精品解析：山东青岛市崂山区第三中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

崂山三中2026—2027学年第一学期期中质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题共24题，为选择题，共9小题，27分；填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，，，，则线段d的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段， 根据成比例线段可得，再代入数值计算得出答案. 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴. ∵， ∴， 解得. 故选：D. 2. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对角分别相等 B. 两条对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【详解】解：菱形的性质包括四条边相等、两组对角分别相等、对角线互相垂直； 正方形是特殊的菱形，兼具菱形的所有性质，且两条对角线相等. 可知正方形具有而菱形不具有的性质是两条对角线相等. 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 4. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 5. 两年前生产1套学生课桌凳的成本是200元．随着生产技术的进步，现在生产1套相同的课桌凳的成本是128元．求生产成本的年平均下降率x，列方程正确的是（　　） A. 200（1﹣x2）＝128 B. 200（1﹣x）2＝128 C. 200（1﹣2x）＝128 D. 200（1﹣2x2）＝128 【答案】B 【解析】 【分析】若这种课桌凳的年平均下降率为x，根据两年前生产1套的成本是200元，随着生产技术的进步，现在生产1套的成本是128元可列方程． 【详解】解：设这种课桌凳的年平均下降率为x，由题意可得： 200（1﹣x）2＝128． 故选：B． 【点睛】本题考查增长率问题，发生了两年变化，知道两年前为200，两年后为128，设出下降率即可列出方程． 6. 与按如图所示的位置摆放，点在边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定条件是解题的关键，逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 选项B：添加，两边对应成比例，夹角相等，则，不符合题意； 选项C：添加，无法判定,符合题意； 选项D：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 故选C． 7. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9， 故选：C． 8. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式求出，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求得菱形ABCD的周长． 【详解】解：菱形的面积等于12， ， ， ， 菱形ABCD的对角线互相垂直平分， ，， 菱形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，熟记菱形的性质即菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出直角和相等的边，令正方形的边长为，表示出相关线段的长度，然后利用相似三角形的判定和性质可判定出①②，利用锐角三角函数以及角平分线的判定定理可判定③，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理可判定④． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 令正方形的边长为，则由勾股定理得， ∴； ①∵， ∴， ∴， ∴， 故①错误； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②错误； 如图所示，过点作于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ， ∴， 由②得， ∴， ∴平分， 故③正确； ④由②得， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 综上，正确的结论是③④，共2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ 或， 解得，． 11. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“sol”的音符．若，则水面高度为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比且， ∴水面高度为． 12. 方程有两个相等的实数根，则等于______． 【答案】 9 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式等于的性质解答即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴． 即． 解得． 13. 如图，和位似，原点O是位似中心，位似比为1∶2．若点的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，若位似中心为原点，且两个图形位于原点两侧，则对应点的坐标互为相反数且比值等于位似比，据此计算即可． 【详解】解：∵和位似，原点O是位似中心，位似比为1∶2．点的坐标为， ∴点B的坐标为，即为． 14. 两个全等的正方形如图放置，重叠部分为正八边形，且其各边长都为，每个内角均为135°，则正方形的边长为 _______________． 【答案】2+ 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝BC，从而求得AB＝1，再进行边长的计算即可得到答案. 【详解】解：如图，由题意得，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵BC＝， ∴AB＝1， ∴BD＝AB＝AC＝CE＝1， ∴DE＝2+， ∴正方形的边长为2+， 故答案为：2+． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质进行求解. 15. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线AC的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图（1）的已知条件求出正方形的边长，再根据已知条件利用三角函数解答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， （负值舍去）， ， 如图2，过点作于点， 四边形是菱形，边长没变， ， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：∠MAN和线段a． 求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a． 【答案】 如图，四边形ABCD为所作． 【解析】 【分析】先作∠MAN的平分线，在角平分线上截取AC=a，再作AC的垂直平分线交AM于B，交AN于D，则四边形ABCD为菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 用适当的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴，． 18. 如图，，，． （1）填空：的值为______； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用平行线分线段成比例，直接写出对应线段的比值； （2）根据比值设参数，得出，再结合列关系求出． 【小问1详解】 解：，，， ． 【小问2详解】 解：据（1）可知，， 设，， 可得， 则． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）的取值范围是且； （2）不存在，理由如下： 由根与系数的关系得： ，， 代入得：， ∵两边同时乘得：， 解得， ∵，不符合的取值范围， ∴不存在实数使得． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，再根据方程有两个不相等的实数根得到，据此解不等式组即可； （2）由根与系数的关系得，，代入，可得关于的方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 计算判别式： ， ， 解得， 综上，的取值范围是且； 【小问2详解】 略 20. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，，求菱形对角线长． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵E为的中点，， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，在平行四边形中，连接，点是边上一点，连接并延长，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）如果，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角相等，根据，得到，再结合公共角可证明； （2）先由得到比例式求出，算出，再由证，利用面积比等于相似比平方求出，利用相似面积比设未知数，求出，，进而算出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：据（1）可知，， 则， 可得，即， 解得，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，， ． 22. 如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴∠DFE＝∠CBE， ∵E为CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（AAS）； （2） 四边形AEFG是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，ADBC， ∴∠AFB＝∠FBC， 由（1）得：△BCE≌△FDE， ∴BC＝FD，BE＝FE， ∴FD＝AD， ∵GD＝DE， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵BF平分∠ABC， ∴∠FBC＝∠ABF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB， ∵BE＝FE， ∴AE⊥FE， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFG是矩形． 【解析】 【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可； （2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键． 23. 【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，那么图②中内接正方形的边长是______，图③中内接正方形的边长是______． 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的______边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 【答案】（1）证明：设与交于点， ∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 即， 故， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高，然后根据题意得到正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 同理得当图③时，正方形的边长是； 【小问3详解】 解：根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小，则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方，此时内接正方形的面积最大． 24. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准； （2）20或30 【解析】 【分析】（1）将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，即可求解； （2）根据题意列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：停车场内车道宽度均为x米，将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∵， ∴车道宽度符合标准； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 答：当每个车位的月租金上涨20元或30元时，该区域停车场的月租金收入为10120元． 25. 如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为． （1）当时，求t的值； （2）当t取何值时，四边形的面积等于； （3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据，可得， 再进一步求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∵由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，的值为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； 【小问3详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为，， 同（1）得，， 同（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崂山三中2026—2027学年第一学期期中质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题共24题，为选择题，共9小题，27分；填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，，，，则线段d的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 2. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对角分别相等 B. 两条对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相垂直 3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 两年前生产1套学生课桌凳的成本是200元．随着生产技术的进步，现在生产1套相同的课桌凳的成本是128元．求生产成本的年平均下降率x，列方程正确的是（　　） A. 200（1﹣x2）＝128 B. 200（1﹣x）2＝128 C. 200（1﹣2x）＝128 D. 200（1﹣2x2）＝128 6. 与按如图所示的位置摆放，点在边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 8. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于（ ） A. 4 B. C. D. 9. 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 一元二次方程的解是________． 11. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“sol”的音符．若，则水面高度为______． 12. 方程有两个相等的实数根，则等于______． 13. 如图，和位似，原点O是位似中心，位似比为1∶2．若点的坐标为，则点B的坐标为______． 14. 两个全等的正方形如图放置，重叠部分为正八边形，且其各边长都为，每个内角均为135°，则正方形的边长为 _______________． 15. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线AC的长为______． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：∠MAN和线段a． 求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 用适当的方法解方程 （1） （2） 18. 如图，，，． （1）填空：的值为______； （2）若，求的长． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，，求菱形对角线长． 21. 如图，在平行四边形中，连接，点是边上一点，连接并延长，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）如果，，，求四边形的面积． 22. 如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 23. 【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，那么图②中内接正方形的边长是______，图③中内接正方形的边长是______． 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的______边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 24. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 25. 如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为． （1）当时，求t的值； （2）当t取何值时，四边形的面积等于； （3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $