4.1数列的概念（第2课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的递推公式及an与Sn的关系，通过钢管堆放图、谢尔宾斯基三角形等生活与数学实例导入，衔接数列概念与通项公式，为后续等差数列、等比数列学习搭建逻辑支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，如便利店领奖方案抽象前n项和概念，通过累加法、累乘法典例分析培养数学思维推理能力，总结Sn求an的三步法形成规范数学语言表达。助学生深化知识理解与应用，为教师提供结构化教学资源，提升备课效率。

4.1 数列的概念 第二课时 第四章 数列 人教A版选择性必修第二册·高二 章节导读 4.1 数列的概念 4.3 等比数列 4.4 数学归纳法 数列的概念 数学归纳法的证明步骤 数学归纳法的应用 数列的前n项和 4.2 等差数列 等差数列的概念 等差数列的前n项和公式 等比数列的概念 等比数列的前n项和公式 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，了解数列的递推公式，能通过递推公式求项. 能够理解用累加法、累乘法求通项公式的思路. 会利用数列的前n项和公式与通项的关系求通项公式． 读教材 阅读课本P6-P8 ，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“数列的递推公式”吧！ 新课引入 知识来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题。 观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗? 我们能否用数列的形式写出上下层之间的关系? 这种关系不同于我们学习过的数列的通项公式, 而是今天我们要学习的数列的“递推公式”. 下层比相邻的上层多一根钢管，即an＋1＝an＋1 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的递推公式 3 题型训练 2 an与Sn的关系 新知探究1 探究1：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 你能写出这个数列的一个通项公式吗？ 思考：换个角度你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？ 1 3 9 27 通过运算 寻找规律 从第二项起，后一项是前一项的3倍 3an-1(n≥2) 1(n=1) an= 猜想 新知1 数列的递推公式 1. 数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如何求数列的项： 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 思考： 数列的递推公式能像通项公式一样求出数列的项吗？ 可以 概念辨析 思考1 数列的递推公式和通项公式有何区别与联系？ 通项公式是项与序号之间的一一对应关系: 递推关系项与项之间的一一对应关系： 区 别 联 系：两者都能确定一个数列. 注意递推公式两个条件： 已知数列的第1项(或前几项)；从第2项(或某一项)开始的任一项an与 它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． 典例分析 例1 已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0， 则此数列的第5项是（ ） A.15 B.255 C.16 D.63 总结：知道首项和递推公式 可以求数列的任意项 解：由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255. B 典例分析 例2 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 总结：知道首项和递推公式 可以求数列的任意项 解：因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. D 典例分析 例3 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列 的通项公式an等于（ ） A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n 总结：累加法 解：∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n. 当n＝1时，a1＝2也符合上式.故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*). D 典例分析 总结：累乘法 D 方法总结 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan(p常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. 由递推公式求通项公式的常用方法 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的递推公式 3 题型训练 2 an与Sn的关系 新知探究2 探究2 某便利店的新年促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者 可以选择120元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天 到该便利店领取奖金，领取的奖金金额（单位：元）依次为： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25. 思考：你会选择哪种方案呢？ 第二种，这列数的和为169. 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 新知2 数列的前n项和 2. 数列的前n项和： 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an} 的前n项和，记作Sn，即Sn =a1+a2+...+an 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以 用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题． 概念辨析 思考：数列的前n项和公式Sn与数列的通项公式有什么关系呢？ 时， 典例分析 例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于（ ） A.36 B.35 C.34 D.33 C 解：a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1， a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33. ∴a2＋a18＝34. 典例分析 例2 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an？ 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32，n∈N*. 典例分析 例3 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n＋1.求a1及an？ 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 当n＝1时不符合上式， 方法总结 (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)验证写通项公式： 如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时数列{an}的通项公式要分段表示为 由Sn求通项公式an的步骤 学习过程 01 03 02 目录 1 数列的递推公式 3 题型训练 2 an与Sn的关系 递推公式的应用 题型1 题型探究 递推公式的应用 题型1 题型探究 例2 下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ） A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 解：结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3， a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2. B 递推公式的应用 题型1 题型探究 例3 数列{an}中,a1＝1,a2＝2,且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，求a2 025的值？ 解：an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2， 由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列， 前n项和公式的应用 题型2 题型探究 例4 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2n2＋3n＋2，求an？ 解：当n＝1时，a1＝S1＝7，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1， 又a1＝7不适合上式， 前n项和公式的应用 题型2 题型探究 例5 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝3n－1，求an？ 解：当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1， 显然a1＝2适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N*). 课堂小结 1. 数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 通项公式是项与序号之间的一一对应关系: 递推关系项与项之间的一一对应关系： 区 别 联 系：两者都能确定一个数列. 课堂小结 2. 数列的前n项和： 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an} 的前n项和，记作Sn，即Sn =a1+a2+...+an 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以 用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 感谢聆听! 1．什么叫数列的递推公式？什么叫数列的前n项和？ 2．数列的前n项和Sn与数列的通项an之间有什么关系？ 例4 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，则an等于（ ） A.n＋1 B.n C. D. 解：由题意得，因为数列{an}满足an＋1＝an(n∈N*)， 所以＝， 所以an＝· ·…·· · a1＝ × ×…× × ×1＝. 所以an＝ an＝ 例1 如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________？ 解：我们把图案按如下规律分解： 这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个 通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2. 由a3＝2，a4＝1，得a5＝， 由a5＝，a6＝，得a7＝1， 由a6＝，a7＝1，得a8＝2， 所以a2 025＝a337×6＋3＝a3＝2. 所以an＝ $