精品解析：河南郑州市第四初级中学2026-2027学年九年级上学期第二次课后练习数学试卷

2026-2027学年上期九年级第二次课后练习 数学 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 某商场的地下停车场，现仅剩下“”“”“”“”四个依次相邻的车位．分别记这四个车位为，，，．小明和小红同时来到该地下停车场停车，两人停在相邻车位的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，，的长为（ ） A. B. C. D. 5. 为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边及中间隔断由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门口（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE,请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下： 小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形； 小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF, 这四位同学写出的结论中不正确的是（　　） A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨 7. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线（）的顶点坐标，与轴的一个交点，直线（）与抛物线交于，两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根：④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤当时，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④ 10. 如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若已知一个函数具有以下条件：①该函数图象经过第二象限；②当时，随的增大而增大；③该函数图象不过原点，请写出一个符合上述条件的函数关系式：_____________． 12. 已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 13. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ___________． 14. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为_______． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，得到．过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为_________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 在中，为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找到一点，使点是的中点． （2）如图2，在上找到一点，使点是上靠近点的三等分点，并说明理由． 18. 某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价（元） 85 95 105 115 日销售量（个） 175 125 75 日销售利润（元） 875 1875 1875 875 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） （1）求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）及的值； （2）根据以上信息，完成下列问题： ①填空：该产品的成本单价是__________元； ②求当销售单价是多少元时，日销售利润最大，最大值是多少． 19. 如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①当__________时，四边形是矩形；（直接写出答案，不需要说明理由） ②当__________时，四边形是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当时，，为方程的两个根，则的值为__________； （3）若方程有一个根大于3，求的取值范围． 21. 为响应国家节能减排的号召，河北新农村建设把主要乡村道路上安装了太阳能路灯．如图是一新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离路灯3米的处时，影长为1米；当小亮沿着走至处时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部处． （1）求路灯的高度． （2）当小亮走到处时，他行走的路程是多少米？ （3）如果小亮继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，那么小亮在墙上的影子有多高？ 22. 已知与满足二次函数关系，与对应值如下表： （1）该函数图象的顶点坐标为________，________，与的函数表达式为________． （2）在平面直面坐标系中画出该函数的图象． （3）将该函数图象向右平移个单位长度且为正整数． 若图象平移后过、两点，试说明的值恒为的倍数， 当时，若平移后的图象对应的函数最大值是，请直接写出的值． 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九年级第二次课后练习 数学 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案． 【详解】由几何体可知，该几何体的左视图为： 故选：C． 【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 3. 某商场的地下停车场，现仅剩下“”“”“”“”四个依次相邻的车位．分别记这四个车位为，，，．小明和小红同时来到该地下停车场停车，两人停在相邻车位的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图，列举出所有等可能的结果，进行解答，即可． 【详解】解：树状图如下： 共种等可能的结果，其中相邻的车位组合为：，，，，，，有种结果符合题意， ∴两人停在相邻车位的概率为． 4. 如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长相交于点，由得到，，可知，，进一步即可求出的长． 【详解】解：延长相交于点， ∵ ∴，， ∴，， ∵，，， ∴ 解得 ∴，， ∵ ∴ 解得． 5. 为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边及中间隔断由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门口（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为，则平行于墙的边长为， 由题意，． 6. 在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE,请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下： 小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形； 小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF, 这四位同学写出的结论中不正确的是（　　） A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得OA=OC，CD∥AB，从而得∠ACE=∠CAF，可判断出小雨的结论正确，证明△EOC≌△FOA，可得OE=OF，判断出小青的结论正确，由△EOC≌△FOA继而可得出S四边形AFED=S四边形FBCE，判断出小夏的结论正确，由△EOC≌△FOA可得EC=AF，继而可得出四边形DFBE是平行四边形，从而可判断出四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，判断出小何的结论错误即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，CD∥AB， ∴∠ACE=∠CAF，（故小雨的结论正确）， 在△EOC和FOA中， ， ∴△EOC≌△FOA， ∴OE=OF（故小青的结论正确）， ∴S△EOC= S△AOF， ∴S四边形AFED=S△ADC=S平行四边形ABCD， ∴S四边形AFED=S四边形FBCE，（故小夏的结论正确）， ∵△EOC≌△FOA， ∴EC=AF，∵CD=AB， ∴DE=FB，DE∥FB， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵OD=OB，EO⊥DB， ∴ED=EB， ∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，（故小何的结论错误）， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等，综合性较强，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键． 7. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项A不符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知，，，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项B符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项C不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E，设，用坐标表示出相关的线段，根据位似，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E， ， ∴， ∴， ∵以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形， ∴， ∴， 设， ， ， ， ， ∴， 解得， 故． 9. 如图，抛物线（）的顶点坐标，与轴的一个交点，直线（）与抛物线交于，两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根：④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤当时，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与y轴的交点位置可得，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标， ∴时，二次函数有最大值，即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，即方程有两个相等的实数根； 所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，所以④错误； ∵抛物线与直线（）交于， ∴当时，，所以⑤正确． 故其中正确的是：①③⑤． 10. 如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象转折点确定直线的位置，结合及菱形性质求出菱形边长与高的关系，利用最大面积求出的值，进而求出． 【详解】解：设直线的运动速度为， 由图象可知，当时，直线经过点在上的垂足，连接， ∴运动距离； 当时，直线经过点，此时运动距离； ， ． 四边形为菱形， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， 菱形的高． 当时，取得最大值，此时点与点重合，， ． 由图②可知， ，解得（负值舍去）． 当时，直线经过点， 此时运动总距离为， 过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若已知一个函数具有以下条件：①该函数图象经过第二象限；②当时，随的增大而增大；③该函数图象不过原点，请写出一个符合上述条件的函数关系式：_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】结合给定的三个函数性质条件，匹配初中阶段所学函数的图象特征，构造满足要求的解析式即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的一般形式为，当时，在每个象限内随的增大而增大； ∴ 取即可满足时随增大而增大的要求， ∵ 当时，反比例函数的两个分支分别位于第二、第四象限，必然经过第二象限； ∵ 反比例函数中，，图象永远不会经过坐标原点， ∴ 取时，得到的函数完全符合所有给定条件． 12. 已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 抛物线开口向下，对称轴为，通过比较各点与对称轴的距离确定y值大小关系． 【详解】解：由解析式得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小， 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：转盘B红色部分圆心角为，相当于2个蓝色部分， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质得到，利用角平分线的定义得出，从而得到是黄金三角形，利用底与腰的比值为，得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即：是黄金三角形， ∴， 解得：． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，得到．过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由矩形及折叠性质得，根据，得是直角三角形，斜边为，根据“勾股三角形”的定义，其三边比为，分两种情况讨论求出和的长，延长交于点，构造，利用勾股定理求出的长，进而求出的长． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠性质得， ， ， 是直角三角形，斜边为， 根据“勾股三角形”定义，其三边比为， 当时， ， ， 设，则， 延长交于点，则， ∴四边形是矩形， ， 则， 在中，， 解得， 因此； 当时， 同理得， 设，则， 在中，， 解得， 因此， 综上，的长为或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或 【小问3详解】 解： 17. 在中，为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找到一点，使点是的中点． （2）如图2，在上找到一点，使点是上靠近点的三等分点，并说明理由． 【答案】（1） 如图，点就是所求作的点． （2） 如图，点就是所求作的点； 【解析】 【分析】（1）连接和，交点为，连接并延长交即为，通过证明即可； （2）连接交于点，只需满足求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 连接和，交点为，连接并延长交于 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， ∴点是的中点． 【小问2详解】 解：如图， 连接交即为点， ∵， ∴， ∴， ∴，即点是的一个三等分点． 18. 某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价（元） 85 95 105 115 日销售量（个） 175 125 75 日销售利润（元） 875 1875 1875 875 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） （1）求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）及的值； （2）根据以上信息，完成下列问题： ①填空：该产品的成本单价是__________元； ②求当销售单价是多少元时，日销售利润最大，最大值是多少． 【答案】（1），． （2）①；②当销售单价为元时，日销售利润最大，最大值为元． 【解析】 【分析】（1）选取表格中两组x和y， 用待定系数法求一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值． （2）①根据日销售利润的计算公式，代入已知数据求解成本单价； ②根据日销售利润公式列出w关于x的二次函数关系式，通过配方结合二次函数的性质求最大值． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， 则， 解得， 即关于的函数解析式为． 当时，． 【小问2详解】 解：①设成本为a元/个， 当时，， 解得； ②由题意得∶， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为2000． 即当销售单价为元时，日销售利润最大，最大值为元． 19. 如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①当__________时，四边形是矩形；（直接写出答案，不需要说明理由） ②当__________时，四边形是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由） 【答案】（1）证明：∵点G是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①7 ②4 【解析】 【分析】（1）根据“角角边”证明可得，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）①根据矩形的判定可知当时四边形是矩形，再根据直角三角形的性质求出，即可求出； ②当时四边形是菱形，再根据直角三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时四边形是矩形， ∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，， ∴， ∴； ②当时四边形是菱形， ∵点G是的中点，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当时，，为方程的两个根，则的值为__________； （3）若方程有一个根大于3，求的取值范围． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 其判别式， 展开计算得， ∵无论取何值，，即， ∴无论取何值，方程总有两个实数根． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式判断即可． （2）把代入方程得出，利用因式分解法解方程得出，，然后分两种情况求解即可． （3）因式分解法解方程，结合已知条件得出，即可求出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，方程变成为， 解得，， ∵，为方程的两个根， ∴当，时，则， 当，时，则． 【小问3详解】 解：， 即， ∴或， 解得：或， ∵方程有一个根大于3， ∴ ∴． 21. 为响应国家节能减排的号召，河北新农村建设把主要乡村道路上安装了太阳能路灯．如图是一新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离路灯3米的处时，影长为1米；当小亮沿着走至处时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部处． （1）求路灯的高度． （2）当小亮走到处时，他行走的路程是多少米？ （3）如果小亮继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，那么小亮在墙上的影子有多高？ 【答案】（1）米 （2）当小亮走到处时，他行走的路程是12米 （3）小亮在墙上的影子有1米高 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，再利用相似三角形的性质，求解即可； （2）证明，再利用相似三角形的性质构建方程求出的长，即可解决问题； （3）连接，延长交于点T，过点T作于点H，交于点K，设米，证明，再利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知：，，米，米， ，（米）， ， ，即， 解得：（米）， 答：路灯的高度6米； 【小问2详解】 解：由题意知，，，米，米，米， ， ， ，即， 解得：（米）， （米）， 答：当小亮走到处时，他行走的路程是12米； 【小问3详解】 解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米，则米，米，米， 米，米， ， ， ，即， 解得：， 答：小亮在墙上的影子有1米高． 22. 已知与满足二次函数关系，与对应值如下表： （1）该函数图象的顶点坐标为________，________，与的函数表达式为________． （2）在平面直面坐标系中画出该函数的图象． （3）将该函数图象向右平移个单位长度且为正整数． 若图象平移后过、两点，试说明的值恒为的倍数， 当时，若平移后的图象对应的函数最大值是，请直接写出的值． 【答案】（1），3，（或）； （2）函数图象如图所示： （3）解：将向右平移个单位长度，得， 当时，， 当时，， ∴， ∵为正整数， ∴恒为的倍数； ． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出解析式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）通过画函数图象方法即可求解； （）求出当时，；当时，，然后相减即可求解； 根据二次函数性质分当，即；当，即，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为，根据表格可得， ，解得：， ∴与的函数表达式为， 由， ∴函数图象的顶点坐标为， 当时，； 【小问2详解】 解：列表， 描点，连线，图象略； 【小问3详解】 略 由得平移后解析式为， ∴对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴抛物线图象上的点离对称轴越远则的值越大， 当，即， ∴当时，函数有最大值，解得：或（舍去）； 当，即， ∵为正整数， ∴， ∴当时，函数有最大值，不符合题意； 综上可得：的值为． 23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 不成立，， 证明：如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3） 或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $