2026-2027学年浙教版七年级第上学期期中专题复习： 有理数的计算最值问题

2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：有理数计算最值问题 【知识导图】 【知识梳理】 ‌绝对值非负性‌：任何有理数的绝对值都≥0，这是求解最值的核心底层逻辑。 ‌几何意义‌：|x-a|表示数轴上点x到定点a的距离，距离之和的最值可通过“两点之间线段最短”推导。 ‌整体有理数集性质‌：全体有理数没有绝对的最大值和最小值，最值仅在指定区间、子集或限定条件下存在。 📌 基础单绝对值最值 这类题型仅含单个绝对值表达式，直接利用非负性即可快速求解： 形如|x-a|+k：当x=a时，绝对值取0，整体取得‌最小值k‌。 形如k-|x-a|：当x=a时，绝对值取0，整体取得‌最大值k‌。 特殊结论：绝对值最小的有理数是‌0‌，不存在绝对值最大的有理数。 📍 多个绝对值之和的最值 这是考试的核心题型，结合数轴几何意义可快速推导规律： ‌两个绝对值之和‌：对于|x-a|+|x-b|（a<b），当x在[a,b]区间内时，距离和最小，最小值为‌|a-b|‌。 ‌奇数个绝对值之和‌：n为奇数时，x取所有定点的‌中位数‌时，距离和取得最小值。 ‌偶数个绝对值之和‌：n为偶数时，x取中间两个定点之间的任意值（含端点），距离和取得最小值。 🛠️ 通用解题方法 ‌零点分段法‌： 步骤1：令每个绝对值内的表达式为0，求出所有零点 步骤2：用零点将数轴划分为若干区间 步骤3：在每个区间内去掉绝对值符号，转化为普通一次函数求最值 步骤4：对比所有区间的结果，确定全局最值 ‌绝对值三角不等式‌： |a+b| ≤ |a|+|b|，可用于快速求解差型绝对值的最大值 |a-b| ≥ ||a|-|b||，可用于快速求解差型绝对值的最小值 ⚠️ 常见易错点 忽略“多个绝对值之和取最值时，x的取值是一个区间而非单个点”的情况 去绝对值时未判断表达式正负，导致符号错误 混淆“距离之和”与“距离之差”的最值规律，前者求最小、后者求最大 未注意题目中隐含的有理数限定条件，导致最值范围判断偏差 【一阶练习】 1.式子存在最大值，这个最大值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 2.若取到最小值，则整数x的值是（　　） A．4 B． C．3 D．﹣3 3.若取到最小值，则整数的值是（ ） A．4 B． C．3 D． 4.下列四个式子中，计算结果最小的是（ ） A. B. C. D. 5.我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（ ） A. B. C. D. 6.在算式的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（ ） A. B. C. D. 7.如果四个互不相同的正整数，，，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8.如果x为有理数，式子2025﹣|x+2024|存在最大值，那么这个最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2024 D．2023 9.用2、0、2、4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（ ） A. B. C. D. 10.如果四个互不相同的正整数m、n、p、q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，则4m+3n+3p+q的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【二阶练习】 1.素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是______，要使式子取到最大值，则有理数的值是______． 2.已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是_____． 3.设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为 __． 4.数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数： ，，，0，，，然后从中抽取3张．使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是________． 5.的最小值是______． 6.如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是___________ 7.从，，0，3，5中任取三个数相乘，最大的值是___________． 8.若，是整数，且，则的最大值与最小值的差为________． 9.已知整数a，b，c，且c＜0，满足|a|+10b2﹣100c3＝2023，则a+b+c的最小值为 　﹣1924　 ． 10.已知a，n均为正整数，若，，则a的最大值为　8　 ． 11.已知，则的最大值是_____． 12.已知表示数a在数轴上所对应的点到原点的距离。数a，b在数轴上所对应的两点之间的距离为，例如，-3，2在数轴上所对应的两点之间的距离为。 （1）的最小值为________； （2）的最小值为________。 13.如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是_____，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是______． 14.对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为 和5关于2的“美好关联数”为______； 若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； 若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______； ②……的最小值为______. 15.如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足，则的最大值为______． 【三阶练习】 1.如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． 1 （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最小，请列出算式求值； （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； （4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，请列出算式求值． 2.点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）和2之间的距离为__________； （2）若x与2的距离为3，则x的值为__________； （3）若成立，则满足条件的所有整数x为__________； （4）由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 3.同学们都知道：表示3与－2之差的绝对值，实际上也可理解为3与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为___________． （2）如果，则__________． （3）同理表示数轴上有理数所对应的点到－2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是___________． （4）由以上探索猜想对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 4.我们知道：式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）若|x+5|＝6，则x的值为　 　 ； （2）当|x+3|+|x﹣1|取最小值时，x可以取整数　 　 ；|x+3|+|x﹣1|的最小值为　 　 ； （3）当x＝　 　 时，|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的值最小，最小值为　 　 ； （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 5.结合数轴与绝对值的知识，回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示和2的两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于，数轴上表示和的两点之间的距离是______；如果表示数和的两点之间的距离是3，那么______． （2）若数轴上表示的点位于和3之间，求的值． （3）当为______时，最小，最小值为______． （4）若，请直接写出的值． 6.【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）若，则的值为多少？ （2）当取最小值时，可以取正整数 　 　；最大值为 　　； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和超市，居民区、、分别位于超市左侧，右侧，右侧．为了提升消费者体验，超市现需要在该公路上建造同城快送驿站，用于运送这3个小区的快递，需送3千份快递至小区，1千份快递至小区，2千份快递至小区．若快递的运输成本为每千米1元千份，该驿站建在某处时能使总运输成本最低，则该最低成本为 　　元． 7.[定义]如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． [发现]若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为． [例如]若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 解决问题： （1）求的值； （2）请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的； 小明同学说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则．（请你继续完成小明同学的说理过程） （3）若，都是“异数”，，（其中，均为小于10的正整数），若恒为正整数，求的最大值，并写出此时，的值． 8.我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）①表示：______；①若，则______； （2）结合数轴，求得的最小值为______； （3）如图，在数轴上有三个不同的点，，，其对应的数分别为，6，10．若点为数轴上的一个动点，当点到点，点的距离之和等于点到点距离的2.5倍时，请求出此时点所对应的数． 9.【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： （1）应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ， （2）应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等； （3）应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　 （4）应用四：求的最小值为 10.对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2“美好关联数”为______； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 11.红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相减的差最大，最大值是 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ； （3）从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24（注：每个数字只能用一次）． 12.【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． （1）【尝试应用】 ①数轴上表示和3的两点之间的距离是______（写出最后结果）； ②若，则______； （2）【动手探究】 伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合． ①表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是______，表示的数是______； ③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是______； （3）【拓展延伸】 当时，的最小值是_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：有理数计算最值问题 【知识导图】 【知识梳理】 ‌绝对值非负性‌：任何有理数的绝对值都≥0，这是求解最值的核心底层逻辑。 ‌几何意义‌：|x-a|表示数轴上点x到定点a的距离，距离之和的最值可通过“两点之间线段最短”推导。 ‌整体有理数集性质‌：全体有理数没有绝对的最大值和最小值，最值仅在指定区间、子集或限定条件下存在。 📌 基础单绝对值最值 这类题型仅含单个绝对值表达式，直接利用非负性即可快速求解： 形如|x-a|+k：当x=a时，绝对值取0，整体取得‌最小值k‌。 形如k-|x-a|：当x=a时，绝对值取0，整体取得‌最大值k‌。 特殊结论：绝对值最小的有理数是‌0‌，不存在绝对值最大的有理数。 📍 多个绝对值之和的最值 这是考试的核心题型，结合数轴几何意义可快速推导规律： ‌两个绝对值之和‌：对于|x-a|+|x-b|（a<b），当x在[a,b]区间内时，距离和最小，最小值为‌|a-b|‌。 ‌奇数个绝对值之和‌：n为奇数时，x取所有定点的‌中位数‌时，距离和取得最小值。 ‌偶数个绝对值之和‌：n为偶数时，x取中间两个定点之间的任意值（含端点），距离和取得最小值。 🛠️ 通用解题方法 ‌零点分段法‌： 步骤1：令每个绝对值内的表达式为0，求出所有零点 步骤2：用零点将数轴划分为若干区间 步骤3：在每个区间内去掉绝对值符号，转化为普通一次函数求最值 步骤4：对比所有区间的结果，确定全局最值 ‌绝对值三角不等式‌： |a+b| ≤ |a|+|b|，可用于快速求解差型绝对值的最大值 |a-b| ≥ ||a|-|b||，可用于快速求解差型绝对值的最小值 ⚠️ 常见易错点 忽略“多个绝对值之和取最值时，x的取值是一个区间而非单个点”的情况 去绝对值时未判断表达式正负，导致符号错误 混淆“距离之和”与“距离之差”的最值规律，前者求最小、后者求最大 未注意题目中隐含的有理数限定条件，导致最值范围判断偏差 【一阶练习】 1.式子存在最大值，这个最大值是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性可知，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最大值是2026． 故选：B． 2.若取到最小值，则整数x的值是（　　） A．4 B． C．3 D．﹣3 【分析】根据，取到最小值，x为整数，则整数x的取值要更接近，由此即可得出答案． 【解答】解：∵， 又∵取到最小值，x为整数， ∴整数x的取值要更接近， ∵3更接近， ∴当取到最小值，x＝3． 故选：C． 3.若取到最小值，则整数的值是（ ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 4.下列四个式子中，计算结果最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数加减乘除法运算的计算法则计算即可求解． 【详解】解∶ 计算结果最小的是选项D． 故选∶D． 5.我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 6.在算式的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以分别计算出□中填上+、−、×、÷后的结果，从而可以解答本题． 【详解】， ， ， ， 由上可得，在算式的□中填上“”时，使结果最小， 故选：A． 7.如果四个互不相同的正整数，，，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，，是互不相等的正整数，可知，，，互不相等，再根据可判断出，，，的值，代入求解即可． 【详解】解：四个互不相同的正整数，，，， ，，，是互不相等的整数， ， 要使取最大值，则，，，， 解得，，，， ． 故选A． 8.如果x为有理数，式子2025﹣|x+2024|存在最大值，那么这个最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2024 D．2023 【专题】实数；运算能力． 【分析】当|x+2024|取最小值0时，即可得到2025﹣|x+2024|的最大值． 【解答】解：∵|x+2024|≥0， ∴2025﹣|x+2024|的最大值为2025， 故选：A． 9.用2、0、2、4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，正确求出计算结果是解题关键．先求出各选项的计算结果，再比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ， 计算结果最大的式子是， 故选：B． 10.如果四个互不相同的正整数m、n、p、q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，则4m+3n+3p+q的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【分析】由题意确定出m，n，p，q的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9， ∴要求4m+3n+3p+q的最大值，则有：4﹣m＝﹣3，4﹣n＝1，4﹣p＝﹣1，4﹣q＝3， 解得：m＝7，n＝3，p＝5，q＝1， 则4m+3n+3p+q＝53． 故选：B． 【二阶练习】 1.素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是______，要使式子取到最大值，则有理数的值是______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据当时，取到最小值为0，据此求解即可． 【详解】解：当时，取到最小值为0．则的最小值是5； 当时，式子取到最大值， ∴， 解得， 故答案为：5；． 2.已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是_____． 【答案】81 【解析】 【分析】根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89， 再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值． 【详解】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1， ∴d4＜90，则d＝2或3， c3＜90，则c＝1，2，3或4， b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， a＜90，则a＝1，2，3，…，89， ∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89， ∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值， ∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3， ∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64， ∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81， 故答案为：81． 3.设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为 __． 【答案】6 【解析】 【分析】|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和，所以当x在﹣1和1之间时，它们的距离之和最小，继而即可求解． 【详解】解：设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c=|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和， 所以当x在﹣1和1之间时，它们的距离之和最小， 此时a+2b+c＝6； 故答案为：6． 4.数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数： ，，，0，，，然后从中抽取3张．使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数乘法运算．要想积最大，要保证最后的结果必须是正数，因此抽取的卡片负数的个数要为偶数个，据此根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵要想积最大，即要保证最后的结果必须是正数， ∴抽取的卡片负数的个数要为偶数个， ∴抽取的卡片为，，时的积最大，即， 故答案为：120． 5.的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解． 详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 在数轴上的几何意义是：表示有理数的点到及到的距离之和，所以当时，它的最小值为； 故答案为： 6.如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是___________ 【答案】12 【解析】 【分析】三个顶角分别是4，5，6；4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等． 【详解】 由图可知． 故答案为12. 7.从，，0，3，5中任取三个数相乘，最大的值是___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法法则、有理数的大小比较，根据有理数的乘法法则进行计算，再进行有理数的大小比较即可求解． 【详解】解：由题意得，最大的值是， 故答案为：30． 8.若，是整数，且，则的最大值与最小值的差为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法，代数式求值，根据和，是整数可以求出，的值，再计算，最后比较大小即可． 【详解】解：，是整数， ∴， 不妨设， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴的最大值为，最小值为，它们的差为， 故答案为：． 9.已知整数a，b，c，且c＜0，满足|a|+10b2﹣100c3＝2023，则a+b+c的最小值为 　﹣1924　 ． 【专题】实数；运算能力；推理能力． 【分析】根据绝对值及其偶次幂的非负性，并结合已知条件确定要使a+b+c最小，只要|a|最大，然后进行求解即可． 【解答】解：∵c＜0， ∴c3＜0， ∴﹣100c3＞0， ∵|a|≥0，10b2≥0， ∴要使a+b+c最小，只要|a|最大即可， ∴当c＝﹣1，b＝0时，|a|最大， ∴|a|+0+100＝2023， ∴|a|＝1923， ∴a＝﹣1923或1923（舍去）， ∴a+b+c的最小值为﹣1923+0﹣1＝﹣1924， 故答案为：﹣1924． 10.已知a，n均为正整数，若，，则a的最大值为　8　 ． 【专题】实数；运算能力． 【分析】先求出n的值，再根据的取值范围即可找出a的最大值． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴n＝3， ∵， ∴， ∴a的最大值为8， 故答案为：8． 11.已知，则的最大值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算、绝对值的意义等知识点，掌握绝对值的意义是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，可得．同理：，，结合题意可得：、，，于是，然后代入即可解答． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理：，， ∵， ∴、，． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：7． 12.已知表示数a在数轴上所对应的点到原点的距离。数a，b在数轴上所对应的两点之间的距离为，例如，-3，2在数轴上所对应的两点之间的距离为。 （1）的最小值为________； （2）的最小值为________。 【答案】（1）3 （2）6 13.如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是_____，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是______． 【答案】 ①. ## ②. 105 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的；要使3张卡片的积最大，要保证抽到两个负数和较大的正数． 【详解】解：抽到和2时，商最小，最小的商为：， 抽到，和时，积最大，最大的积为：， 故答案为：；105． 14.对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为 和5关于2的“美好关联数”为______； 若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； 若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______； ②……的最小值为______. 【答案】解：； 因为x和2关于3的“美好关联数”为4， 所以， 所以， 解得或； ①1； ②  【解析】解：， 故答案为：8； 见答案； ①因为和关于1的“美好关联数”为1， 所以， 所以在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 所以只有当，时， 有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知： ，的最小值； ，的最小值； ，的最小值； ，，的最小值； ，的最小值； 所以……的最小值： 故答案为： 15.如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足，则的最大值为______． 【答案】47 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求代数式的值，掌握运算法则是关键；由题意确定出正整数m，n，p，q的值，代入即可计算出值． 【详解】解：由题意知：这四个因数只能是，考虑到最大， 则， 所以， 则的最大值为， 故答案为：47． 【三阶练习】 1.如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． 1 （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最小，请列出算式求值； （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； （4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，请列出算式求值． 【答案】（1）4； （2）8； （3）15； （4）． 【解析】 【分析】此题考查了有理数的加法、减法、乘法、除法等知识．根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：当2张卡片上的数字为1和时，和最大为：； 【小问2详解】 当2张卡片上的数字为和时，差最小为：； 【小问3详解】 当2张卡片上的数字为和时，积最大为：； 【小问4详解】 当2张卡片上的数字为和时，商最小为：； 2.点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）和2之间的距离为__________； （2）若x与2的距离为3，则x的值为__________； （3）若成立，则满足条件的所有整数x为__________； （4）由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】（1）3 （2）或5 （3），或0，或1，或2 （4）6 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【小问1详解】 ； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； 【小问3详解】 解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： 【小问4详解】 解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 3.同学们都知道：表示3与－2之差的绝对值，实际上也可理解为3与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为___________． （2）如果，则__________． （3）同理表示数轴上有理数所对应的点到－2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是___________． （4）由以上探索猜想对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）；（2）7或-3；（3）-2、-1、0、1；（4）有最小值，最小值为2 【解析】 【分析】（1）根据距离公式即可解答； （2）利用绝对值求解即可； （3）利用绝对值及数轴求解即可； （4）根据数轴及绝对值，即可解答． 【详解】（1）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：7或-3； （3） ∵表示数轴上有理数所对应的点到-2和1所对应的点的距离之和， 如图， 当对应的数在与1之间（包含-2与1） 满足 ∴这样的整数有-2、-1、0、1， 故答案为：-2、-1、0、1； （4）有最小值，最小值2，理由如下：如图， ， 当最小时，即重合时， 则， 所以的值有最小值，最小值为． 4.我们知道：式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）若|x+5|＝6，则x的值为　﹣11或1　 ； （2）当|x+3|+|x﹣1|取最小值时，x可以取整数　﹣3或﹣2或﹣1或0或1　 ；|x+3|+|x﹣1|的最小值为　4　 ； （3）当x＝　﹣2　 时，|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的值最小，最小值为　7　 ； （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【专题】压轴题；实数；运算能力． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义解答即可； （3）由绝对值的几何意义可得式子|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的意义为表示x的点分别到﹣2、﹣6、1所表示的点的距离之和，可知当x＝﹣2时，距离之和最小，据此解答即可求解； （4）设菜鸟驿站P在x处，总运输成本为y元，分x≤﹣5，﹣5＜x≤1，1＜x≤3和x＞3四种情况，求出y的最小值，进而即可求解． 【解答】解：（1）式子|x+5|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数﹣5的点之间的距离， 由题意可得：当x在﹣5的左边时，则x＝﹣5﹣6＝﹣11； 当x在﹣5的右边时，则x＝﹣5+6＝1； ∴x＝﹣11或1， 故答案为：﹣11或1； （2）由题意可得：式子|x+3|+|x﹣1|的意义为表示有理数x的点到表示有理数﹣3的点与表示有理数x的点到表示有理数1的点的距离之和， ∴当x在﹣3和1之间时，|x+3|+|x﹣1|取最小值， ∴x可以取整数﹣3或﹣2或﹣1或0或1； 当x在﹣3和1之间即﹣3≤x≤1时，|x+3|+|x﹣1|＝x+3+1﹣x＝4， 故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1；4； （3）∵|x+2|+|x+6|+|x﹣1|＝|x﹣（﹣2）|+|x﹣（﹣6）|+|x﹣1|， ∴式子|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的意义为表示x的点分别到﹣2、﹣6、1所表示的点的距离之和， ∴当x＝﹣2时，距离之和最小，最小值为|﹣2+2|+|﹣2+6|+|﹣2﹣1|＝0+4+3＝7， ∴|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的最小值为7， 故答案为：﹣2，7； （4）设菜鸟驿站P在x处，总运输成本为y元， 当x≤﹣5时， ∴y＝（﹣5﹣x）+（1﹣x）×2+（3﹣x）×3＝﹣6x+6， ∵x≤﹣5， ∴当x＝﹣5时，y取最小值，y最小值＝﹣6×（﹣5）+6＝36； 当﹣5＜x≤1时，y＝（x+5）+（1﹣x）×2+（3﹣x）×3＝﹣4x+16， ∵﹣5＜x≤1， ∴当x＝1时，y取最小值，y最小值＝﹣4×1+16＝12； 当1＜x≤3时，y＝（x+5）+（x﹣1）×2+（3﹣x）×3＝12； 当x＞3时，y＝（x+5）+（x﹣1）×2+（x﹣3）×3＝6x﹣6， ∵x＞3， ∴y＞6×3﹣6＝12； ∴建在居民区B、C之间时，成本最低，为12元． 5.结合数轴与绝对值的知识，回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示和2的两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于，数轴上表示和的两点之间的距离是______；如果表示数和的两点之间的距离是3，那么______． （2）若数轴上表示的点位于和3之间，求的值． （3）当为______时，最小，最小值为______． （4）若，请直接写出的值． 【答案】（1），，，或； （2）8 （3），； （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用， （1）根据数轴上两点之间的距离计算即可； （2）由题意得，进而得到，，再去绝对值符号计算即可； （3）分四种情况讨论，分别去绝对值符号计算，求最小值比较即可； （4）分三种情况讨论，分别去绝对值符号解方程，即可求出的值． 【小问1详解】 解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2的两点之间的距离是； 数轴上表示和两点之间的距离是， 如果表示数和的两点之间的距离是3，则， 那么或， 故答案为：，，，或； 【小问2详解】 解：数轴上表示的点位于和3之间， ， ，， ； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 即当为时，最小，最小值为， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：当时，， 解得：； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得：， 综上可知，的值为或． 6.【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）若，则的值为多少？ （2）当取最小值时，可以取正整数 　1或2　；最大值为 　　； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和超市，居民区、、分别位于超市左侧，右侧，右侧．为了提升消费者体验，超市现需要在该公路上建造同城快送驿站，用于运送这3个小区的快递，需送3千份快递至小区，1千份快递至小区，2千份快递至小区．若快递的运输成本为每千米1元千份，该驿站建在某处时能使总运输成本最低，则该最低成本为 　　元． 【分析】（1）由解得或； （2）表示到表示，2的点的距离的和，故-5<x<2时，取最小值，知可以取正整数为1或2；分三种情况去绝对值可得最大值为8； （3）设驿站建在表示的点处，根据题意总运输成本为，分四种情况去绝对值可得最低成本为33元． 【解答】解：（1）由得： 或， 或； （2）表示到表示，2的点的距离的和， ∴-5<x<2时，取最小值， 可以取正整数为1或2； 当时，， 当-5<x<3时，， ∵-5<x<3， ∴-8<-2x-2<8，即-8<|x-3|-|x+5|<8； 当时，； 最大值为8； 故答案为：1或2；8； （3）设驿站建在表示的点处，根据题意总运输成本为， 当时，， ， ，即； 当时，； 当时，， ， ，即； 当时，， ， ； 综上所述，的最小值为33． 最低成本为33元； 故答案为：33． 7.[定义]如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． [发现]若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为． [例如]若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 解决问题： （1）求的值； （2）请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的； 小明同学说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则．（请你继续完成小明同学的说理过程） （3）若，都是“异数”，，（其中，均为小于10的正整数），若恒为正整数，求的最大值，并写出此时，的值． 【答案】（1）8 （2）见解析 （3）最大值为，或9， 【解析】 【分析】本题考查新定义题型，解题的关键是掌握整式的加减运算法则 （1）根据题目中的定义，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为即可得解． （2）根据题意，，交换个位与百位后得数为：，，商为正整数，即可得出结果； （3）根据“异数”的定义，易得，，由恒为正，得，结合均为小于10的正整数，当时最大，继而得解； 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， 交换个位与百位后得数为： ，均为整数 必为整数 【小问3详解】 ， ， 恒为正整数 ，即或9 当取最大值时，取最大值 为小于10的正整数 此时，取得最大值为 8.我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）①表示：______；①若，则______； （2）结合数轴，求得的最小值为______； （3）如图，在数轴上有三个不同的点，，，其对应的数分别为，6，10．若点为数轴上的一个动点，当点到点，点的距离之和等于点到点距离的2.5倍时，请求出此时点所对应的数． 【答案】（1）①数轴上表示数和数6两点之间的距离 ②， （2）12 （3）点P在AB之间，点P表示的数； 点P在C点右侧，点P表示的数50； 9.【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： （1）应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ， （2）应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等； （3）应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　 （4）应用四：求的最小值为 【答案】（1） （2） （3）7； （4）997002 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的的值的和即可； （4）观察已知条件可以发现，表示到距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：与的值相等， 表示的数与表示4和的数的距离相等， 表示的数是表示4和的数的中点， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 整数有、、、、、0、1、2，它们的和为， 故答案为：7；； 【小问4详解】 解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值． 当时，式子取得最小值， 此时， ． 10.对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2“美好关联数”为______； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 【答案】（1）8 （2）或 （3）①1；②820 【解析】 【分析】（1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 【小问1详解】 解：， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴只有当时，有最小值1； ②由题意可知：， ∵ ∴的最小值； ， ∵ 的最小值； 同理，， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值： ． 故答案为：1,820 11.红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相减的差最大，最大值是 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ； （3）从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24（注：每个数字只能用一次）． 【答案】（1）5 （2） （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是， 故答案：5； 【小问2详解】 解：由题意知，从中取出1，两张卡片，最小值是． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，； ∴取出的4个数进行的运算为． 12.【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． （1）【尝试应用】 ①数轴上表示和3的两点之间的距离是______（写出最后结果）； ②若，则______； （2）【动手探究】 伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合． ①表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是______，表示的数是______； ③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是______； （3）【拓展延伸】 当时，的最小值是_____． 【答案】（1）①；②或 （2）①；②，；③ （3） 【解析】 【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据题意可得方程或，解方程即可得到答案； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，再根据两点距离计算公式求解即可；②根据题意点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离都为，再由折叠点在A、B之间结合数轴上两点距离公式求解即可；③根据点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离相等，结合数轴上两点距离公式得到，据此可得结论； （3）根据绝对值的意义推出当时，有最小值5，同理可得，当时，有最小值6，再由，推出，，则当时，有最小值，最小值为． 小问1详解】 解；解：①， 故答案为：； ②，即， 或， 解得或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①由于折叠纸面，表示的点和表示的点重合， ∴折叠点所表示的数为， 设表示的点与表示的点重合，则有：， 解得， 故答案为：； ②∵A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为，且A，B两点经过折叠后重合， ∴点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离都为， ∴点所表示的数为，点所表示的数为， 故答案为：，； ③∵点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经过折叠后重合， ∴点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离相等， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值5， 同理可得，当时，有最小值6， ∴， ∵， ∴和必须同时取值最小值， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $