精品解析：北京市昌平区第二中学2026～2027学年第一学期期中考试试卷九年级数学

2025—2026学年第一学期昌平二中教育集团 期中考试试卷 初三数学 试卷满分100分 考试时间：120分钟 一．选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，只有一个是符合题意的． 1. 如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知比例设参数，代入所求分式化简求值． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：． 3. 如图，直线，交于点， ．若，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】解：∵，． ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】△ABC∽△EDF，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比． 【详解】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1， 则有AB=1，BC=，AC=，DE=2，EF=，DF=， ∴， ∴△ABC∽△EDF， ∴S△ABC：S△DEF=， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比． 5. 点，，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线， 关于直线的对称点是， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识．根据图象得到抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得到抛物线与x轴的另一个交点为，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，分情况讨论是解题的关键．根据一次函数和二次函数的性质，讨论：和的情况． 【详解】解：当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是上升的；抛物线开口向上，顶点在轴负半轴，A选项符合题意，选项B、C、D都不符合题意； 当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是下降的；抛物线开口向上，顶点在轴正半轴，选项A、B、C、D都不符合题意； 综上，A选项正确． 故选：A． 8. 如图所示，在中，，相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到＝，等量代换得到，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到；故②正确；根据三角形的面积公式得到，故③正确；由于与只有一个角相等，于是得到与不一定相似，故④错误． 【详解】解：∵在中，则，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∴与不一定相似，故④错误， 故选：D． 二．填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 【答案】 【解析】 【分析】依据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，依次对原抛物线完成两次平移的解析式调整，即可得到目标抛物线解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线解析式为， ∴ 向右平移个单位后得到的抛物线为， ∴向上平移个单位后得到的抛物线为． 10. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若，则约为_____m（结果保留小数点后两位） 【答案】1.24 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义． 根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，图中为2米，即可求出的值． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，， ， ， 的值为米． 故答案为： 11. 如图，，，，则当________时，． 【答案】 【解析】 【分析】△ABC和△CDB中，已知了∠ABC=∠D=90°，如果两三角形相似，那么两三角形的直角边应该对应成比例，据此可求出BD的长． 【详解】解：∵∠ABC=∠D=90°， ∴当＝时，△ABC∽△CDB； 即BD===4cm． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定的运用，注意边的对应． 12. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为__________． 【答案】##24米 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故答案为：． 13. 为了测量河宽，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据平行线分线段成比例定理得，然后代入数据计算即可． 【详解】解：由题意得米， ∵， ∴， ∴米． 14. 如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标为，发现点与点纵坐标相同，利用抛物线对称性求出对称轴，再利用点与点关于对称轴对称求出点横坐标． 【详解】解：抛物线与轴相交于点， 点的坐标为． 点在该抛物线上，且坐标为， 点与点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为直线． 抛物线与轴相交于、两点， 点与点关于直线对称， 点的横坐标为． 15. 有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 图1中，利用正方形对边平行得出相似三角形，通过对应边成比例列方程求解；图2中，先利用勾股定理和面积法求出斜边及斜边上的高，再利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解． 【详解】解：图1：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， ， ， ，，， ， 解得； 图2：设正方形的边长为， 如图，过点作于点，交于点， 可知四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 解得； 综上，图1、图2中正方形桌面的边长分别为、． 16. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据函数开口向下判断a的负号，再根据函数与y轴的交点判断c的符号，即可判断①；根据函数的顶点和点B即可确定函数经过点，即可判断②；根据函数的对称轴即可得出a、b之间的等量关系，根据，即可得出a、c之间的关系，最后将代入函数表达式即可得出结论；④根据二次函数与一元二次方程之间的关系，及对称性判断④，即可进行解答． 【详解】解：①∵函数开口向下， ∴， ∵函数图像与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵顶点为， ∴函数对称轴为：直线， ∵函数图象经过点， ∴函数图象经过点， 当时，， 故②不正确； ③∵函数对称轴为直线， ∵，即：， 由②可知：，故， 当时：， ∵函数经过点， ∴，即， 故③正确； ④∵此抛物线经过点， 是方程的一个根， 抛物线对称轴为直线， 设方程的另一个根， 则， ， 一定是方程的一个根，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 三．解答题（17题4分，18题6分，19题4分，20题6分，21、22小题，每小题5分；23—26小题，每小题6分；27、28小题，每小题7分，共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 如图，在中，，分别是，边上的点，且满足．若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角相等的两个三角形相似，推出，再根据相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴． 18. 已知二次函数的图象与轴的交点为，． （1）求该二次函数解析式； （2）画出这个函数的图象，并回答：当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出该二次函数的顶点坐标，再求出该二次函数与轴的交点坐标，以及该二次函数与轴的交点坐标关于对称轴对称的点的坐标，再画出二次函数的图象，结合图形即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴的交点为，， ∴， 解得， ∴该二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，故该二次函数与轴的交点坐标为， ∴该二次函数与轴的交点坐标关于对称轴对称的点的坐标为， ∵二次函数的图象与轴的交点为，， ∴画出二次函数图象如图所示： 由图象可得，当时，的取值范围是或． 19. 如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD； （2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°． 试题解析：（1）∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵． ∴△ACD∽△CBD； （2）∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD， 在△ACD中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°． 考点：相似三角形的判定与性质． 20. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）旗杆的高度米 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【小问1详解】 解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 21. 如图，正方形中，点在上，且，点是的中点．求证：． 【答案】 证明：∵正方形， ∴； ∵， 设，则， 则， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，设，则，再结合正方形的性质证明，再进一步求解即可. 【详解】略 22. 如图，若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）将该二次函数解析式化为顶点式，并求，两点的坐标； （2）若为二次函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用配方法对进行变形即可，令，则，求解即可得出，两点的坐标； （2）求出，设，由得出，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴将该二次函数解析式化为顶点式为， 令，则， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∵为二次函数图象上一点， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理得，解得，，此时点的坐标为或； 当时，整理得， ∵， ∴该方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 23. 草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． （1）直接写出m关于t的函数关系式______． （2）求第30天当天的销售利润． （3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 【答案】（1）（且t为整数） （2）3600元 （3）第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，即可解答； （2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润（价格－成本），再乘以销售量得总利润； （3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，在前25天中，建立利润二次函数，求顶点横坐标（整数天），计算最大利润，再后5天中，建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论． 【小问1详解】 解：设m关于t的函数关系式为， 将，和，代入得： ， 解得， ∴m关于t的函数关系式为（，且t为整数）． 故答案为：（，且t为整数）； 【小问2详解】 第30天价格（元/千克），销售量（千克）， 故利润（元）． 答：第30天当天销售利润为3600元； 【小问3详解】 ①当时， 利润， 即， 二次函数开口向下，顶点横坐标， 故或16时，最大，为（元）； ②当时，利润，随t增大而增大， 故时，（元）； 比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元． 答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元． 24. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：由作法得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）先判定为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的长，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 25. 综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． （2）求的长（结果保留根号）； （3）实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1）顶点的坐标是， （2）该运动员此次立定跳远的有效水平距离的长为米 （3）的最大值为0.6，最小值为0.5 【解析】 【分析】（1）先根据表格数据确定抛物线的顶点坐标，再设抛物线的交点式，代入数据求出函数关系式． （2）将代入抛物线解析式，解一元二次方程得到两点的横坐标，再计算两点间的距离． （3）令，求出落地点的横坐标表达式，再根据落地点在到之间（含端点），列不等式求出的取值范围，进而得到的最大值与最小值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数关系式为， ∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的函数关系式为， 展开得； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：令， ， ， ， 由题意，， ， ∴的最大值为，最小值为． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对于，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）令，求出抛物线与x轴的交点的坐标，可求出对称轴，结合已知的对称轴为，列出方程，求解即可； （2）由点是抛物线上的点，的横坐标是，得到，从而得出抛物线的解析式为．①若，则抛物线开口向上，要使抛物线都与轴有两个交点，则顶点M在x轴的下方，因此，结合即可判断a的取值范围；②若，则抛物线开口向下，要使抛物线都与轴有两个交点，则顶点M在x轴的上方，因此，结合即可判断a的取值范围． 【小问1详解】 解：对于抛物线：，令， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线对称轴为， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵是抛物线上的点，的横坐标是， ∴， ∵抛物线，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到， ∴抛物线的解析式为． ①若，则抛物线开口向上， ∵对于，抛物线都与轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的下方， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若，则抛物线开口向下， ∵对于，抛物线都与轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的上方， ∴， ∵时，，， ∴恒成立． 综上所述，a的取值范围是或． 27. 在中，，，为边上的中线．在中，，，．连接，，分别为线段，的中点，连接． （1）如图，当点在内时，依题意补全图，求证：； （2）如图，当点在外时，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：如图， ∵，为边上的中线， ∴， ∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2） 证明：，，如图， 同（）理可得， ∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵，分别为线段，的中点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，为线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中位线定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据题意画出图形，通过直角三角形的性质得，通过中位线定理可得，从而求证； （）同（）理可得，又，分别为线段，的中点，是的中位线，则，，，同理可得，则有，， 从而得，然后证明，可得，，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． （1）①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； （2）若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． （3）将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）①，②，． （2）且 （3）或． 【解析】 【分析】（1）①根据罩域特征点的定义，结合线段上点的坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可解答；②根据罩域特征点的含义，结合图形即可判断． （2）先找罩域特征点的界点，将特征点的坐标代入函数，求出m的值，结合图象即可求出范围； （3）结合，，，确定为罩域特征点的边界点，当时，可得，，可得，，在直线的右侧y随x的增大而增大，总存在的点，即存在罩域特征点． 【小问1详解】 解：①如图， ∴线段罩域的一个特征点． ②如图， ∴在，，中，是的罩域特征点的为：，． 【小问2详解】 解：设点为的罩域特征点．依题意得：， 当时，如图， 结合函数图象可知，在一次函数的图象上存在的罩域特征点，故符合题意． 当时，如图，点为的罩域特征点． 又∵点在一次函数的图象上， 当直线过点时，即： 解得：． ∴结合函数图象可知． 综上所述：且． 【小问3详解】 解：将向上平移两个单位得到，点，，． ∴，，， 如图，当时， 抛物线（）上总存在的罩域的特征点． 当时，如图，， ∵的对称轴为直线， ∴关于直线对称， 当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上：当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时，或． 【点睛】本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义含量义，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值的点是罩域的特征点，抓住特征点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期昌平二中教育集团 期中考试试卷 初三数学 试卷满分100分 考试时间：120分钟 一．选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，只有一个是符合题意的． 1. 如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，交于点， ．若，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 点，，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③ 二．填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 10. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若，则约为_____m（结果保留小数点后两位） 11. 如图，，，，则当________时，． 12. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为__________． 13. 为了测量河宽，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米． 14. 如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是________． 15. 有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________． 16. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是________． 三．解答题（17题4分，18题6分，19题4分，20题6分，21、22小题，每小题5分；23—26小题，每小题6分；27、28小题，每小题7分，共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 如图，在中，，分别是，边上的点，且满足．若，，，求的长． 18. 已知二次函数的图象与轴的交点为，． （1）求该二次函数解析式； （2）画出这个函数的图象，并回答：当时，的取值范围是________． 19. 如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小． 20. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21. 如图，正方形中，点在上，且，点是的中点．求证：． 22. 如图，若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）将该二次函数解析式化为顶点式，并求，两点的坐标； （2）若为二次函数图象上一点，且，求点的坐标． 23. 草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． （1）直接写出m关于t的函数关系式______． （2）求第30天当天的销售利润． （3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 24. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 25. 综合与实践 立定跳远中的函数应用 问题情境：立定跳远练习中，运动员身体重心的运动轨迹可近似看作抛物线．为提升训练的安全性、降低受伤风险，并帮助校训队的运动员提高成绩，某学校成立了立定跳远运动规律探究小组． 实验数据：该探究小组测得某运动员在一次试跳中，身体重心距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）的几组数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 0 0.45 0.6 0.45 0 数学建模：如图1，将运动员身体重心的运动轨迹抽象为抛物线．其顶点为，运动员的起跳点为，落地点为点．以为原点，所在的直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请根据表格中的测量数据直接写出抛物线的顶点坐标，并求出该抛物线的函数关系式； 问题解决： 已知运动员身体重心在任意位置到地面的高度不低于时可避免练习时受伤．我们将直线与抛物线的两个交点分别记作、，称、两点之间的距离为该运动员此次立定跳远的有效水平距离． （2）求的长（结果保留根号）； （3）实验表明：调整起跳角度后，该运动员的重心运动轨迹近似满足关系式：．为促进运动员科学训练，学校设定了立定跳远的等级标准线：满分线为，良好线为．现要求该运动员的落地点（即时的值）在良好线到满分线之间（含两端点），请直接写出的最大值与最小值． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对于，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 27. 在中，，，为边上的中线．在中，，，．连接，，分别为线段，的中点，连接． （1）如图，当点在内时，依题意补全图，求证：； （2）如图，当点在外时，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并加以证明． 28. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． （1）①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； （2）若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． （3）将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $