）已知 ，则 ② _____； [解析] 两边平方，得 ， 所以 . 课 中 探 究 30 例4（1）已知 ，则 ③ ____. [解析] 因为 ， 所以 . 课 中 探 究 31 （2）已知,,且,求 的值. 解：. 因为, , 所以 , 又,所以 , 所以 . 课 中 探 究 32 变式（1）若，则 _ ___. [解析] 因为，所以，即 ， 两边平方得，故 . 因为， 所以 ，则 . 课 中 探 究 33 （2）若，， ，求 的值. 解： ， ， ， ， 原式 . 课 中 探 究 34 ［素养小结］ 解决此类问题的一般步骤： 课 中 探 究 35 指数幂的发展历程 14世纪法国数学家奥雷姆 在《比例算 法》（约1360年）中，分别用和来表示和 ，用我们 今天的记号来表达，就是， ，由此可知，奥雷 姆已经知道方根与分数指数幂的关系. 16世纪德国数学家斯蒂菲尔 在《整数算 术》（1544年）中，将幂指数从非负整数推广到负整数，建立了如 表1所示的指数与幂之间的对应关系——用我们今天的记号来表达， 就是 .这是历史上负整数指数幂的最早使用.但斯蒂菲尔没有 将幂指数推广到分数的情形. 数 学 文 化 36 表1 指数 … 0 1 2 3 … 幂 … 1 2 4 8 … 16世纪荷兰数学家、工程师斯蒂文 在 《十进算数》（1585年）中，将分数写在圆圈内，表示一个未知的 分数指数幂.如 表示 .这是最早使用分数指数记号的数学家. 17世纪荷兰数学家吉拉尔.， 在《代数新 发明》（1629年）中，将分数写在一个数的前面，表示这个数的分 数 学 文 化 37 数指数幂.如表示 .奥雷姆、斯蒂文和吉拉尔如何发现方根与 分数指数幂之间的关系，并无文献记载. 17世纪英国数学家沃利斯 在《无穷算数》 （1655）中给出负数指数幂和分数指数幂的运算，从而将正整数指 数幂的运算律推广到了任意有理数指数幂. 1637年，法国数学家笛卡儿（， 年）开 始用符号表示正整数幂，在他的《几何学》一书中，用 代表 ，用代表 . 数 学 文 化 17世纪，英国数学家牛顿（， 年）在其通 信（1676年）中，用，，等表示，，等，用 ， ，等表示,,等，并在十八世纪初，开始使用 表示任意 实数指数幂.这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数. 数 学 文 化 课后习题 40 1.若有意义，则 是( ) A.正偶数 B.正整数 C.正奇数 D.整数 [解析] 被开方数为负数时只能开奇数次方，所以 为正奇数.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 2.下列关于 的形式的运算正确的是( ) A. B. C. D. [解析] ，A正确，B，C错误； ，D错误.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 3.下列各式正确的是( ) A. B. C. D. [解析] ， ，故A错误； ，故B错误； ,， 当 为奇数时，， 当为偶数时， ，故C错误； 成立，故D正确.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 4.[2026·黑龙江龙东十校高一阶段练] 等于( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知， .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 5.若，则 的值是( ) A.2 B.3 C.2或3 D.2或 [解析] ①当 时，由非零实数的0次幂为1， 得 解得； ②当时，，符合题意. 综上， 或 ，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 6.（多选题）下列各式的值相等的是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 [解析] 对于A， ，不符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C， ，符合题意； 对于D，，，不符合题意．故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 7.计算： （1） ___; [解析] 原式 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 7.计算： （2） __. [解析] 原式 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 8.[2025·台州二中高一月考] 已知，则 _______. [解析] 因为 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9.（13分）[2026·镇海中学高一期中] 求值: （1） ； 解： . （2） . 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 10.当有意义时，化简 的结 果是( ) A. B. C. D. [解析] 因为有意义，所以，则， 则 ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 11.（多选题）已知 ，则( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 对于A，因为 ， 所以，显然，所以 ， 故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为，所以 ， 所以，所以 ， 故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 12.经过化简，可得恒等式（其中， ）， 则 __. [解析] 依题意，，而， 所以 , ， 又,，所以,，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 13. ____. 56 [解析] 原式 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 14.（15分） （1）①已知，，求 的值； 解：由，，可得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 ②已知，求 的值. 解：因为， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 14.（15分） （2）已知,是方程的两个根,求 的值. 解： 由根与系数的关系得, , 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 15.（多选题）高中数学教材必修第一册第110页第10题告诉我们，当 越来越大时，也越来越大，并趋向于常数 ，则下列说法 正确的是( ) A.当越来越大时，趋向于常数 B.当越来越大时，趋向于常数 C.当越来越大时，趋向于常数 D.当越来越大时，趋向于常数 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 因为当越来越大时，趋向于常数， 所以当 越来越大时，趋向于常数， 则 趋向于常数，故A错误，B正确； 当越来越大时，趋向于常数 ， 则趋向于常数，故C错误； 当 越来越大时，趋向于常数，则 趋向于常数，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 16.（15分）从装有酒精的容器中倒出 ，然后用水填满，再倒 出 ，又用水填满，如此重复下去. （1）若连续进行4次，则容器中的酒精还剩多少？ 解：第1次用水填满后，容器中的酒精还剩 ； 第2次用水填满后，容器中的酒精还剩 ； 第3次用水填满后，容器中的酒精还剩 ； 第4次用水填满后，容器中的酒精还剩 所以连续进行4次，容器中的酒精还剩 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 16.（15分）从装有酒精的容器中倒出 ，然后用水填满，再倒 出 ，又用水填满，如此重复下去. （2）若连续进行 次，则容器中的酒精还剩多少？ 解：由（1）可知，第次用水填满后，容器中的酒精还剩 ， 所以连续进行次，容器中的酒精还剩 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 $