专题05 直线和圆距离相关最值问题 题型精讲（讲义）（全国通用）-2026-2027学年高二上学期数学选择性必修第一册

点线寻对称，距离求最值，探究直线与圆 专题05 直线和圆距离相关最值问题·题型精讲（讲义） 考点预览 目录 题型01 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 1 题型02 与距离有关的最值问题 3 题型03 圆的切线长最值问题 4 题型04 过圆内定点的弦长最值 6 题型05 斜率型最值问题 8 题型06 距离型最值问题 10 题型07 截距型最值问题 11 题型08 面积型最值问题 13 题型01 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 1.圆上到直线的距离为定值的点的个数 设圆的半径为,圆心到直线的距离为,则 （1）当时,圆上没有点到直线的距离等于; （2）当时,圆上有且只有1个点到直线的距离等于; （3）当或时,圆上有且只有2个点到直线的距离等于; （4）当时,圆上有且只有3个点到直线的距离等于; （5）当时,圆上有且只有4个点到直线的距离等于. 【典例1】（25-26高二上·天津南开·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】1．（25-26高二上·山东青岛·月考）已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26高二上·天津·期中）已知圆，直线l：，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·单元测试）已知圆，直线．若圆上恰好有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津西青·期中）若圆上恰有个不同的点到直线的距离为，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离等于，则的范围是____________． 题型02 与距离有关的最值问题 ①求圆心坐标、半径； ②用点到直线距离公式，计算圆心到直线距离； ③最大值；最小值； ④若，直线与圆相交，圆上存在点落在直线上，最小值为。 易错提醒 直线和圆相交时，仍然写作为最小值，忽略最小值可以取0。 【典例2】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式训练】1．（25-26高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）若点P在圆上运动，点Q在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北邢台·期末）设分别是直线和圆上的动点，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（25-26高二上·四川遂宁·期中）圆C：上一点P到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型03 圆的切线长最值问题 圆外一点引圆切线，切点，由勾股定理：。 切线长大小由点到圆心距离决定：越小，切线长越小；越大，切线长越大。 若动点在某条直线上，则最小值就是圆心到这条直线的垂线段长。 解题步骤： ①确定圆心、半径； ②找到动点所在轨迹（直线/圆），求的最值； ③代入勾股公式，算出切线长最值。 易错提醒： 忘记勾股关系，直接把点到圆心距离当作切线长；开根号前忘记平方运算。 【典例3】（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【变式训练】1．（2025·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．（25-26高二上·安徽宣城·期末）(多选)已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 4．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为______. 5．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为____________． 6．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的圆心C的坐标为，圆C与直线和直线都相切，其中实数． (1)求圆C的标准方程； (2)求实数m的值； (3)若直线和相交于点P，且直线切圆C于点A，求切线长． 题型04 过圆内定点的弦长最值 定点在圆内部。垂径定理，是圆心到弦的距离。 最长弦：过该定点的直径，弦长等于直径； 最短弦：过定点且与圆心‑定点连线垂直的弦；。 解题步骤 ①判断定点在圆内； ②最长弦直接取直径； ③计算圆心到定点距离； ④最短弦长； ⑤最短弦所在直线：与垂直，过定点。 易错提醒 定点在圆外部，不存在最短弦；混淆最长、最短弦条件；忽略斜率不存在的情况。 【典例4】（26-27高二上·内蒙古包头·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 【变式训练】1．（25-26高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 2．（25-26高二上·广西玉林·期中）(多选)点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（    ） A．圆心距 B．的最小值为2 C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4 3．（25-26高二上·云南大理·阶段检测）(多选)已知圆和直线，则下列说法中正确的是（    ） A．直线与圆的位置关系无法判定 B．当时，圆上的点到直线的最远距离为 C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时， D．如果直线与圆相交于，两点，则弦的最短长度为 4．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为______. 5．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 6．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知圆，直线． (1)求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点； (2)设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？ 题型05 斜率型最值问题 目标，几何含义：圆上动点与定点连线的斜率。 临界状态：直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，解出斜率的边界。 解题步骤 ①设，整理直线方程； ②利用圆心到直线距离等于半径列方程； ③解出，得到斜率最大值、最小值； ④注意：存在竖直切线时，某一侧斜率无界。 易错提醒 漏掉竖直直线斜率不存在的情况；定点在圆内，所有斜率都存在，没有切线限制。 【典例5】（25-26高二上·山西运城·期中）已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）点为圆上任意一点，求的最值. 【变式训练】1．（25-26高二·全国·期末检测）若点在圆上运动，求： (1)的最大值； (2)的最值． 2．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 3．（25-26高二上·山西朔州·期中）已知圆为圆上任一点. （1）求的最大值与最小值； （2）求的最大值与最小值. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 6．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知圆 (1)求过点的圆的切线方程； (2)点为圆上任意一点，求的最值． 题型06 距离型最值问题 包括圆上点到定点距离、距离的平方；圆上点到直线距离。 距离平方：先求距离最值，再平方；不要直接把圆心距离平方代替。 解题步骤 ①分清：动点是圆上点；目标是距离还是距离平方； ②几何法：利用圆心、定点、半径求距离最值； ③求距离平方：将距离最值整体平方； ④也可以用三角换元，转化三角函数求值域。 易错提醒 求距离平方时，直接计算，忘记加减半径；混淆点在圆内、圆外。 【典例6】（2025·四川凉山·三模）已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【变式训练】1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 4．（25-26高二上·广东梅州·期末）(多选)已知点是圆上一点，其中，则（    ） A．圆C与轴相交 B． b的最大值是5 C．的最小值是 D．的最小值是 5．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）(多选)已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 6．（25-26高二上·四川乐山·期末）已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 题型07 截距型最值问题 目标，变形；是直线纵截距。 的变化等价于一组平行直线上下平移，临界位置为直线与圆相切。 解题步骤 ①令，整理为； ②圆心到直线距离等于半径：； ③解出两个解，即为的最大值、最小值。 易错提醒 时不能看成纵截距，直接按距离公式计算；不要混淆截距和目标。 【典例7】（25-26高二上·江苏无锡·期中）(多选)已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【变式训练】1．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知实数x，y满足，则的最大值是（   ） A． B．4 C． D．7 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知实数满足方程，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D． 5．（25-26高二上·吉林长春·期末）(多选)已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 6．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 题型08 面积型最值问题 三角形、四边形面积。常见两类： ①底边固定，面积最值等价于动点到底边的高的最值；高用圆上点到直线距离； ②切线相关四边形：拆成直角三角形，利用切线长求面积。 解题步骤 ①固定底边：求圆上动点到底边所在直线距离的最大、最小值； ②，代入高的最值得到面积最值； ③切线四边形：拆为两个全等直角三角形，用切线长计算面积。 【典例8】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）(多选)已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（  ） A．最短时，弦直线方程为 B．最短时，弦长为 C．M为圆C上一动点，则最小值为 D．四边形的面积最小值为 【变式训练】1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 4．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 6．（25-26高二上·广东广州·期中）(多选)已知圆直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则下列选项中正确的是（    ）. A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦所在直线方程为 D．直线过定点 7．（25-26高二上·河北邢台·期中）(多选)直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（   ） A．面积的最大值是 B．面积的最小值是 C．当最小时， D．当最大时， 8．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $点线寻对称，距离求最值，探究直线与圆 专题05 直线和圆距离相关最值问题·题型精讲（讲义） 考点预览 目录 题型01 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 1 题型02 与距离有关的最值问题 5 题型03 圆的切线长最值问题 8 题型04 过圆内定点的弦长最值 15 题型05 斜率型最值问题 22 题型06 距离型最值问题 30 题型07 截距型最值问题 36 题型08 面积型最值问题 43 题型01 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 1.圆上到直线的距离为定值的点的个数 设圆的半径为,圆心到直线的距离为,则 （1）当时,圆上没有点到直线的距离等于; （2）当时,圆上有且只有1个点到直线的距离等于; （3）当或时,圆上有且只有2个点到直线的距离等于; （4）当时,圆上有且只有3个点到直线的距离等于; （5）当时,圆上有且只有4个点到直线的距离等于. 【典例1】（25-26高二上·天津南开·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线直线的距离为1，所以有， 故选：D 【变式训练】1．（25-26高二上·山东青岛·月考）已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离满足，利用点到直线的距离公式计算，解不等式即可. 【详解】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为2． 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得． 故选：C． 2．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】圆上恰有三个点到直线的距离都等于1且半径为2，则圆心到直线的距离求解即可. 【详解】圆心，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离为，解得; 故答案为：B 3．（25-26高二上·天津·期中）已知圆，直线l：，圆上有且只有2个点到直线l的距离为1，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得圆心到直线的距离，利用距离公式列出不等式求解即可. 【详解】圆的圆心是，半径， 圆上恰有两个点到直线的距离等于； 所以圆心到直线的距离， 则，解得：或. 即实数的取值范围是. 故选：B 4．（25-26高二·全国·单元测试）已知圆，直线．若圆上恰好有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】由圆的方程，可得圆的圆心为原点，半径为2．若圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则原点到直线的距离等于1，则原点到直线的距离小于1．因为直线的一般方程为，所以，解得． 故选B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，其中分析出圆心O到直线l：y=x+b的距离d小于1是解解答的关键． 5．（24-25高二上·天津西青·期中）若圆上恰有个不同的点到直线的距离为，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆心和半径，比较半径和，要求圆上有个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应大于，但小于，再用圆心到直线的距离公式，可求得结果． 【详解】由圆，整理为， 所以圆心坐标为，半径为，设圆心到直线的距离为， 要求圆上恰有个不同的点到直线的距离为， 则，得到，即， 又，所以， 故选：C． 6．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离等于，则的范围是____________． 【答案】 【分析】作出图形，计算出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆上至少有三个点到直线的距离等于，则，即， 解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型02 与距离有关的最值问题 ①求圆心坐标、半径； ②用点到直线距离公式，计算圆心到直线距离； ③最大值；最小值； ④若，直线与圆相交，圆上存在点落在直线上，最小值为。 易错提醒 直线和圆相交时，仍然写作为最小值，忽略最小值可以取0。 【典例2】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 【变式训练】1．（25-26高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 2．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）若点P在圆上运动，点Q在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算圆心到直线的距离，减去圆的半径即为最小值. 【详解】点Q在直线上， 由点P在圆上运动， 则的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 而 故最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆上的动点到直线上动点的距离问题，属基础题. 3．（24-25高三上·河北邢台·期末）设分别是直线和圆上的动点，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据的最小值为圆心到直线的距离减去半径可得结果. 【详解】    圆方程可化为：，故圆心，半径， ∴圆心到直线的距离， ∴的最小值为. 故选：B. 4．（25-26高二上·四川遂宁·期中）圆C：上一点P到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的方程，求出圆心和半径，由圆心到直线的距离大于半径，所以圆C上一点P到直线的距离的最小值，求解即可. 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 直线：可化为， 圆心到直线的距离为， 所以圆C上一点P到直线的距离的最小值为. 故选：A 题型03 圆的切线长最值问题 圆外一点引圆切线，切点，由勾股定理：。 切线长大小由点到圆心距离决定：越小，切线长越小；越大，切线长越大。 若动点在某条直线上，则最小值就是圆心到这条直线的垂线段长。 解题步骤： ①确定圆心、半径； ②找到动点所在轨迹（直线/圆），求的最值； ③代入勾股公式，算出切线长最值。 易错提醒： 忘记勾股关系，直接把点到圆心距离当作切线长；开根号前忘记平方运算。 【典例3】（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【分析】由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 【变式训练】1．（2025·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，由勾股定理可得，当取小值时，，求出圆心到直线的距离，作为的最小值，结合勾股求解即可. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 由圆的几何性质可知，， 由勾股定理可得, 所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可. 当直线与直线垂直时，取最小值， 则的最小值是. 故选：A. 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 3．（25-26高二上·安徽宣城·期末）(多选)已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 4．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为______. 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再由弦，弦心距和半径的关系列方程可求出，然后求出圆心与间的距离，再利用勾股定理可求得结果. 【详解】由，得， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆与直线相交所得圆的弦长是， 所以，解得或（舍去）， 所以圆心为，半径为， 所以与间的距离为， 所以所求的切线长为， 故答案为：. 5．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为____________． 【答案】 【分析】根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解． 【详解】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 6．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的圆心C的坐标为，圆C与直线和直线都相切，其中实数． (1)求圆C的标准方程； (2)求实数m的值； (3)若直线和相交于点P，且直线切圆C于点A，求切线长． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用圆的切线性质及点到直线距离公式求出圆半径即可. （2）利用点到直线距离公式列式计算即得. （3）解方程组求出点的坐标，求出直线的方程，进而求出点的坐标及. 【详解】（1）由圆C与直线相切，得点到直线距离为圆的半径， 则， 所以圆C的标准方程为. （2）由圆C与直线相切，得，而， 所以. （3）由（2）知，直线， 由，解得，则， 依题意，，直线的斜率为2，方程为，即， 由，解得，则， 所以. 题型04 过圆内定点的弦长最值 定点在圆内部。垂径定理，是圆心到弦的距离。 最长弦：过该定点的直径，弦长等于直径； 最短弦：过定点且与圆心‑定点连线垂直的弦；。 解题步骤 ①判断定点在圆内； ②最长弦直接取直径； ③计算圆心到定点距离； ④最短弦长； ⑤最短弦所在直线：与垂直，过定点。 易错提醒 定点在圆外部，不存在最短弦；混淆最长、最短弦条件；忽略斜率不存在的情况。 【典例4】（26-27高二上·内蒙古包头·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 【答案】(1)证明：直线的方程可化为， 由，解得， 所以直线恒过定点. (2)当的方程为时最短；，最短弦长为； (3) 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组得定点坐标. （2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. （3）利用（2）的信息直接写出圆的方程. 【详解】（1）略 （2）圆的圆心，半径， 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，最短弦长为 所以当的方程为时最短；，最短弦长为. （3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以短弦长为直径的圆的方程. 【变式训练】1．（25-26高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 2．（25-26高二上·广西玉林·期中）(多选)点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（    ） A．圆心距 B．的最小值为2 C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4 【答案】ACD 【分析】求各圆的圆心和半径，进而求，即可判断A；根据圆的性质分析判断BCD. 【详解】由题意可知：圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 对于选项ABC：圆心距，故A正确； 的最小值为，故B错误； 的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为， 可知点M在圆内，当圆经过点M的弦与垂直时，弦长取最小值， 最小值为，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·云南大理·阶段检测）(多选)已知圆和直线，则下列说法中正确的是（    ） A．直线与圆的位置关系无法判定 B．当时，圆上的点到直线的最远距离为 C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时， D．如果直线与圆相交于，两点，则弦的最短长度为 【答案】BCD 【分析】选项A，通过变形直线方程，得到直线恒过定点，从而判断直线和圆相交；选项B，根据圆的性质即可判断；选项C，由题可得圆心到直线的距离为1，根据点到直线距离公式即得；选项D，当过圆心和定点的直线与直线垂直时，弦的长度最短，即可判断. 【详解】对于A，由直线的方程可得，则直线恒过定点，此点在圆内，所以直线与圆相交．故A错误． 对于B，当时，直线的方程为，圆，即，可知半径． 设圆心到直线的距离为，则， 所以圆上的点到直线的最远距离为．故B正确． 对于C，当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，圆心到直线的距离为1，由，得．故C正确． 对于D，直线恒过定点，当过圆心和定点的直线与直线垂直时，弦的长度最短，即，故D正确． 故选：BCD． 4．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为______. 【答案】 【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可. 【详解】直线：过定点， 圆：，圆心，半径 因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时， 弦长最短为， 故答案为：. 5．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，当时， 圆心到直线的距离取得最大值为，由直线被圆截得的弦长公式求解最短弦的长度. 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 6．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知圆，直线． (1)求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点； (2)设直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得直线截圆所得的弦最长或最短？ 【答案】(1) 证法1：联立直线与圆的方程得， 整理得， ， 直线与圆总有两个不同的交点． 证法2： 圆，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为：， 又，， 直线与圆总有两个不同的交点． (2)或 (3)存在实数使得所得的弦最长，不存在实数使得所得的弦最短 【分析】（1）证法1：联立直线与圆的方程，得出判别式大于0，从而证明结论；证法2：利用点到直线的距离公式求出圆心到半径的距离，利用得出直线与圆的位置关系证明结论； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合勾股定理构造方程求出，进而求出直线方程； （3）先求出直线恒过定点，再利用过定点的直线与圆的位置关系讨论求解． 【详解】（1）略 （2）设圆心到直线的距离为，则， 如下图所示，，取中点， 则，，   ，， ，即，解得， 直线的方程为或． （3）存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短．理由如下：， 由，解得， 直线过定点，如下图所示：    当直线过圆心时，直线截圆所得的弦最长， 此时，直线的方程为， 存在实数使得直线截圆所得的弦最长； 当直线时，直线截圆所得的弦最短，设直线的斜率为，则， ，， 直线的斜率不存在，故不存在实数使截圆所得的弦最短． 存在实数使得直线截圆所得的弦最长，不存在实数使截圆所得的弦最短． 题型05 斜率型最值问题 目标，几何含义：圆上动点与定点连线的斜率。 临界状态：直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，解出斜率的边界。 解题步骤 ①设，整理直线方程； ②利用圆心到直线距离等于半径列方程； ③解出，得到斜率最大值、最小值； ④注意：存在竖直切线时，某一侧斜率无界。 易错提醒 漏掉竖直直线斜率不存在的情况；定点在圆内，所有斜率都存在，没有切线限制。 【典例5】（25-26高二上·山西运城·期中）已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）点为圆上任意一点，求的最值. 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为0 【分析】（1）由，求出的垂直平分线方程，与直线联立求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的方程；（2）可以看成是点与连线的斜率 ，直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线与圆相切时的的值，从而可得结果. 【详解】（1）由，得中点为，， 所以的垂直平分线为 联立，得 ，则， 圆的半径为， 所以圆的方程为 （2）可以看成是点与连线的斜率 直线的方程为，即 当直线为圆的切线时，有，解得 所以的最大值为，最小值为0 【点睛】本题主要考查圆的方程和性质、以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 【变式训练】1．（25-26高二·全国·期末检测）若点在圆上运动，求： (1)的最大值； (2)的最值． 【答案】(1) (2)最小值，最大值 【分析】（1）确定圆心和半径，设，，当直线和圆相切时取最值，计算得到答案. （2）设，联立方程得到，计算得到答案. 【详解】（1），圆心为，半径. 设，表示的斜率，即，当直线与圆相切时取最值， 此时圆心到直线的距离为，解得， 故的最大值为 （2）设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值 2．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 3．（25-26高二上·山西朔州·期中）已知圆为圆上任一点. （1）求的最大值与最小值； （2）求的最大值与最小值. 【答案】（1）最大值是，最小值是；（2）最大值是，最小值是. 【详解】（2）试题分析：（1）是圆上的点与点连线的斜率，最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率.设切线的斜率为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率；（2）令，则，转化为线性规划问题求解，平移直线，当直线和圆有公共点时，的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.利用点到直线的距离公式，求得的取值范围. 试题解析： （1）显然可以看作是点与点连线的斜率.令，如图所示，则其最大、最小值分别是过点的圆的两条切线的斜率. 对上式整理得， ∴， ∴. 故的最大值是，最小值是.    （3）令，则可视为一组平行线，当直线和圆有公共点时，的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得. 依题意，得，取得， 故的最大值是，最小值是. 考点：直线与圆的位置关系. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 【答案】(1)21 (2) (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. 【详解】（1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 6．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知圆 (1)求过点的圆的切线方程； (2)点为圆上任意一点，求的最值． 【答案】(1) 和  (2)的最大值为；的最小值为 【分析】(1)本题首先可以确定圆的圆心以及半径，然后根据题意分为直线斜率存在以及不存在两种情况，最后根据圆心到切线距离等于半径即可列出算式并得出结果； (2)本题首先可明确为原点到圆上一点的直线的斜率，然后结合图像得出当圆与直线相切时斜率取最值，最后根据圆心到切线距离等于半径即可得出结果． 【详解】(1)因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为， ①当切线斜率不存在时， 因为直线过点，所以直线方程为，即 圆心到直线距离，所以直线是圆的切线， ②当切线斜率存在时，设切线斜率为， 则切线方程为，即 因为圆心到切线距离等于半径， 所以，解得，此时切线方程为， 综上所述，过点的圆的切线方程为和． (2)因为即，为圆上任意一点， 所以即原点到圆上一点的直线的斜率， 令，则原点到圆上一点的直线的方程为，即      如图所示，当圆与直线相切时，斜率取最值， 则有圆心到切线距离等于半径，即，解得或， 所以斜率的最大值，斜率的最小， 所以的最大值为；的最小值为． 【点睛】本题考查圆与直线相切的相关性质，考查斜率的相关性质，若圆与直线相切，则圆心到直线线距离等于半径，考查点到直线距离公式，考查计算能力，是中档题． 题型06 距离型最值问题 包括圆上点到定点距离、距离的平方；圆上点到直线距离。 距离平方：先求距离最值，再平方；不要直接把圆心距离平方代替。 解题步骤 ①分清：动点是圆上点；目标是距离还是距离平方； ②几何法：利用圆心、定点、半径求距离最值； ③求距离平方：将距离最值整体平方； ④也可以用三角换元，转化三角函数求值域。 易错提醒 求距离平方时，直接计算，忘记加减半径；混淆点在圆内、圆外。 【典例6】（2025·四川凉山·三模）已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】A选项表示圆上一点到点的距离，即最小值为；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可得判断B；表示圆上一点到点距离之和，由此求解可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D. 【详解】方程的圆心为， 对于A，表示圆上一点到点的距离， ， 所以的最小值是，故A正确； 对于B，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 所以到直线的距离为， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以 表示圆上一点到点距离之和， 所以，当三点在一条直线上时取等， 故的最小值是，故C正确； 对于D，因为，所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以，当三点在一条直线上时取等， 的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练】1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 2．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线,经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最小距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点，但不能表示直线； 直线变形为，过定点，但不能表示直线； 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆（除去点）. 因的中点坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 由于圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 4．（25-26高二上·广东梅州·期末）(多选)已知点是圆上一点，其中，则（    ） A．圆C与轴相交 B． b的最大值是5 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BD 【分析】根据题意，圆心，半径，根据直线与圆的位置关系可判断A；将代入圆中，得到，解得即可判断B；对于C，令，即，则，解得即可判断C；先求圆心到原点的距离为，则的最小值是． 【详解】圆，可化为，故圆心，半径， 对于A，圆心到轴的距离，则圆C与轴相离，故A错误； 对于B，点在圆上，则， ，解得，即b的最大值是5，故B正确； 对于C，令，即，又点在圆上， 所以，解得，则的最小值是，故C错误； 对于D，因为圆心到原点的距离为， 所以的最小值是，故D正确． 故选：BD． 5．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）(多选)已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高二上·四川乐山·期末）已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）由圆C的标准方程得到圆心为，半径为1，求得圆心关于对称的点为即可； （2）由即为点P到原点的距离的平方，利用几何法求解. 【详解】（1）由圆C的标准方程为，可知圆心为，半径为1. 圆心关于对称的点为， 圆C关于直线对称的圆的方程为. （2）即为圆上的点P到原点的距离的平方. 圆心到原点的距离为， 的最大值为，最小值为. 题型07 截距型最值问题 目标，变形；是直线纵截距。 的变化等价于一组平行直线上下平移，临界位置为直线与圆相切。 解题步骤 ①令，整理为； ②圆心到直线距离等于半径：； ③解出两个解，即为的最大值、最小值。 易错提醒 时不能看成纵截距，直接按距离公式计算；不要混淆截距和目标。 【典例7】（25-26高二上·江苏无锡·期中）(多选)已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】先将曲线的方程化为标准方程，确定其几何图形，再根据不同选项的要求，结合圆的性质进行分析. 【详解】曲线的方程可化为， 令，其几何意义是圆上的点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加上半径，即， 的最大值为，正确. 设，其几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 则可化为，即， 直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径， 即，化简得，解得， 的最大值为，错误. 设，则，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时的截距取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最大值是，正确. 设，即，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最小值是，错误. 故选：. 【变式训练】1．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，分析出当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值.利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离求出，即可得解. 【详解】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知实数x，y满足，则的最大值是（   ） A． B．4 C． D．7 【答案】A 【分析】令，利用判别式法即可. 【详解】令，则， 由， 得， 整理得，， 因为存在实数满足等式， 所以， 解得， 则的最大值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知实数满足方程，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出圆的圆心和半径，设，即，则表示与直线平行或重合的直线的轴上的截距，求出圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，为最大值或最小值，则，代入和的值，计算求出的值，即可得到的最小值. 【详解】，， 圆心，半径为， 设，即， 则表示与直线平行或重合的直线的轴上的截距， 圆心到直线的距离为， 当直线与圆相切时，为最大值或最小值， 则，，， ，或， ，，. 故选：A. 4．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】整理出圆的方程，得出圆心和半径，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可求解. 【详解】由，则， 表示以为圆心，3为半径的圆，即点在该圆上， 设，则圆心到直线的距离为， 解得，则的最大值是. 故选：B 5．（25-26高二上·吉林长春·期末）(多选)已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断A；设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断B；表示圆上的点到的距离的平方，求得可求最大值判断C；求得点到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值判断D. 【详解】方程表示以为圆心，半径的圆， 对于A，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，表示圆上的点到的距离的平方， 设圆上的点到的距离， 又，所以，即， 所以的最大值为49，故C正确； 对于D，点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 6．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 题型08 面积型最值问题 三角形、四边形面积。常见两类： ①底边固定，面积最值等价于动点到底边的高的最值；高用圆上点到直线距离； ②切线相关四边形：拆成直角三角形，利用切线长求面积。 解题步骤 ①固定底边：求圆上动点到底边所在直线距离的最大、最小值； ②，代入高的最值得到面积最值； ③切线四边形：拆为两个全等直角三角形，用切线长计算面积。 【典例8】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）(多选)已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（  ） A．最短时，弦直线方程为 B．最短时，弦长为 C．M为圆C上一动点，则最小值为 D．四边形的面积最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 【详解】对于A，由题意可知点与点，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，， 则，解得， 故直线的方程为，故A正确， 对于B，当最短时，圆心到直线的距离， 所以弦长为，故B正确.， 对于C，因为，所以最小值为，故C错误， 对于D，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积为， 因为，当时，取最小值， 且， 所以四边形的面积的最小值为， 故D正确， 故选：ABD      【变式训练】1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 2．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程. 【详解】 由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小， 所以，，所以直线的方程为， 联立，解得， 以为直径，以中点为圆心的圆方程为， 两圆方程相减可得直线的方程， 故选：D 3．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【详解】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 4．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得，进而判断直线的斜率和倾斜角. 【详解】方程可化为（其中）， 当时，圆的半径最大，即圆的面积最大，此时直线的斜率为1，即倾斜角为. 故选：B 5．（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 6．（25-26高二上·广东广州·期中）(多选)已知圆直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则下列选项中正确的是（    ）. A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦长为 C．最短时，弦所在直线方程为 D．直线过定点 【答案】ACD 【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小；B选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解；C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等；D选项，由向量积公式求定点坐标即可． 【详解】对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和， 即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故A正确； 由上述可知，时，最短，故最小， 且最小值为， 所以，故B错误； 当最短时，则，又，所以，， ，可设的直线方程为， 圆心到直线的距离， 解得或，由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧， 所以，解得， 即直线的方程为， 即，故C正确； 如图，设圆上一点，，， ，，， 易知， 由于， 所以， 同理， ， ， ，即， 令，解得， 所以直线过定点为，故D正确． 故选：ACD． 7．（25-26高二上·河北邢台·期中）(多选)直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（   ） A．面积的最大值是 B．面积的最小值是 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】根据题意得出，，则，然后求出到直线AB距离的最值即可判断选项AB；结合图像判断出最小和最大时的状态，即可得出答案. 【详解】对于AB：因为直线分别与轴、轴交于，两点， 所以，，则． 因为点在圆：上，圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 则点到直线的距离的范围为， 则，所以面积的最大值是， 最小值为，A正确，B错误． 当最大或最小时，与圆相切，连接， 可知，，， 由勾股定理可得，CD均正确． 故选：ACD. 8．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $