第3章 提升课9 利用导数研究函数的零点问题-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数零点问题”核心考点，依据高考评价体系梳理零点个数判断及参数范围求解两大考查方向，通过模拟题与真题案例分析考点权重，归纳“导数分析单调性极值”“方程转化与图象交点”等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养培养”，如2021年全国甲卷真题通过转化方程、求导得极值确定参数范围，2025年天津卷结合函数图象分析零点个数，培养数学思维与数学语言表达能力。方法总结“三步求解法”助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

提升课9　利用导数研究函数的零点问题 第三章　一元函数的导数及其应用 考点一　利用导数研究函数零点的个数 [例1]　(2026·河北秦皇岛模拟)设函数f(x)=exsin x,g(x)=f(x)-ax,0<a≤1,求g(x)在(0,π)上的零点个数. [解]　由已知得g(x)=exsin x-ax,所以g'(x)=ex(sin x+cos x)-a, 令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x. 当0<x<时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增,当<x<π时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减, 即g'(x)在(0,)上单调递增,在(,π)上单调递减. 又0<a≤1,所以g'(0)=1-a≥0,g'()=-a>0,g'(π)=-eπ-a<0, 所以存在x0∈(,π),使得g'(x0)=0, 当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0, 所以函数g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减. 因为g(0)=0,g(x0)>g(0)=0,故函数g(x)在(0,x0)上无零点. 又因为g(π)=-aπ<0,由零点存在定理可得g(x)在(x0,π)上有且只有一个零点. 综上所述,函数g(x)在(0,π)上的零点个数为1. 方法总结 三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题; 第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质; 第三步:结合性质或图象求解. 跟踪训练 1.(2026·内蒙古赤峰模拟)已知函数f(x)=(x+1)ex. (1)求f(x)的单调区间及最小值; 解:由f(x)=(x+1)ex求导得f'(x)=(x+2)ex, 当x<-2时,f'(x)<0,当x>-2时,f'(x)>0, 即f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 故f(x)的单调递增区间为(-2,+∞),单调递减区间为(-∞,-2), 当x=-2时,f(x)min=f(-2)=-. (2)令g(x)=f(x)-a,讨论g(x)的零点个数. 解:由g(x)=f(x)-a=0可得a=f(x), 则g(x)的零点个数即函数f(x)=(x+1)ex与直线y=a的交点个数. 由(1)得f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-2)=-, 又当x→-∞时,f(x)→0,且f(x)<0,当x→+∞时,f(x)→+∞, 作出函数f(x)=(x+1)ex的图象. 由图知,当a<-时,直线y=a与函数f(x)=(x+1)ex的图象没有交点,此时函数g(x)无零点; 当-<a<0时,直线y=a与函数f(x)=(x+1)ex的图象有2个交点,此时函数g(x)有2个零点; 当a=-或a≥0时,直线y=a与函数f(x)=(x+1)ex的图象有1个交点,此时函数g(x)有1个零点. 考点二　根据零点的个数求参数范围 [例2]　(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0).若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围. [解]　曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点, 可转化为方程=1(x>0)有两个不同的解,即方程=有两个不同的解. 设g(x)=(x>0),则g'(x)=(x>0), 令g'(x)==0,得x=e, 当0<x<e时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增; 当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减, 故g(x)max=g(e)=,且当x>e时,g(x)∈(0,). 又g(1)=0,所以0<<==g(e),所以a>1且a≠e, 故a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞). 方法总结 已知零点求参数的取值范围 1.结合图象与单调性,分析函数的极值点. 2.依据零点确定极值的范围. 3.对参数选择恰当的分类标准进行讨论. 跟踪训练 2.(2025·天津卷)已知函数f(x)=ax-(ln x)2,若f(x)有3个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,求a的取值范围. 解:令f(x)=ax-(ln x)2=0,x>0,得a=, 设g(x)=,x>0, 则g'(x)==, 由g'(x)=0解得x=1或x=e2, 当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减; 当1<x<e2时,g'(x)>0,g(x)在(1,e2)上单调递增; 当x>e2时,g'(x)<0,g(x)在(e2,+∞)上单调递减,g(1)=0,g(e2)=, 且当x→0时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→0, 如图作出函数g(x)的图象, 要使函数f(x)有3个零点, 则方程a=g(x)在(0,+∞)内有3个根,即直线y=a与函数g(x)的图象有3个交点. 结合图象可知,0<a<, 故a的取值范围为(0,). $