精品解析：湖南湘潭县谭家山镇茶园中学2026－2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

2026 年八年级（上）期中考试试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义求解即可. 【详解】解：A选项的分母是数字3，不含字母，属于整式； B选项的分母是字母，符合分式的定义； C选项是多项式，没有分母，属于整式； D选项的分母是数字7，不含字母，属于整式； 综上，只有B选项是分式； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再分别依据二次根式的加减运算法则、乘法运算法则逐一验证四个选项的等式是否成立，从而选出正确选项． 【详解】解：． ，故选项、错误． ，故选项错误． ，故选项正确． 3. 下列变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意； C、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 4. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 5. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 选项B：的分母可分解为，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 选项C：的分子为，分母为，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 选项D：的分子为，分母无法分解出与分子相同的因式，不存在次数大于0的公因式，是最简分式． 6. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 3，3，3 B. 3，6，10 C. 4，4，8 D. 2，3，5 【答案】A 【解析】 【详解】解：A：， 能摆成三角形．故A项正确． B：， 不能摆成三角形．故B项错误． C：， 不能摆成三角形．故C项错误． D：， 不能摆成三角形．故D项错误． 7. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 8. 若x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A. 8 B. ±8 C. ±4 D. ﹣8 【答案】B 【解析】 【分析】根据两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和． 9. 根据下列表格中的信息，y 代表的分式可能是（ ） x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． * 0 * 无意义 * ．．． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由表格可知，当时，无意义，此时分式分母为0； 当时，，此时分式分子为0且分母不为0； A选项：，时，分母，不符合，排除； B选项：，时，分母，符合；时，分子，分母，符合，满足条件； C选项：，时，分母，不符合，排除； D选项：，时，分子，不符合，排除． 10. 如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有(　　) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，可知按照点所在的直线分两种情况：①为底边；②为等腰三角形的一条边． 【详解】解：①为底边，符合点的有5个； ②为等腰三角形的一条边，符合点的有4个． 所以符合条件的点共有9个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，解题的关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可； 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 12. 将数 0.00021 用科学记数法表示为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．根据科学记数法的表示规则，确定符合范围的a值与对应的整数n值即可． 【详解】∵ 对0.00021进行变形，取满足的a值，可得， 且0.00021化为2.1时小数点向右移动了4位， ∴ ． ∴ 0.00021用科学记数法表示为． 13. 因式分解： = __________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 如图，，，，则 的度数是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15. 甲、乙两个同学因式分解 时，甲看错了 b，分解结果为，乙看错了 a，分解结果为 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】甲看错时，其分解结果展开后的一次项系数为正确的；乙看错时，其分解结果展开后的常数项为正确的，据此求出、后代入计算即可． 【详解】解：∵ 甲分解时看错了，未看错， ∴ 甲的分解结果展开后的一次项系数等于正确的， ∵ ， ∴ ； ∵ 乙分解时看错了，未看错， ∴ 乙的分解结果展开后的常数项等于正确的， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 16. 在化简分式 □ 时，漏掉了"□"中的运算符号（仅限 +、−、×、÷），已知最后的化简结果是整式，由此可以猜想漏掉的运算符号是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】分别对四种运算进行化简，判断结果是否为整式，筛选出符合条件的运算符号． 【详解】解： 若运算符号为：，不是整式，不符合题意； 若运算符号为：，不是整式，不符合题意； 若运算符号为：，不是整式，不符合题意； 若运算符号为：，是整式，符合题意． 17. 若关于的分式方程 无解，则 ■ 的值为 __________．（注：■代表被墨迹遮挡的常数） 【答案】 2 【解析】 【分析】将原分式方程的分母统一，去分母转化为整式方程，结合分式方程增根的条件（使原分母为0的），代入求解被遮挡的常数． 【详解】解：设被墨迹遮挡的常数为，则原方程为． ∵ . ∴ 原方程可变形为． ∵ 分式方程的分母不能为0． ∴ 原方程可能的增根满足，即． 方程两边同时乘以最简公分母（），去分母得 ． 整理得整式方程的解为． ∵ 该整式方程为一元一次方程，未知数的系数为1，不存在整式方程本身无解的情况． ∴ 原方程无解等价于整式方程的解为原方程的增根． 即． 18. 对于正数，规定，例如：，则式子的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式的规律探究，解题的关键是发现的规律． 通过计算并与求和找规律，再结合的值计算总和． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵, 又∵，，……，，共2024组，和为． ∴原式， 故答案为：． 三、解答题（共 6 小题，66分） 19. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别化简算术平方根、零次幂、负整数指数幂、立方根，再合并计算． （2）先找出最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后检验根是否为增根． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ． 检验：当时，， 是原分式方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】对分母进行分解因式，再利用除法法则变形，约分计算后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将m的值代入计算并进行分母有理化即可求解． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则及二次根式的分母有理化是解本题的关键． 21. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）12． 【解析】 【分析】（1）根据所给材料，分子分母同乘，计算即可； （2）先将a分母有理化，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， ． 22. 下面是嘉淇学习"分式方程的应用"时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多 5 元，用 800 元购进甲种商品和用 700 元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的 x 表示 ______（填序号），解法二所列方程中的 x 表示 ______（填序号）； ① 甲种商品每件进价 x 元； ② 乙种商品每件进价 x 元； ③ 甲种商品购进 x 件． （2）请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①，③ （2）解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为40元，乙种商品每件的进价为35元； 解法二，设甲种商品购进x件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为40元，乙种商品每件的进价为35元． 【解析】 【分析】（1）根据所列方程和题意即可得到答案； （2）解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元，根据题意建立方程求解即可； 解法二，设甲种商品购进x件，根据每种商品的单价等于总价除以数量，再结合甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多5元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元， 解法二中x表示甲种商品购进x件， 【小问2详解】 略 23. 如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）如图1，在 中，，点 D 在 边上，且 ，求 的度数； （2）在图1中过点C画 的“二分线”，在图 2 中画出顶角为 的等腰三角形的“三分线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； （3）在中，和是的“三分线”，点D在边上，点E在边上，且，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设的度数为，因为，所以可得对应底角相等，再结合、，用表示出的三个内角，根据三角形内角和为列方程求解． （2）画的“二分线”时，先确定的内角度数，再根据“二分线“定义，作线段将其分为两个等腰三角形；画顶角等腰三角形的“三分线”时，设此三角形为，先在上取点I，使，即画出顶角为的等腰三角形，再作的垂直平分线，交于点J，连接，又得到两个等腰三角形． （3）设的度数为，因为必须满足等腰条件，所以可分三种情况使边两两相等，得到对应角相等，建立的方程求解． 【小问1详解】 解：设， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， 根据三角形内角和为：， 解得 ． 即． 【小问2详解】 解：在图1中，作的角平分线交于点E， 则线段即为的“二分线”， 理由：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵分别为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴线段即为的“二分线”． 设图2中的三角形为，如图， 以点H为圆心，以的长为半径画弧，交于点I， 连接， 作的垂直平分线，交于点J， 连接， 则线段即为的“三分线”． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点J在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段是的“三分线”． 【小问3详解】 解：设 ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∵是三分线，分割出的三个小等腰三角形为， ∴必须满足等腰条件， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 矛盾，y不存在． 综上，的度数为或． 24. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 【答案】（1）＜；（2）+3 【解析】 【分析】（1）先根据材料分别给﹣和﹣，分子有理化，然后再进行比较即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后再对无理数部分分子有理化，然后再求最大值即可． 【详解】解：（1）， ， 而， ∴＞， ∴＜； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y＝＝， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y＝有最大值是+3． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用以及阅读理解能力，根据分母有理化理解分子有理化的方法是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年八年级（上）期中考试试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 5. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 3，3，3 B. 3，6，10 C. 4，4，8 D. 2，3，5 7. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 8. 若x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A. 8 B. ±8 C. ±4 D. ﹣8 9. 根据下列表格中的信息，y 代表的分式可能是（ ） x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． * 0 * 无意义 * ．．． A. B. C. D. 10. 如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有(　　) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 12. 将数 0.00021 用科学记数法表示为 __________． 13. 因式分解： = __________． 14. 如图，，，，则 的度数是 __________． 15. 甲、乙两个同学因式分解 时，甲看错了 b，分解结果为，乙看错了 a，分解结果为 ，则 __________． 16. 在化简分式 □ 时，漏掉了"□"中的运算符号（仅限 +、−、×、÷），已知最后的化简结果是整式，由此可以猜想漏掉的运算符号是 __________． 17. 若关于的分式方程 无解，则 ■ 的值为 __________．（注：■代表被墨迹遮挡的常数） 18. 对于正数，规定，例如：，则式子的值为___________． 三、解答题（共 6 小题，66分） 19. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 22. 下面是嘉淇学习"分式方程的应用"时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多 5 元，用 800 元购进甲种商品和用 700 元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的 x 表示 ______（填序号），解法二所列方程中的 x 表示 ______（填序号）； ① 甲种商品每件进价 x 元； ② 乙种商品每件进价 x 元； ③ 甲种商品购进 x 件． （2）请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 23. 如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）如图1，在 中，，点 D 在 边上，且 ，求 的度数； （2）在图1中过点C画 的“二分线”，在图 2 中画出顶角为 的等腰三角形的“三分线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； （3）在中，和是的“三分线”，点D在边上，点E在边上，且，求的度数． 24. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $