专题2.3 直线的交点坐标与距离公式讲义【知识清单+10大题型+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型（讲） 知识点01：两条直线的交点 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 3、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【即学即练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 知识点02：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即学即练】 2．（25-26高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 知识点03：两点间的距离公式 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，. 【即学即练】 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 知识点04：点到直线的距离 1、定义：点到直线的垂线段的长度. 2、距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0. 【即学即练】 4．（2026高二·全国·专题练习）已知的三个顶点坐标分别为、、． (1)求的边上的高所在的直线方程． (2)求的面积． 知识点05：两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长。 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等。 3、两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 【即学即练】 5．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 知识点06：三条直线相交问题的解题方法 1、已知三条直线相交于一点，求直线中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解。 2、若已知三条直线有三个不同的交点，则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同。 【即学即练】 6．（2026高二·全国·专题练习）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 题型01 两条直线相交的判定及求交点 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 4．（2026高二·全国·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 题型02 根据两条直线交点情况求参 5．（2026高二·全国·专题练习）已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 6．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 8．（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型03 三条直线相交问题 9．（25-26高二·全国·课后作业）已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为______． 10．（25-26高二·全国·课后作业）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是___________. 11．（25-26高二·全国·随堂练习）设a为实数，若三条直线，和共有三个不同的交点，求a满足的条件. 12．（25-26高二上·天津·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 题型04 求过交点的直线方程 13．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为__________． 14．（25-26高二上·重庆·阶段检测）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（25-26高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 16．（2026高二·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 题型05 两点间的距离公式及应用 17．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 18．（25-26高三上·广东·阶段检测）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 20．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知的三个顶点是 (1)若直线过点，且与AB平行，求直线的一般式方程; (2)求的面积. 题型06 由顶点坐标判断三角形的形状 21．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 22．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 23．（25-26高二上·吉林白城·期中）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 24．（25-26高二·全国·随堂练习）已知，证明是等边三角形． 题型07 点到直线的距离公式及应用 25．（26-27高三上·浙江·阶段检测）写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 26．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 27．（26-27高二上·河南·阶段检测）（多选）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 28．（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 题型08 平行线间的距离公式及应用 29．（26-27高二上·安徽·期中）平行线与之间的距离为____. 30．（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 31．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 32．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型09 求到两点距离相等的直线方程 33．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线l过点，求满足下列条件的直线方程. (1)在两坐标轴上截距相等的直线； (2)到直线l距离相等. 34．（25-26高三·全国·中职高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________． 35．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程 (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程 36．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知直线 l 过点且与点，等距离，则直线 l 的方程为（    ） A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0 D．2x＋3y－18＝0 题型10 由距离求已知直线的平行线 37．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 38．（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·北京朝阳·期中）到直线的距离等于的直线方程为__________. 40．（25-26高二·全国·课后作业）若直线l与其平行直线之间的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是______． 1．（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 7．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·全国·期中）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 9．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 10．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）平行线与之间的距离为______. 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）求过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______. 14．（25-26高二上·山东枣庄·期中）直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 15．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 16．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知直线，． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求的值，并求出此时直线与之间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式-重难点题型（讲） 知识点01：两条直线的交点 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 3、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【即学即练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 知识点02：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即学即练】 2．（25-26高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 知识点03：两点间的距离公式 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，. 【即学即练】 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 知识点04：点到直线的距离 1、定义：点到直线的垂线段的长度. 2、距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0. 【即学即练】 4．（2026高二·全国·专题练习）已知的三个顶点坐标分别为、、． (1)求的边上的高所在的直线方程． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴AB的斜率 ， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为. （2）解：直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积 . 知识点05：两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长。 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等。 3、两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 【即学即练】 5．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 知识点06：三条直线相交问题的解题方法 1、已知三条直线相交于一点，求直线中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解。 2、若已知三条直线有三个不同的交点，则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同。 【即学即练】 6．（2026高二·全国·专题练习）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 题型01 两条直线相交的判定及求交点 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 【答案】 【详解】时，两直线不垂直，不合题意，所以直线的斜率为， 又直线的斜率为3，且两条直线互相垂直，所以，解得． 由，解得，即这两条直线的交点坐标为． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交 (3)不相交 【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，交点坐标为． （2）解方程组，方程组无解， 所以与无公共点，即与不相交． （3）解方程组， 因为方程可化为， 所以方程组有无数组解， 所以与有无数个公共点，即与不相交． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 4．（2026高二·全国·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 题型02 根据两条直线交点情况求参 5．（2026高二·全国·专题练习）已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 【答案】(1)m≠1且m≠－5 (2)－5 (3) 【详解】解：（1） 由（3＋m）（1＋m）≠4×2，得m≠1且m≠－5. （2） 由（3＋m）（1＋m）＝4×2，得m＝1（舍）或m＝－5. （3） 由2（3＋m）＋4（1＋m）＝0，得m＝－. 6．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 8．（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【详解】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 题型03 三条直线相交问题 9．（25-26高二·全国·课后作业）已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为______． 【答案】6或-4或 【分析】分直线与平行，与平行，过与的交点三种情况分别求解可得. 【详解】由题知，当直线与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 当与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 由解得，当直线过点，即，即时，三条直线无法围成三角形. 综上，当或或时，三条直线无法围成三角形. 故答案为：6或-4或 10．（25-26高二·全国·课后作业）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是___________. 【答案】 【分析】分三条直线交于一点、至少两条直线平行或重合，两种情况讨论即可 【详解】当三条直线交于一点时：由， 解得和的交点A的坐标， 由A在上可得2×－3m×＝4， 解得m＝或. 当至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等， 当时，，即，当时，，解得：， 当时，，不成立， 综上， m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形， ∴实数m的取值集合是. 故答案为：. 11．（25-26高二·全国·随堂练习）设a为实数，若三条直线，和共有三个不同的交点，求a满足的条件. 【答案】且且 【分析】先求得与的交点，由不过该点，以及与、不平行来求得满足的条件. 【详解】， 所以不过，即①， 直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以且②， 由①②得满足的条件为且且. 12．（25-26高二上·天津·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 题型04 求过交点的直线方程 13．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为__________． 【答案】x－y＝0. 【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解. 【详解】过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0， 即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0， 因为它与直线x－y＋4＝0平行， 所以3＋λ＋3λ－2＝0， 即λ＝－， 故所求直线为x－y＝0. 故答案为：x－y＝0. 【点睛】本题主要考查平行直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．（25-26高二上·重庆·阶段检测）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【详解】解：设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【点睛】此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往往会把过原点的情况忽视导致答案不完整. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 16．（2026高二·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）法一：联立直线方程，求出交点坐标，由点斜式方程得到直线方程.法二：由直线系方程可设所求直线为，由斜率为求出的值，回代入方程即可得出答案. （2）法一：由点斜式方程得到直线方程；法二：因为直线过点，代入直线系方程求出的值，即可得出答案. （3）法一：两直线平行，斜率相等，由点斜式方程得到直线方程. 法二：两直线平行，斜率相等，可得出直线系方程的斜率求出的值，即可得出答案. 【详解】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 题型05 两点间的距离公式及应用 17．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 【答案】或 【分析】根据两点间的距离公式以及直线方程代入化简，解出k，得到斜截式，再化为一般式即可. 【详解】由两点间的距离公式得， 由于A，B在直线上，则，， 代入化简得 ， 所以 ，解得 ， 所以直线 的斜截式方程为： 或， 化成一般式为：或， 故答案为：或. 18．（25-26高三上·广东·阶段检测）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间距离公式计算，再利用余弦定理即可求得. 【详解】因为，三点不共线， 则， ， ， 由余弦定理，可得. 故选：D. 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 20．（25-26高二上·河北衡水·期中）已知的三个顶点是 (1)若直线过点，且与AB平行，求直线的一般式方程; (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合平行关系可得直线的斜率，结合点斜式方程运算求解； （2）根据两点间距离公式可得三边长，根据等腰三角形求边的高，即可得面积. 【详解】（1）由题意可知：直线AB的斜率， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）由题意可知：， 可知，则边的高为， 所以的面积. 题型06 由顶点坐标判断三角形的形状 21．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 22．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 23．（25-26高二上·吉林白城·期中）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】(1)直角三角形； (2). 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 24．（25-26高二·全国·随堂练习）已知，证明是等边三角形． 【答案】证明：因为，所以， ，， 所以，所以是等边三角形． 【分析】利用两点间的距离公式求解三边长度，可得证. 【详解】略. 题型07 点到直线的距离公式及应用 25．（26-27高三上·浙江·阶段检测）写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 【答案】或(答案不唯一) 【分析】利用点到线的距离公式求解即可. 【详解】将直线方程化成一般式，得， 设点到直线的距离为1， 则有， 即有， 解得或， 所以所求点的坐标为或. 26．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 【答案】 【分析】根据题意分析出符合要求的点构成的平面区域是以点为圆心，以点到直线的距离为半径的圆内部，再使用圆的面积公式求解. 【详解】点到直线的距离为：， 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点， 等价于到该点的距离小于点到直线的距离， 即不能经过的点构成的平面区域是一个以点为圆心，以为半径的圆的内部， 则不能经过的点构成的平面区域的面积为：. 27．（26-27高二上·河南·阶段检测）（多选）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 【答案】ABC 【分析】本题考查过定点的直线方程、点到直线的距离公式．对于A选项利用直线过定点的定点求法求解即可；对于B，利用直线l在y轴上的截距为1，结合直线的方程求解即可；对于C，考虑斜率不存在的情况求解即可；对于D，利用点到直线距离公式建立方程即可. 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确； 对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确； 对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确； 对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误． 28．（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 题型08 平行线间的距离公式及应用 29．（26-27高二上·安徽·期中）平行线与之间的距离为____. 【答案】 【分析】根据两平行线间的距离公式计算直接求解. 【详解】因为两直线平行，所以两平行线之间的距离为 30．（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 31．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 【答案】D 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 32．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 题型09 求到两点距离相等的直线方程 33．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线l过点，求满足下列条件的直线方程. (1)在两坐标轴上截距相等的直线； (2)到直线l距离相等. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线过不过原点讨论，不过原点时，设出直线方程，代入点的坐标即可求解； （2）根据直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等建立方程即可求解. 【详解】（1）当直线l经过坐标原点时，则直线l的方程为； 当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为x+y＝a， 因直线l过点，所以3+4＝a，解得a＝7，故直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝3，不符合题意； 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为，即， 因为到直线l距离相等，所以， 解得k＝2或， 所以直线l的方程为或. 34．（25-26高三·全国·中职高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________． 【答案】或 【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件； 若斜率存在时，设过点的直线，即． 根据题意，可得，解得或， 当时，直线方程为， 当时，直线方程为 综上可得，直线方程为或． 故答案为：或 35．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程 (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得； （2）根据点到直线距离公式结合条件即得. 【详解】（1）因为点，． 所以线段的中点坐标为，直线的斜率为， 因此直线的中垂线的斜率为， 因此线段的垂直平分线所在直线方程为， 即； （2）因为直线过点，，， 当直线的斜率不存在时，显然不合题意， 设直线的方程为，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 36．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知直线 l 过点且与点，等距离，则直线 l 的方程为（    ） A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0 D．2x＋3y－18＝0 【答案】AB 【分析】由题可设所求直线的方程为，然后根据点到直线的距离公式即得. 【详解】因为直线 过点， 设所求直线的方程为，即， 因为直线 与点，等距离， 所以， 解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：AB. 题型10 由距离求已知直线的平行线 37．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用垂直关系求直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）利用平行关系设直线方程，利用平行线间距离公式，求直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率，因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程是，即； （2）设直线， 则平行线与之间的距离，得或， 所以直线的方程是或, 38．（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程求解即可. 【详解】设直线的方程为， 由两条平行线间的距离公式可得：， 解得：，所以直线的方程为， 故选：. 39．（25-26高二上·北京朝阳·期中）到直线的距离等于的直线方程为__________. 【答案】或 【分析】设直线方程为，利用平行线间的距离公式求出的值，即得答案 【详解】设所求直线方程为， 由 ，得或, 所以所求的直线方程为或， 故答案为：或 40．（25-26高二·全国·课后作业）若直线l与其平行直线之间的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是______． 【答案】 【分析】设直线l的方程为，由点到直线距离公式和平行直线距离公式由条件列方程求即可. 【详解】根据题意，设直线l的方程为， 因为直线l与直线的距离和原点到直线l的距离相等， 所以，解得， 故直线l的方程为． 故答案为：. 1．（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间两点间距离公式可构造方程，从而得到所求点坐标. 【详解】设所求点为. 由得， 解得，因此所求点为. 4．（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求，再求点到直线的距离，即可求的面积. 【详解】易得，，直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为：. 所以的面积为：. 故选：B 6．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 7．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 8．（25-26高二上·全国·期中）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 9．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入可得定点坐标；对于B，根据两直线垂直列出方程即可求出；对于C，先根据两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式即可求解；对于D，根据满足条件的直线是两条角平分线即可判断． 【详解】对于A，将代入的方程，解得， 所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误； 对于C，由得，解得，此时 所以与的距离，故C错误； 对于D，如图所示，设分别是直线上的一点， 则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 10．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意可知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大，求得，即可得出答案. 【详解】因为两平行线分别经过点， 易知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大， 即，所以， 故距离可能等于. 故选：AB. 11．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设与直线平行的直线方程为，然后由平行直线距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，由两平行直线间的距离公式可得，解得或，故所求直线方程为或． 故选：AD 12．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）平行线与之间的距离为______. 【答案】 【分析】由两平行线间的距离公式求解． 【详解】两平行线间的距离为：， 故答案为： 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）求过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______. 【答案】 【分析】先联立两直线方程求出交点的坐标，再根据垂直直线的斜率关系求出所求直线的斜率，最后利用点斜式方程求出直线的方程. 【详解】由直线：和：的交点，则， 即得，，即， 由直线可得斜率为， 又直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 化简整理得. 故答案为： 14．（25-26高二上·山东枣庄·期中）直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 【答案】 【分析】求出过直线方程，由直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 15．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组，求得交点坐标为，设所求直线方程为，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线方程为，分别令和，求得再坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由直线， 联立方程组，解得，即直线与的交点坐标为， 因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为， 将点代入方程，可得， 所以所求直线方程为. （2）解：直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为， 令，可得；令，可得， 令，即，解得或， 得所求直线方程为或. 16．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知直线，． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求的值，并求出此时直线与之间的距离． 【答案】(1) (2)；. 【分析】（1）直接联立方程并解方程组可得； （2）由平行可得的值，再由平行线间的距离公式可得. 【详解】（1）当时，联立直线与的方程，得解得. 所以直线与的交点坐标为． （2）当时，，，显然，不符合题意，舍去； 当时，，，显然与不平行，不符合题意，舍去， 故直线与的斜率都存在． 因为，所以， 由解得或；由解得且. 所以. 则，，即， 所以此时直线与之间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $