精品解析：江苏淮安市淮阴师范学院附属中学2026-2027学年高三上学期10月调研测试数学试卷

2026—2027学年第一学期高三调研测试 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. ⫋ C. D. 2. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 3. 若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（ ）米 A. 45 B. 51 C. 52 D. 55 6. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 8. 设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，若为虚数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 当时，的值域为 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 11. 若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，，则存在实数使得 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的所有极值点之和为__________. 13. 已知角的终边过点，则__________. 14. 已知函数，写出的一个对称轴方程________；当，则的最大值是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求的值； （2）在边上取一点，使得，求的值． 16. 已知数列中，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）记，求数列的前项和． 17. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 若定义在上的单调函数，满足对于任意的，都有． （1）求的解析式； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若，当时，试比较：与的大小． 19. （1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期高三调研测试 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. ⫋ C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于集合：要使函数有意义，需满足真数大于， 即，解得. 所以集合，已知集合. 所以，故A正确. 因为，所以⫋错误，故B错误. 因为，所以，故C错误. 因为，所以，故D错误. 2. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】用充分必要条件的知识点解答. 【详解】在中，当时，，若，则，所以充分性成立； 在中，当时，，所以，所以必要性成立， 所以“”是“”成立的充分必要条件. 3. 若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数图象的平移变换可得点的坐标，利用三角函数的定义可得结果. 【详解】∵函数的图象过定点， ∴函数的图象过定点， ∵点在角的终边上， ∴． 故选：A． 4. 在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求上下底面正三角形面积与棱台的高，再代入棱台体积公式求解.正三棱台上下底面中心连线垂直底面，结合上下底面中心距与侧棱长，利用勾股定理求高. 【详解】正三角形面积公式：.下底面边长，；上底面边长，. 正三角形的重心（中心）到顶点距离：.下底面中心到顶点距离：； 上底面中心到顶点距离：； 上下底面中心在侧棱方向的水平距离：. 已知侧棱，设棱台高为，由勾股定理：. 代入棱台体积公式：. 5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（ ）米 A. 45 B. 51 C. 52 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】先在水平面中利用内角和、正弦定理求出，再利用俯角的几何含义得到竖直距离，结合无人机离地高度算出黄鹤楼的高度. 【详解】无人机所在平面距地面高度为70米，在点测塔顶的俯角为，且垂直于无人机所在水平面， 因此是直角三角形，由俯角定义可得. 中：米，，，则. 根据正弦定理​，代入数值得米. 由第一步得米，说明塔顶比无人机所在水平面低18米，因此黄鹤楼总高度为：米. 6. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，结合题设可得，设，进而由可得，进而求解即可. 【详解】由，得，则，解得或， 则函数的定义域为， 要使函数关于直线对称，则， 设，其图象关于对称， 则，即 则对于恒成立， 故，则，所以. 7. 已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】由递推关系式，先写出数列若干项，找出数列的周期；分开计算前非周期部分、周期部分，再求和. 【详解】由，，，得，， ，，， ，，， 从第5项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为，，所以. 【点睛】方法归纳：绝对值递推数列，多为周期数列，通过列举法找周期，分段求和. 易错归纳：找准周期起始位置，本题周期不是从第1项开始，从第5项开始才是周期为3的周期数列，不能直接拿50除以周期. 8. 设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，可转化问题为对于恒成立，设，，结合其单调性转化问题为对于恒成立，令，则对于恒成立，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，得， 则函数在上单调递增，而， 则，即， 则对于恒成立，而， 设，，显然在上单调递增，且， 则，即对于恒成立， 令，则对于恒成立， 令，，则， 令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，若为虚数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】设，且，则共轭复数. ，故选项ABC正确； 当时，，故选项D错误. 10. 函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 当时，的值域为 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】借助余弦函数图象的对称性，先求出对称轴，从而得到周期与相位，求出解析式，然后依次求函数值、区间值域及图象平移与偶函数即可. 【详解】对于A：因为轴，所以的一条对称轴为， 所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以， 是的零点，且在单调递减区间内，所以，所以， 因为，所以取，得，所以， 则，故B错误； 对于C：因为，当时，， 所以，所以，故C错误； 对于D：将的图象向左平移个单位长度后得到， 因为，所以是偶函数，故D正确. 11. 若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，，则存在实数使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由，，得；对于B，利用，可判断；对于C，利用三角换元，可得的最值，即可求；对于D，由即可. 【详解】对于选项A，由，得，又，所以，故A错误； 对于选项B，，， 则. 因为，所以，所以. 所以，故B正确； 对于选项C，由，即，令，，则. 所以. 则，故C正确； 对于选项D，由， 所以.所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的所有极值点之和为__________. 【答案】0 【解析】 【详解】，令，解得，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为. 13. 已知角的终边过点，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可知：， 所以原式. 14. 已知函数，写出的一个对称轴方程________；当，则的最大值是________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】（1）先利用定义法证明是偶函数，再求解对称轴方程即可. （2）利用导数判断函数单调性，进而求解最大值即可. 【详解】（1）由题意得， 则 ，可得是偶函数， 故的一个对称轴方程为. （2）由题意得， 则， 当时，， 得到，则在上单调递增， 当时，， 得到，则在上单调递减， 而，故的最大值是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求的值； （2）在边上取一点，使得，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合平方关系及正弦定理可得，再根据余弦定理可求得，，再利用正弦定理求解即可； （2）先根据题设及平方关系、两角和的正弦公式求得，可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由， 则， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理得，因为，所以， 因为，，所以，则， 由正弦定理得，即. 【小问2详解】 由于，， 所以， 由于，所以，而， 所以． 则 ， 由于，所以， 则． 16. 已知数列中，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ， 即， . 是以为首项，为公比的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将题设条件转化为即可证明； （2）由已知可得，利用错位相减法即可求和. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， ， 又， 得， ， 两式作差， 得． 所以． 17. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 18. 若定义在上的单调函数，满足对于任意的，都有． （1）求的解析式； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若，当时，试比较：与的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由在上单调，可得存在唯一的实数，使得，进而结合题设求解即可； （2）由题设可得对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）方法一：结合（2）可得对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而得到，可得，进而得解； 方法二：设，，利用导数分析可得在上单调递增，设，，利用导数分析其单调性可得，进而得到，进而得解. 【小问1详解】 在上单调，∴存在唯一的实数， 使得，则为定值对于任意的恒成立． 故，而， 取，在上单调递增，且，则， 故． 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 则对于恒成立， 设，，则， 而，，设，， 则，而在上单调递增，且， ①当时，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，此时有成立，满足题意． ②当时，， 由于在上单调递增，且， 故当时，，在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 故有当时，，不符合题意． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：由（2）知：当时，对于恒成立， 则对于恒成立， 设，， 则， 故在上单调递增，故，则有， 变形得，即，则， 即，则. 方法二：设，， 则， 设，， 则，所以在上单调递增， 故，即，则在上单调递增， 设，， 则，故在上单调递减， 故，则有， 则，即， 即有时，，即. 19. （1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由余弦的和差角公式：①， ②， （②①），得 . 由正弦的和差角公式：③， ④， （③④），得. （2） （3）不存在，理由如下： 由 ， 设，， 则，所以在上单调递增， 故对于任意的恒成立，则有， 则， 故不存在正整数使得. 【解析】 【分析】（1）根据两角和与差的余弦、正弦公式求证即可； （2）将式子分子分母同时乘以，再用积化和差公式化简求解即可； （3）结合积化和差公式及三角恒等变换公式化简可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2） . （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $