4.1数列的概念（第2课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 第二课时 数 列 的 概 念 章节导读 4.1 数列的概念 4.3 等比数列 4.4 数学归纳法 数列的概念 数学归纳法的证明步骤 数学归纳法的应用 数列的前项和 4.2 等差数列 等差数列的概念 等差数列的前项和公式 等比数列的概念 等比数列的前项和公式 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，了解数列的递推公式，能通过递推公式求项. 能够理解用累加法、累乘法求通项公式的思路. 会利用数列的前项和公式与通项的关系求通项公式． 读教材 阅读课本P6-P8，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“数列的递推公式”吧！ 1. 什么是数列的递推公式？什么是数列的前项和？ 2. 数列的前项和数列的通项公式之间有何关系？ 新课引入 知识来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题。 观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗? 我们能否用数列的形式写出上下层之间的关系? 这种关系不同于我们学习过的数列的通项公式, 而是今天我们要学习的数列的“递推公式”. 下层比相邻的上层多一根钢管，即 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的递推公式 2 关系 3 题型训练 新知探究1 探究1：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个 大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 你能写 出这个数列的一个通项公式吗？ 思考：换个角度你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？ 1 3 9 27 通过运算 寻找规律 从第二项起，后一项是前一项的3倍 3(≥2) 1(=1) = 猜想 概念 数列的递推公式 1. 数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如何求数列的项： 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 思考： 数列的递推公式能像通项公式一样求出数列的项吗？ 可以 概念辨析 思考1 数列的递推公式和通项公式有何区别与联系？ 通项公式是项与序号之间的一一对应关系: 递推关系项与项之间的一一对应关系： 区 别 联 系：两者都能确定一个数列. 注意递推公式两个条件： 已知数列的第1项(或前几项)；从第2项(或某一项)开始的任一项与 它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． 练习巩固 练习1 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式， 并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 练习巩固 练习2 根据下列条件，写出数列的前5项： (( 解：(1)由题意可知，， (2)由题意可知，， 练习巩固 练习3 已知数列，，写出这个数列的前5项， 并猜想它的通项公式？ 解：由题意可知，， 通项公式为. 方法总结 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①－=常数或－=(是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②=(常数)或=(是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③=+(，为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. 由递推公式求通项公式的常用方法 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的递推公式 2 关系 3 题型训练 新知探究2 探究2 某便利店的新年促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者 可以选择120元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天 到该便利店领取奖金，领取的奖金金额（单位：元）依次为： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25. 思考：你会选择哪种方案呢？ 第二种，这列数的和为169. 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 概念 数列的前项和 2. 数列的前项和： 我们把数列{}从第1项起到第项止的各项之和，称为数列{} 的前项和，记作，即=++...+ 如果数列{}的前项和与它的序号之间的对应关系可以 用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题． 概念辨析 思考：数列的前项和公式与数列的通项公式有什么关系呢？ 时， 练习巩固 练习1 已知数列前，求数列的通项公式？ 解：当=1时，. 当≥2时，=－==. 因为=. 练习巩固 练习2 设数列的前项和为，已知，求的通项公式？ 解：∵，∴，故 当时，， 两式相减得， 即，当时，不成立. ∴ 方法总结 (1)当=1时，. (2)当≥2时，根据写出，化简=－. (3)验证写通项公式： 如果也满足当≥2时，=的通项公式， 那么数列{}的通项公式为； 如果不满足当≥2时数列{}的通项公式要分段表示为： 由求通项公式的步骤 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的递推公式 2 关系 3 题型训练 递推公式的应用 题型1 题型探究 递推公式的应用 题型1 题型探究 例2 下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式 可以是( ) A.， B.，， C.，， D.，， 解：结合图象易知，，，， ，∴，，. B 递推公式的应用 题型1 题型探究 例3 已知数列满足，，求数列的通项公式？ 解：∵，∴，即 则，. ∴， 即∴，即，∴ 故数列的通项公式是 递推公式的应用 题型1 题型探究 例4 设数列中，，，求的通项公式？ 解：∵∴， 则，，，. ∴，即∴ 故数列的通项公式是 前n项和公式的应用 题型2 题型探究 例5 已知数列的前项和公式为，求的通项公式？ 解：∵ 当时，依然成立. 所以的通项公式是. 前n项和公式的应用 题型2 题型探究 例6 正项数列的前项和为满足， 求的通项公式？ 解：，得 为正项数列，∴. 当时，； 当时，， 当时，也符合上式. 课堂小结 1. 数列的递推公式： 通项公式是项与序号之间的一一对应关系: 递推关系项与项之间的一一对应关系： 区 别 联 系：两者都能确定一个数列. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 课堂小结 2. 数列的前项和： 我们把数列{}从第1项起到第项止的各项之和，称为数列{} 的前项和，记作，即=++...+ 如果数列{}的前项和与它的序号之间的对应关系可以 用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 感谢聆听! 例1 如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项， 则这个数列的一个通项公式为________？ 解：我们把图案按如下规律分解： 这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个 通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2. $