利用导数研究函数的零点 课件-2027届高三数学一轮复习

利用导数研究函数的零点 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 理解函数零点与方程根、图象与 x 轴交点的关系，会用导数研究函数的零点； 2. 能通过单调性、极值、端点值判断函数零点个数； 3. 掌握由零点个数求参数范围的方法（数形结合、分离参数）。 二、教学重点 1. 利用导数画函数草图，判断零点个数； 2. 由零点个数求参数取值范围（分离参数+图象）。 三、教学难点 1. 含参函数零点个数的分类讨论； 2. “零点—方程根—两图象交点”的相互转化。 第20课时 利用导数研究函数的零点 【新课标要求】 1. 结合函数图象，了解函数零点，会利用导数研究函数的零点； 2. 在探究零点个数的过程中，体会函数与方程、数形结合思想； 3. 能通过零点问题发展直观想象与逻辑推理素养。 第20课时 利用导数研究函数的零点 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】利用导数研究函数零点是近年高考的热点压轴题，近五年全国卷高频考查，分值约5~12分，常与参数范围、不等式融合。 【高频考点】 1. 判断函数零点个数（单调性+极值+端点值正负）； 2. 由零点个数求参数范围（分离参数后数形结合）； 3. 零点相关的不等式证明（零点代换）。 【备考建议】 1. 零点个数“三步”：求导判单调→算极值与端点值→依符号判断交点数； 2. 由零点求参优先分离参数，转化为“水平线与图象交点数”对应区间； 3. 含参讨论关注极值点是否落在定义域及极值符号，必要时结合极限趋势。 第20课时 利用导数研究函数的零点 关键考点·核心突破 5 利用导数探究函数的零点个数 例1 已知函数 . （1）若，证明： . （2）若，试判断函数 的零点个数. 第20课时 利用导数研究函数的零点 6 解析 （1）当时，， ， 则 . 当变化时，, 的变化情况如表所示： 1 0 - 单调递增 极大值 单调递减 函数的最大值为 ， 当时，，即 . 第20课时 利用导数研究函数的零点 7 （2）当时，， . . 当变化时，, 的变化情况如表所示： 0 - 单调递增 极大值 单调递减 ， 函数在 上只有一个零点. 第20课时 利用导数研究函数的零点 感悟提升 利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法 （1）构造函数:构建函数(要求易求,可解),转化为确定 的 零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义域区间端点值的 符号（或变化趋势）等,画出 的草图,数形结合求解函数零点的个数. （2）运用定理:先利用零点存在定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数 研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零 点的个数. 第20课时 利用导数研究函数的零点 9 已知函数, . （1）讨论函数 的单调性; （2）求函数 的零点个数. 第20课时 利用导数研究函数的零点 10 解析 （1）的定义域为,且 . 当时,,则在 上单调递增; 当时,令,则 , 当时,,单调递减，当时,, 单调递增. 综上所述,当时,在上单调递增;当时,在 上单调递减,在 上单调递增. （2）令,得 . 当时,无解,所以 无零点. 当时, , 第20课时 利用导数研究函数的零点 11 令,,则 . 当时,;当时, . 故在上单调递增,在上单调递减,且 . 又当 时,,当 时, , 第20课时 利用导数研究函数的零点 所以 的大致图象如图所示. 当,即时, 无零点; 当,即时, 有一个零点; 当,即时, 有两个零点; 当,即时, 有一个零点. 综上所述,当时,无零点;当 时, 有一个零点;当时, 有两个零点. 第20课时 利用导数研究函数的零点 13 利用函数零点求参数的取值范围 例2 （经典高考真题）已知函数 . （1）当时,讨论 的单调性; （2）（一题多法）若有两个零点,求 的取值范围. 第20课时 利用导数研究函数的零点 14 解析 （1）当时,,,令,解得 ,令 ,解得,所以在上单调递减,在 上单调递增. （2）（法一）当时,恒成立,所以在 上单调递 增,不符合题意. 当时,令,解得 , 当时,, 单调递减, 当时,, 单调递增, 所以的极小值（也是最小值）为 . 又当 时, ,当 时, ， 第20课时 利用导数研究函数的零点 15 所以要使有两个零点,只要,则,可得 . 综上,若有两个零点,则的取值范围是, . （法二）若有两个零点,则有两个解,显然 不成立,即 有两个解,令,则 , 令,解得 , 令,解得或 , 所以函数在和上单调递减,在 上单调递增, 且当时, , 而当（从右侧趋近于）时, , 当 时, ,所以当有两个解时,有 , 所以满足条件的的取值范围是, . 第20课时 利用导数研究函数的零点 感悟提升 由函数零点求参数范围的策略 通过数形结合的方法解决依据函数零点个数确定参数取值范围的问题.由两个相 关函数图象的交点个数确定参数需满足的条件，进而求得参数的取值范围. 第20课时 利用导数研究函数的零点 17 （经典高考真题）已知函数 （1）当时，求 的最大值； （2）若恰有一个零点，求 的取值范围. 第20课时 利用导数研究函数的零点 18 解析 （1）当时，,，则 . 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减. 故 . （2）,，则 . 当时，，所以当时，， 单调递增；当 时，， 单调递减. 故 ，此时函数无零点，不合题意. 第20课时 利用导数研究函数的零点 19 当时，，在,,上，，单调递增；在, 上， ， 单调递减. 又 ， 由（1）得，即，所以,, ， 当时， ， 则存在，使得 ， 所以在, 上有唯一的零点，符合题意. 当时，，所以 单调递增， 第20课时 利用导数研究函数的零点 又，所以 有唯一零点，符合题意. 当时，，在,,上，,单调递增；在, 上， ，单调递减，此时 . 由（1）得当时，， ， 所以 ， 此时 ,存在 ，使得 ， 所以在,上有一个零点，在, 上无零点， 所以 有唯一零点，符合题意. 综上，的取值范围为 . 第20课时 利用导数研究函数的零点 与函数零点有关的证明问题 例3 （高考改编）已知函数, . （1）判断直线分别与曲线和 的交点个数. （2）证明:曲线和 有且只有一个公共点. （3）证明:存在直线,其与曲线和 共有三个不同的交点,并且从 左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 第20课时 利用导数研究函数的零点 22 解析 （1）设,则 , 当时,,当时, , 故在上单调递减,在 上单调递增, 所以 . 当时,, 无零点; 当时,, 有1个零点; 当时, , 而, , 设,其中,则 , 所以在上单调递增,所以 , 故,故 有两个不同的零点. 第20课时 利用导数研究函数的零点 23 设,则 , 当时,,当时, , 故在上单调递减,在 上单调递增, 所以 . 当时,, 无零点; 当时,, 有1个零点; 当时, , 而, , 所以 有两个不同的零点. 综上,当时,直线与曲线和 的交点个数都是0; 第20课时 利用导数研究函数的零点 当时,直线与曲线和 的交点个数都是1; 当时,直线与曲线和 的交点个数都是2. （2）由得,即 , 设,其中,则.设, , 则 , 故在上单调递增,故,即 ,所以 ,所以在 上单调递增, 而, , 故在上有且只有一个零点,且,当时, ,即 ,即,当时,,即 ,即 ,所以曲线和 有且只有一个公共点. 第20课时 利用导数研究函数的零点 （3）由（2）知,若存在直线与曲线, 共有三个不同的交点, 则 , 此时方程有两个不同的解, , 方程有两个不同的解, , 故,,, , 所以,即,即 , 故为方程的解,同理也为方程的解,所以 , ,,而 ,故 即 ，得证. 第20课时 利用导数研究函数的零点 26 感悟提升 解决与函数零点有关的证明问题的两个关键点 （1）在证明与零点有关的不等式时,函数的零点本身就是一个条件,即函数在零 点处的函数值为0; （2）证明的思路一般是对条件进行等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识 讨论该函数的性质（如单调性、极值情况等）,再结合函数图象进行证明. 第20课时 利用导数研究函数的零点 27 已知函数,为 的导函数.求证: （1）在 上存在唯一零点; （2） 有且仅有两个不同的零点. 第20课时 利用导数研究函数的零点 28 解析 （1）设 , 当时,,所以在 上单调递减,又因为 ,,所以在 上有唯一零点. （2）设在上的唯一零点为 , 由（1）知 . ①当时,,单调递增;当时,, 单调递减. 故在上存在唯一的极大值点 , 且 . 又因为 , 第20课时 利用导数研究函数的零点 29 所以在 上恰有一个零点. 又因为,所以在 上也恰有一个零点. ②当时,, , 设,则,所以在 上单调递减,所以 , 所以当时,恒成立,所以在 上没有零点. ③当时,.设,则 , 所以在上单调递减,所以 , 所以当时, 恒成立, 所以在 上没有零点. 综上, 有且仅有两个不同的零点. 第20课时 利用导数研究函数的零点 隐零点 思维进阶 如果 是超越形式（对字母进行有限次初等超越运算，包括无理数次 乘方、指数、对数、三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式），并且 的零点存在但无法求出，那么可采用虚设零点法逐步分析出零点所在的范围和 满足的关系式，然后分析出函数的单调性，最后恰当运用函数的极值与零点所满足 的关系推演出所要求的结果.通过这种形式化的合理代换或推理，可以实现从超越式 到普通式的有效转换与过渡，从而突破求解或推理过程中的难点. 第20课时 利用导数研究函数的零点 31 典例 已知函数， . （1）若直线与函数的图象相切，求实数 的值. （2）当时，求证： . 解析 （1）设切点坐标为 ， 由，得 ， 所以切线方程为，即 . 因为直线与函数的图象相切于点 ， 所以解得 . 第20课时 利用导数研究函数的零点 32 （2）当时， ， 令 ， 则 ， 令，则 ， 所以函数在 上单调递增， 又， ， 所以函数存在唯一的零点, ， 且当时，， ， 当时，， . 故函数在上单调递减，在 上单调递增， 第20课时 利用导数研究函数的零点 故 ， 由得，即 ， 等式两边取对数得，故 ， 所以，即 . 第20课时 利用导数研究函数的零点 THANKS 35 $