解题大招54 利用二级结论秒杀数列选填题（含斐波那契数列、爱奇艺公式）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

解题大招54 利用二级结论秒杀数列选填题 （含斐波那契数列、爱奇艺公式） 知识点01 一般数列中的二级结论 1．夹击法求数列的最大（小项） (1)在数列{an}中，若an最大，则 (2)若an最小，则 2．斐波那契数列(兔子数列)的概念及性质 (1)定义：斐波那契数列（Fibonacci sequence）是由意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时提出的，因此也被称为"兔子数列"。 (2)递推公式：数列通常记作 ，其核心特征是每一项都等于前两项之和。 标准定义： （ ） 有时也会遇到从0开始的定义： ，解题时需根据题目条件灵活调整 (3)通项公式（比内公式）：虽然高考不要求记忆推导过程，但了解其存在有助于理解数列的增长趋势: (4) 核心性质（高频考点） 求和性质：前 项和 平方和性质： 奇偶项和性质：(i)奇数项和： (ii)偶数项和： 卡西尼性质（Cassini Identity）： （ ）。这一性质常用于证明或比较大小. 其它性质：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 知识点02 等差数列中的二级结论 1．项的性质 在等差数列中，若两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等，即若，则； 2.片段和性质 (1)设等差数列的前项和为，则，，也构成等差数列， 公差为 ； (2)当为奇数时，； 当为偶数时， (3)若等差数列的前m项和Sm＝n，前n项和Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． 3．比值类问题 等差数列、的前n项和为，，则有： (1)； (2) 知识点03 等比数列中的二级结论 1．项的性质 在等比数列中，若两和式项数相同，下标和相等，则两式积相等，即若，则； 2..片段和性质 (1)若是的等比数列，则数列也成等比数列（其中为常数）；且为偶数时，数列是常数列，它不是等比数列. (2)在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，. (3) 在等比数列中Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*. 3.函数特殊属性 (1)设数列的前项和为，若，则是等比数列；若，则是从第二项为首项的等比数列． (2)设等比数列的前项和为，，当仅当时，是等比数列；当仅当时，是从第二项为首项的等比数列． 知识点04 数列求和中的二级结论 1.一些常见的数列的前n项和： (1)； (2)； (3)③； (4) 2．裂项法中的常见裂项技巧 (1)分式型：＝， ＝， ＝等． (2)指数型：＝－，＝－ 等． (3)根式型：＝(－)等． (4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1. 2．错位相减法中的爱奇艺公式 若数列满足，其中是等差数列，是公比不为1的等比数列，则是差比数列．若差比数列满足（，），通过错位相减法可以得到，其前项和秒杀公式为： ， 其中（谐音：爱奇艺），（谐音：不爱奇艺）． 证明 因为（，），，所以，所以（错位），所以（相减），所以．令，，则． 注：差比数列的形式必须先化成（，），在解答题中不能直接套结论，可以按错位相减求和正常写步骤，最后化简时根据结论直接得答案，或检验自己算的结果是否正确． 题型01 利用二级结论秒解斐波那契数列（兔子数列）问题 斐波那契数列的相关概念及性质详见本文的知识点01，熟记这些二级结论可以秒解斐波那契数列的选填小题. 【典例1-1】已知斐波那契数列 满足 ， （ ），则 的值为 . 【答案】4895 【详解】直接利用平方和性质 。 计算数列前几项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 当 时，原式 【典例1-2】（2026年皖南八校联考）已知斐波那契数列 满足 ， .若 ，则正整数 的值为 【答案】99 【详解】由斐波那契数列的平方和性质，左边 .故 . 因为 ，两边约去 ，得 .所以 ，即 . 【跟踪训练】 1.意大利数学家斐波那契的《算盘书》中记载了这样一个问题：在第一格放1颗麦粒，在第二格放1颗麦粒，之后每一格的麦粒数都是前两格之和.若要在前10格内总共放置麦粒，则总共需要放置的麦粒数为（ ）. A. 143 B. 144 C. 232 D. 233 【答案】A 【详解】本题考查前 项和性质 .前10项和 . 根据斐波那契数列： .故 .故选A. 2．（2027·贵州遵义·模拟预测）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题目所给递推公式对选项进行逐一验证，从而确定正确答案. 【详解】由已知，A正确； ，B正确； ，C错； ，D正确， 故选：ABD 秒杀解：由斐波那契数列的奇数项和性质可知，： 所以，B正确； 由偶数项和性质可知： 所以，C错误； 由平方和性质可知：，所以D正确. 3.(2025江淮十校联考)如图所示，向一个由正方形组成的螺旋图中填数，从第三项开始，每个正方形的边长等于前两个正方形的边长之和.若第一个正方形边长为1，第二个也为1，则第10个正方形的边长为 . 【答案】55 【详解】本题考查斐波那契数列的项的计算. 显然，边长数列为斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. 第10项为55. 4．（26-27高三·全国·一轮复习）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第______________项. 【答案】2027 【详解】由题意知，（，）， 所以（，）， 所以，，……，， 由累加法可得， 则， 所以是斐波那契数列的第2027项. 秒杀解：斐波那契数列的偶数项和性质为： ， 所以-1， 所以 题型02 等差数列项的性质的妙用 在等差数列中，若两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等，即若，则. 【典例2-1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）设等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A．10 B．30 C．50 D．70 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 所以， 所以， 所以. 【典例2-2】已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（ ） A．11     B．12     C．7     D．6 【答案】A 【分析】先利用等差数列角标和性质得到和，再结合题意，即和一正一负，进而进行求解. 【详解】由，即，进一步利用等差数列角标和性质，得到，结合题意，则和一正一负，又因为数列的前项和有最大值，所以，，这样，，所以取得最小正值时等于. 【点评】处理等差数列前项和的最值问题有两种方法： （1）判定数列的单调性，确定项的符号变化的分界项； （2）先利用等差数列的前项和公式得到表达式，再利用二次函数的单调性进行求解. 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列（）满足，，则（     ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可知，， 则，即. 2．（2026·四川南充·一模）等差数列的前项和为，且，，则（     ） A．14 B．24 C．28 D．56 【答案】C 【详解】等差数列中，，解得， 则. 题型03 等差数列片断和性质的妙用 等差数列的片段和性质 (1)设等差数列的前项和为，则，，也构成等差数列， 公差为 ； (2)当为奇数时，； 当为偶数时， (3)若等差数列的前m项和Sm＝n，前n项和Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． 【典例3-1】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 【答案】3 【分析】利用等差数列片断和性质求解. 【详解】是等差数列，则成等差数列， 所以，所以. 【典例3-2】（2027高三·全国·专题练习）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与前12项中奇数项的和之比为，则公差________． 【答案】5 【详解】由题意，可知 前12项中偶数项共6项，奇数项共6项， 故，． 秒杀解：由等差数列的奇偶项和性质可知,当为偶数时，, 所以 【跟踪训练】 1．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，由也成等差数列求解. 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 2．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 【答案】B 【详解】由等差数列的性质：仍成等差数列； 计算得：， 由等差中项性质：， 代入数值：，即， 解得：. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【详解】由题意，， ， 所以， 所以． 秒杀解：由等差数列的奇偶项和性质可知，所以n=11. 题型04 等差数列前n项和比值性质的妙用 等差数列、的前n项和为，，则有：(1)；(2). 【典例4-1】（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等差数列中 ，把“项之比”化成“和之比”． 【详解】，， 所以 ． 秒杀解：由二级结论，得 【典例4-2】．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 秒杀解：由二级结论，得 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因均为等差数列， 则. 秒杀解：由二级结论得 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 【答案】 【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算即可得解. 【详解】因为、均为等差数列，且其前项和分别是和，， 所以. 秒杀解：由二级结论得 3．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）等差数列与的前项和分别为和，若，那么_____. 【答案】 【分析】根据等差中项以及等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】因为与是等差数列，， 同理可得，且， 所以. 故答案为：. 秒杀解：由二级结论得 题型05 等比数列项的性质的妙用 在等比数列中，若两和式项数相同，下标和相等，则两式积相等，即若，则. 【典例5-1】（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）已知数列为等比数列，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知数列为等比数列，则， 即，解得. 【典例5-2】在各项均为正数的等比数列中，，，则（     ） A．1     B．9     C．     D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质和两数和的完全平方进行求解. 【详解】因为为各项为正的等比数列，，， 所以. 【跟踪训练】 1．（2026·青海黄南·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为. 由，得， 因为，，化简得，即. 由，得，因为，所以. 则. 所以. 2．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知是等比数列，若，则（     ） A．4 B．16 C．24 D．64 【答案】D 【分析】利用等比数列的等比中项性质得到，代入已知计算即可得结果. 【详解】设的公比为，则，，， 故， 因此. 题型06 等比数列片断和性质的妙用 (1)若是的等比数列，则数列也成等比数列（其中为常数）；且为偶数时，数列是常数列，它不是等比数列. (2)在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，. (3) 在等比数列中Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*. 【典例6-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用等比数列前项和的分段等比性质列方程求解，结合公比偶次幂的正性排除负解即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，， 根据等比数列前项和的性质： 当时，仍为等比数列，取，则成等比数列， 已知，，设，由等比中项性质可得： ， 展开整理得，解得或，又因为，其中， 故，结合，可得，因此舍去，即. 【典例6-2】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【详解】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【跟踪训练】 1．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记此等比数列为，设其公比为，由，得， 依题意，，相除得，所以， 所以这个数列的公比等于2. 2．（26-27高三上·贵州·阶段检测）记是等比数列的前项和，若，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】由于为等比数列，所以， 令，则，从而， 从而. 3．（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前项和公式奇数项之和等于偶数项之和的，可求，由通项公式求得的值． 【详解】设等比数列的项数为， 所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为， ： ：， ，， 由题意可得， . 题型07 等比数列的函数属性的妙用 (1)设数列的前项和为，若，则是等比数列；若，则是从第二项为首项的等比数列． (2)设等比数列的前项和为，，当仅当时，是等比数列；当仅当时，是从第二项为首项的等比数列． 【典例7】（24-25高二下·四川内江·阶段检测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 秒杀解：，所以解得 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】法一：由性质可得答案；法二：求出，再求出其公比为2，则，化简即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 法二：当时，， 当时，. ， 为等比数列，当时，， 化简得. 故选：C. 秒杀解：由等比数列前n项和的函数属性可知，若，则A+B=0. 2．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】设公比为，推导出，即可求出的值. 【详解】设公比为， 当时，不符合题意； 当时， 又， 所以，解得. 故选：B 秒杀解：，所以解得t=3.故选B. 题型08 利用爱奇艺公式秒杀错位相减法 若数列满足，其中是等差数列，是公比不为1的等比数列，则是差比数列．若差比数列满足（，），通过错位相减法可以得到，其前项和秒杀公式为： ， 其中（谐音：爱奇艺），（谐音：不爱奇艺）． 【典例8】（25-26高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用错位相减法来求和即可. 【详解】令， 则 两式相减得 所以， 故选：D. 秒杀解：，故，， 所以所求和为 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·全国·课后作业）数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据错位相减法求解即可得答案. 【详解】设的前项和为，则，① 所以，② ①②，得， 所以． 故选：B. 请同学们自己用爱奇艺公式秒解此题 2．（26-27高三上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【详解】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 请同学们自己用爱奇艺公式秒解此题 3．（26-27高三上·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】方法一：利用错位相减求和可得答案； 方法二：利用代入求出可得答案. 【详解】方法一： 令， 则， 两式相减得 ， 可得， 对一切都成立，那么，； 方法二：对一切都成立， 当时有， 即，解得. 故选：A. 请同学们自己用爱奇艺公式秒解此题 1．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A．44 B．88 C．55 D．110 【答案】A 【详解】在等差数列中，， 又，则，解得， 所以. 2．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 3．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 4．（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则，所以，解得， 所以，则. 5．（2026高二·全国·专题练习）设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为． 6．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可知，且，，，也为等差数列，根据等差中项可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即， 所以. 7．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理，准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前项和，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数列的递推公式计算判断AC；变形递推公式，利用累加法求解判断BD. 【详解】对于AC，，，， AC错误； 由，得， 对于B，，则 ，B正确； 对于D，，则 ，D错误. 故选：B 8．（25-26高二上·四川广安·期末）数列称为斐波那契数列．在数学上，斐波那契数列可表述为．设该数列的前项和为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累加法即可求出 【详解】由， 则有，，，，，， 累加得，所以. 故选：B. 9．（多选）（25-26高二下·辽宁大连·阶段检测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A． B．该数列的前2026项中能被3整除的有506项 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：因为，所以， ，故A错误； 对于B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…， 它们除以3所得的余数为：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…， 可以发现余数是以1，1，2，0，2，2，1，0为周期的，在一个周期内有2个能被3整除的数， 又，，所以该数列的前2026项中能被3整除的有项，故B正确； 对于C： 因为，即， 所以， 所以，故C正确； 对于D：因为 ， 因为，所以，故D正确. 10．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现．因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”“斐波那契数列”满足，记其前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数列新定义及数列概念计算判断 A，B，C选项，再应用裂项相消求和判断D即可. 【详解】A项，，A正确； B项，，B正确； C项，，C正确； D项，， 所以，D错误． 故选：ABC. 11．（26-27高三上·重庆江津·阶段检测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，则______． 【答案】 【详解】因为数列是等差数列， 所以，所以， 所以. 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 13．（25-26高二下·江西吉安·期中）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据等差数列下标和的性质以及前项和公式求得正确答案. 【详解】因为为等差数列， 所以. 14．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知等差数列，等差数列的前n项和分别为，，若，则________． 【答案】 【详解】由题设， 而，， 所以. 15．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知数列是等比数列，，，则的值为________. 【答案】或 【分析】利用等比数列下标和性质得，结合求出，，再由代入计算即可. 【详解】根据等比数列下标和性质，由，可得， 已知，因此，又，解得或， 由，，因此， 当时，，即；当时，，即. 综上，的值为或. 16．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【答案】 【分析】根据题意得出数列以及数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，最后利用错位相减法即可求解. 【详解】已知数列的前项和， 当时，； 当时，，当时也满足， 因此数列的通项公式为， 则数列是偶数数列：，数列为， 因此数列和数列的公共项为，即数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 则，， 两式相减得， 故. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招54 利用二级结论秒杀数列选填题 （含斐波那契数列、爱奇艺公式） 知识点01 一般数列中的二级结论 1．夹击法求数列的最大（小项） (1)在数列{an}中，若an最大，则 (2)若an最小，则 2．斐波那契数列(兔子数列)的概念及性质 (1)定义：斐波那契数列（Fibonacci sequence）是由意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时提出的，因此也被称为"兔子数列"。 (2)递推公式：数列通常记作 ，其核心特征是每一项都等于前两项之和。 标准定义： （ ） 有时也会遇到从0开始的定义： ，解题时需根据题目条件灵活调整 (3)通项公式（比内公式）：虽然高考不要求记忆推导过程，但了解其存在有助于理解数列的增长趋势: (4) 核心性质（高频考点） 求和性质：前 项和 平方和性质： 奇偶项和性质：(i)奇数项和： (ii)偶数项和： 卡西尼性质（Cassini Identity）： （ ）。这一性质常用于证明或比较大小. 其它性质：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 知识点02 等差数列中的二级结论 1．项的性质 在等差数列中，若两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等，即若，则； 2.片段和性质 (1)设等差数列的前项和为，则，，也构成等差数列， 公差为 ； (2)当为奇数时，； 当为偶数时， (3)若等差数列的前m项和Sm＝n，前n项和Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． 3．比值类问题 等差数列、的前n项和为，，则有： (1)； (2) 知识点03 等比数列中的二级结论 1．项的性质 在等比数列中，若两和式项数相同，下标和相等，则两式积相等，即若，则； 2..片段和性质 (1)若是的等比数列，则数列也成等比数列（其中为常数）；且为偶数时，数列是常数列，它不是等比数列. (2)在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，. (3) 在等比数列中Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*. 3.函数特殊属性 (1)设数列的前项和为，若，则是等比数列；若，则是从第二项为首项的等比数列． (2)设等比数列的前项和为，，当仅当时，是等比数列；当仅当时，是从第二项为首项的等比数列． 知识点04 数列求和中的二级结论 1.一些常见的数列的前n项和： (1)； (2)； (3)③； (4) 2．裂项法中的常见裂项技巧 (1)分式型：＝， ＝， ＝等． (2)指数型：＝－，＝－ 等． (3)根式型：＝(－)等． (4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1. 2．错位相减法中的爱奇艺公式 若数列满足，其中是等差数列，是公比不为1的等比数列，则是差比数列．若差比数列满足（，），通过错位相减法可以得到，其前项和秒杀公式为： ， 其中（谐音：爱奇艺），（谐音：不爱奇艺）． 证明 因为（，），，所以，所以（错位），所以（相减），所以．令，，则． 注：差比数列的形式必须先化成（，），在解答题中不能直接套结论，可以按错位相减求和正常写步骤，最后化简时根据结论直接得答案，或检验自己算的结果是否正确． 题型01 利用二级结论秒解斐波那契数列（兔子数列）问题 斐波那契数列的相关概念及性质详见本文的知识点01，熟记这些二级结论可以秒解斐波那契数列的选填小题. 【典例1-1】已知斐波那契数列 满足 ， （ ），则 的值为 . 【典例1-2】（2026年皖南八校联考）已知斐波那契数列 满足 ， .若 ，则正整数 的值为 【跟踪训练】 1.意大利数学家斐波那契的《算盘书》中记载了这样一个问题：在第一格放1颗麦粒，在第二格放1颗麦粒，之后每一格的麦粒数都是前两格之和.若要在前10格内总共放置麦粒，则总共需要放置的麦粒数为（ ）. A. 143 B. 144 C. 232 D. 233 2．（多选）（2027·贵州遵义·模拟预测）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3.(2025江淮十校联考)如图所示，向一个由正方形组成的螺旋图中填数，从第三项开始，每个正方形的边长等于前两个正方形的边长之和.若第一个正方形边长为1，第二个也为1，则第10个正方形的边长为 . 4．（26-27高三·全国·一轮复习）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第______________项. 题型02 等差数列项的性质的妙用 1．项的性质 在等差数列中，若两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等，即若，则. 【典例2-1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）设等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A．10 B．30 C．50 D．70 【典例2-2】已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（ ） A．11     B．12     C．7     D．6 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列（）满足，，则（     ） A．4 B．7 C．8 D．2026 2．（2026·四川南充·一模）等差数列的前项和为，且，，则（     ） A．14 B．24 C．28 D．56 题型03 等差数列片断和性质的妙用 等差数列的片段和性质 (1)设等差数列的前项和为，则，，也构成等差数列， 公差为 ； (2)当为奇数时，； 当为偶数时， (3)若等差数列的前m项和Sm＝n，前n项和Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． 【典例3-1】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 【典例3-2】（2027高三·全国·专题练习）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与前12项中奇数项的和之比为，则公差________． 【跟踪训练】 1．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 2．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 题型04 等差数列前n项和比值性质的妙用 等差数列、的前n项和为，，则有：(1)；(2). 【典例4-1】（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 3．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）等差数列与的前项和分别为和，若，那么_____. 题型05 等比数列项的性质的妙用 在等比数列中，若两和式项数相同，下标和相等，则两式积相等，即若，则. 【典例5-1】（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）已知数列为等比数列，，，则（     ） A． B． C． D． 【典例5-2】在各项均为正数的等比数列中，，，则（     ） A．1     B．9     C．     D． 【跟踪训练】 1．（2026·青海黄南·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知是等比数列，若，则（     ） A．4 B．16 C．24 D．64 题型06 等比数列片断和性质的妙用 (1)若是的等比数列，则数列也成等比数列（其中为常数）；且为偶数时，数列是常数列，它不是等比数列. (2)在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，. (3) 在等比数列中Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*. 【典例6-1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【典例6-2】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ） A．    B．    C．    D． 【跟踪训练】 1．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·贵州·阶段检测）记是等比数列的前项和，若，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（     ） A． B． C． D． 题型07 等比数列的函数属性的妙用 (1)设数列的前项和为，若，则是等比数列；若，则是从第二项为首项的等比数列． (2)设等比数列的前项和为，，当仅当时，是等比数列；当仅当时，是从第二项为首项的等比数列． 【典例7】（24-25高二下·四川内江·阶段检测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 题型08 利用爱奇艺公式秒杀错位相减法 若数列满足，其中是等差数列，是公比不为1的等比数列，则是差比数列．若差比数列满足（，），通过错位相减法可以得到，其前项和秒杀公式为： ， 其中（谐音：爱奇艺），（谐音：不爱奇艺）． 【典例8】（25-26高三下·河北邯郸·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·全国·课后作业）数列的前项和等于（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B． C．， D．， 1．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A．44 B．88 C．55 D．110 2．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 3．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 4．（25-26高二下·四川雅安·阶段检测）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 5．（2026高二·全国·专题练习）设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理，准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前项和，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·四川广安·期末）数列称为斐波那契数列．在数学上，斐波那契数列可表述为．设该数列的前项和为，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高二下·辽宁大连·阶段检测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A． B．该数列的前2026项中能被3整除的有506项 C． D． 10．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现．因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”“斐波那契数列”满足，记其前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·重庆江津·阶段检测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，则______． 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，若，则______． 13．（25-26高二下·江西吉安·期中）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 14．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知等差数列，等差数列的前n项和分别为，，若，则________． 15．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知数列是等比数列，，，则的值为________. 16．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $