精品解析：甘肃兰州市外国语高级中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

兰州市外国语高级中学 2026-2027 学年度期中考试试题 高二年级　数学试卷 （满分：150 分　　时间：120 分钟） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（ ） A. 34 B. 55 C. 68 D. 89 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 3. 已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知过点的直线的方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 在轴上的截距为2 D. 直线经过第二､三､四象限 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 若直线：与直线：互相平行，则实数或3 11. 等差数列的前项和为，则（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 不可能是等差数列 D. 若，则使的最大自然数 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 若等差数列的首项，前项和，则______． 13. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 14. 已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线l的倾斜角为，，且经过点. （1）求直线的方程. （2）若直线与直线互相垂直，求它们的交点坐标. 16. 等比数列 中，，． （1）求数列 的通项公式； （2）已知 ，求数列 的前 项和 及 ． 17. 的三个顶点分别为，，求这个三角形的三边及边上的中线所在直线的方程． 18. 已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）若已知圆与圆：关于直线对称，求直线的方程． 19. 若数列的首项，且满足，令． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前n项和； （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市外国语高级中学 2026-2027 学年度期中考试试题 高二年级　数学试卷 （满分：150 分　　时间：120 分钟） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（ ） A. 34 B. 55 C. 68 D. 89 【答案】B 【解析】 【分析】先观察数列，再利用发现的规律求出第10项. 【详解】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和， 则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55. 故该数列的第10项为55． 故选：B. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可求得结果. 【详解】因为数列为等差数列，且， 由等差数列的性质可知：，即， 所以． 故选：A. 3. 已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 4. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列前项和公式直接计算即可． 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，不符合题意， 所以，由得，， 解得或（舍去）， 故． 5. 已知过点的直线的方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，斜截式得直线方程. 【详解】直线的方向向量，则的斜率为， 又直线过点，的方程为，即. 故选：B 6. 已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用斜率公式计算直线、的斜率，结合直线绕点旋转，与线段相交时斜率在两个边界外侧即可求得. 【详解】， ， 直线与线段有交点，则斜率范围为：或，即. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，再利用周期性代入求值即得 【详解】由题意得，，，，，,， 则数列的周期为， 故. 8. 各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用等比数列性质计算结合基本不等式计算求解. 【详解】正数等比数列中，， 则，当且仅当时取等号， 又因为，设公比为，所以， 则取最小值时，. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 在轴上的截距为2 D. 直线经过第二､三､四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线画出图象，结合图象，分别判断四个选项即可. 【详解】 如图画出直线方程， 对于A，因为，即，所以直线的斜率为，故A错误； 对于B，因为直线斜率为，所以倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，，所以在轴上的截距为，故C错误； 对于D，由图知，直线经过第二､三､四象限，故D正确； 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 若直线：与直线：互相平行，则实数或3 【答案】AC 【解析】 【分析】将直线整理为求出定点后可判断A；分截距为0和截距不为0两种情况讨论得到直线方程后判断B； 根据平行条件求出后利用平行线距离公式判断C；根据平行条件求后判断D. 【详解】对于A，将直线方程整理为，令，解得 ，所以直线过定点，A正确； 对于B，当直线在，轴截距为0时，此时直线方程为； 当直线在，轴截距不为0时，设直线方程为，又直线过，所以， 解得，所以直线方程为，B错误； 对于C，由平行条件可得，解得，直线可化为， 所以距离，C正确； 对于D，由得，解得或； 当时，：，：即，此时两直线重合，不符合题意； 当时，：，：，符合题意，D错误. 11. 等差数列的前项和为，则（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 不可能是等差数列 D. 若，则使的最大自然数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用等差数列通项公式即可求解；对于B，利用等差数列前项和公式用和表示出和，进而找到和的关系，即可求；对于C，举个反例即可说明C错误；对于D，利用得到，利用可得，再利用公式算出和的正负即可判断求解. 【详解】设等差数列公差为， 对于A，若，， 所以，， 所以，所以，故A正确. 对于B，，，即， 所以，故B正确. 对于C，例如等差数列为每项为0的常数列，则， 所以是每项为0的等差数列，故C错误. 对于D，，所以， ，所以， 因为，， 所以且，所以使的最大自然数，故D正确. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 若等差数列的首项，前项和，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是等差数列，所以，解得. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】用对称性求关于直线的对称点，再应用点斜式写出直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，即， 依题意在反射光线上，又也在反射光线上， 所以，故所求方程为，整理得． 14. 已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】整理直线方程，分离参数，求出直线恒过的定点；点到直线的距离最大值即为，依据几何性质：距离不超过两点之间线段长，当直线时取到最大值． 【详解】直线：， 整理得：． 联立，解得， 所以直线恒过定点，由几何性质，点到直线的距离， 当时等号成立，， 所以点到直线的距离的最大值为． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线l的倾斜角为，，且经过点. （1）求直线的方程. （2）若直线与直线互相垂直，求它们的交点坐标. 【答案】（1） （或）； （2） . 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）根据两直线垂直列方程求，联立两直线方程求交点坐标. 【小问1详解】 由题可得，，则，则， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； 【小问2详解】 因为直线与直线互相垂直， 所以，所以， 联立，解得，， 所以直线与直线的交点坐标为. 16. 等比数列 中，，． （1）求数列 的通项公式； （2）已知 ，求数列 的前 项和 及 ． 【答案】（1）， （2），；． 【解析】 【分析】（1）直接利用等比数列的定义求出公比，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2）根据可知，数列是由一个等比数列和一个常数列相加而成的，因此用分组法求的前项和，即等比数列的前项和加上即可求得，再将代入即可求得． 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 由等比数列的定义可知：，所以， 故数列的通项公式为，； 【小问2详解】 设等比数列的前项和为，则，， 所以数列的前项和 ， 当时，． 17. 的三个顶点分别为，，求这个三角形的三边及边上的中线所在直线的方程． 【答案】边直线：，边直线：，边直线：，边上的中线所在直线的方程： 【解析】 【分析】根据直线的两点式，点斜式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可. 【详解】直线过两点， 由两点式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 直线过两点，由两点式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 直线过两点， 斜率，由点斜式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 因为，所以边的中点的坐标为， 即，于是边上的中线所在直线的方程即为所在直线的方程． 由直线的两点式方程得，即， 所以，即． 18. 已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）若已知圆与圆：关于直线对称，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知圆心在直线上，进而可得，即可求三角形面积； （2）分析可知圆心和半径，进而可得圆的标准方程； （3）可知直线为线段的中垂线，进而可知中点和斜率，即可得直线方程. 【小问1详解】 因为点、在圆上，则圆心在直线上， 且圆的圆心在直线上， 联立方程，可得，即， 所以的面积. 【小问2详解】 由（1）可知：圆心为，则半径， 所以圆的标准方程为. 【小问3详解】 因为圆：的圆心为，半径， 由题意可知：直线为线段的中垂线， 且线段的中点为，，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 19. 若数列的首项，且满足，令． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前n项和； （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴数列是等比数列，，. （2）； （3）不存在，理由如下： 依题意，，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即，则，由成等差数列，得， ∴，整理得，则，与互不相等矛盾， ∴在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）的信息求出，再利用错位相减法，结合等比数列前n项和公式求解. （3）根据给定条件，结合（1）的结论求出数列的通项，再利用等差中项以及等比中项的性质推理得证. 【小问1详解】 【小问2详解】 由（1）知，， ，则， 两式相减得， 所以 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和的问题，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $