导数与函数的极值、最值 课件-2027届高三数学一轮复习

导数与函数的极值、最值 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 理解函数极大值、极小值的概念（局部性质），明确极值与最值的区别与联系； 2. 掌握利用导数求极值的方法（f'(x)=0 且左右变号），会求函数的极值； 3. 理解闭区间上函数最大值、最小值的求法，会求简单函数的最值，并能解决实际应用中的优化问题。 二、教学重点 1. 极值点的判定（f'=0 且导数左右异号，列表法）； 2. 闭区间上最值的求解（端点值与极值比较）。 三、教学难点 1. 极值与最值概念的区分（局部 vs 全局）； 2. 含参数函数极值、最值的分类讨论与优化建模。 第17课时 导数与函数的极值、最值 【新课标要求】 1. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值； 2. 会求闭区间上函数的最大值、最小值，并能解决实际问题中的最值（优化）问题； 3. 在求解极值、最值的过程中，体会函数与方程、数形结合思想，发展数学建模素养。 第17课时 导数与函数的极值、最值 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】极值与最值是导数应用的重点，近五年全国卷每年必考，常作为解答题的核心环节，分值约5~12分，与单调性、不等式、实际应用紧密结合。 【高频考点】 1. 利用导数求函数的极值（列表法判断变号）； 2. 闭区间最值的求解（端点与极值比较，含参讨论）； 3. 实际应用中的最值问题（建立函数模型求优化）。 【备考建议】 1. f'(x0)=0 只是极值的必要条件，必须验“左右变号”，不可见 0 即极值； 2. 闭区间最值“三步走”：求驻点→列表算值→端点与极值比较取最； 3. 应用题先建模（设变量、列解析式、定定义域），再求导求最，结果回归实际意义。 第17课时 导数与函数的极值、最值 一、导数与函数的极值 条件 在点附近的左侧 ,右 侧 在点附近的左侧 ,右 侧 图象 极值 为极____值 为极____值 极值点 为极____值点 为极____值点 大 小 大 小 第17课时 导数与函数的极值、最值 5 微思考 若函数可导，则当时，一定在 处取到极值吗？ 答案 当时，不一定在处取到极值，例如，函数 .但当 在处取到极值时，由极值的定义可知必有 . （1）函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值没有必然的大小关系. （2）对于可导函数,“”是“函数在 处有极值”的必要不充分条件. 第17课时 导数与函数的极值、最值 二、导数与函数的最值 1.函数在 上有最值的条件 一般地,如果函数在区间 上的图象是一条__________的曲线,那么它必有 最大值和最小值. 2.求函数在区间 上的最大值与最小值的步骤 （1）求函数在区间 上的______； （2）将函数的各极值与端点处的函数值, 比较,其中______的一个 是最大值,______的一个是最小值. 连续不断 极值 最大 最小 微判断（1）函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.( ) √ （2）函数在区间 上不存在最值.( ) × （3）函数在区间 上一定存在最值.( ) × 第17课时 导数与函数的极值、最值 7 （1）函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间 上的极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最大（小）值最多有一个,并且有最值 的未必有极值，有极值的未必有最值. （2）如果函数在闭区间 上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端 点处取到.当在闭区间上单调递增时,是最小值,是最大值；当 在闭区间上单调递减时,是最大值, 是最小值. （3）如果函数在 上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值. 第17课时 导数与函数的极值、最值 8 关键考点·核心突破 9 利用导数求函数的极值 考向1 根据导函数图象判断极值 例1 （多选题）函数的导函数 的图象如图所示，下列说法正确的是 ( ). BC A.为函数 的极大值 B.当时， 取得极小值 C.在上单调递增，在 上单调递减 D.当时， 取得极小值 第17课时 导数与函数的极值、最值 10 解析 由图象知，当时，，即在 上单调递减； 当时，，即在 上单调递增. 故当时， 取得极小值，故A错误，B正确. 当时，，即在 上单调递减，故C正确，D错误. 故选 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 11 感悟提升 由图象判断函数 的极值的两个关键点 （1）由的图象与轴的交点,可得函数 的可能极值点. （2）由导函数的图象可以看出 的值的正负,从而可得函数 的单调性，两者结合可得极值点. 第17课时 导数与函数的极值、最值 12 考向2 求函数的极值 例2 （1）求下列函数的单调区间和极值点： ① ； ② ； ③ ； ④ . 第17课时 导数与函数的极值、最值 13 解析 ①由，，可得 . 令，可得或，令，可得 ， 所以函数的单调递增区间为,，单调递减区间为 ， 则极大值点为，极小值点为 . ②的定义域为， ， 故函数的单调递增区间为 ，无极值点. ③的定义域为， ， 当时，，当时， ， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ， 第17课时 导数与函数的极值、最值 14 则 为极小值点，无极大值点. ④的定义域为 ， . 由 知， 当且时，，当时， ， 所以函数的单调递减区间为,,，单调递增区间为, . 因为两侧的导函数值同号，所以 为极小值点，无极大值点. 第17课时 导数与函数的极值、最值 解析 因为 ， 所以 . 因为,在 上均为增函数， 所以在上为增函数，而 ， 故当时，，当时， . 故在处取得极小值且极小值为 ，无极大值. （2）（2024·全国甲卷改编）已知函数，求 的极值. 第17课时 导数与函数的极值、最值 感悟提升 运用导数求函数 极值的一般步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程 ,求出 在函数定义域内的所有根；（4）列表检验在的根 左、右两侧导数 值的符号；（5）求出极值. 第17课时 导数与函数的极值、最值 17 考向3 已知极值（点）求参数 例3（1）（RA选修二P104T9改编）已知函数在 处有极小值,则 的值为___ 2 解析 由题意得， ，则 ，所以或 . 若，则.当 ，时，， 单调递增； 当，时，，单调递减；当时，， 单 调递增.故函数在 处有极小值，满足题意. 第17课时 导数与函数的极值、最值 18 若，则.当时，， 单调递增； 当时，，单调递减；当时，， 单调 递增.故函数在 处有极大值，不符合题意. 综上， . 第17课时 导数与函数的极值、最值 19 （2）（2024·新高考Ⅱ卷节选）已知函数，若 有极小值，且 极小值小于0，则 的取值范围是________. 解析 易知函数的定义域为，，当时， ，函数 在上单调递增，无极值;当时，由，得，由 ， 得，所以函数在上单调递减，在 上单调递增，所以 的极小值为.由题意知 ，等价 于 . 令，则，所以函数在 上单调递减，又，故当时，;当时， .故实 数的取值范围是 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 20 （3）（经典高考真题,多选题）若函数 既有极大值也有 极小值,则( ). BCD A. B. C. D. 解析 因为函数,所以函数的定义域为 , .因为函数既有极大值也有极小值,所以关于 的方程 有两个不相等的正实根,,则即 所以故选 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 21 感悟提升 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法 求解. （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系 数法求解后必须验证参数的合理性. 第17课时 导数与函数的极值、最值 22 1.若1是函数的极值点,则 的极大值为______. 解析 因为 ， 所以 . 因为1是函数的极值点，所以 ， 即，解得 ， 此时 . 令，可得或；令，可得 . 故的极大值点为 ， 且的极大值为 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 23 2.（2025·八省联考节选）已知函数.若是 的极小值点， 则 的取值范围是_________. 解析 由题意可知，.因为为 的极小值点，所以 ，，所以 . ①当时，，令.故当时，， 单调递增; 当时，，单调递减.故在 时取得极大值，舍去. ②当时，，在上单调递减， 不存在极值， 舍去. 第17课时 导数与函数的极值、最值 24 ③当时，当时，， 单调递减; 当时，，单调递增;当时，， 单调递减， 此时，在 时取得极大值，舍去. ④当时，当时，，单调递减;当 时， ， 单调递增; 当时，，单调递减.此时在 时取得极小值，符合题意. 综上，的取值范围是 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 利用导数求函数的最值 例4（1）函数在区间 上的最大值是__，最小值是 ____. 第17课时 导数与函数的极值、最值 26 解析 对求导得 . 令，得， . 因为和都在区间 内，所以可列表如下： , , 0 - 0 单调 递增 单调 递减 单调 递增 又，，将它们与极值比较可得，函数在 上的最大值 为，最小值为 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 27 （2）（经典高考真题）若当时，函数 取得最大值，最大值为 ，则 ( ). B A. B. C. D.1 解析 因为函数的定义域为 ， 所以依题可知，， . 又，所以, ， 则,所以 ， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时， 取得最 大值，满足题意，故 . 故选B. 第17课时 导数与函数的极值、最值 28 感悟提升 求函数在区间 上的最值的方法 （1）若函数在区间上单调递增或单调递减,则与 一个为最大 值,一个为最小值. （2）若函数在区间上有极值,则先求出函数在 上的极值,再与 , 比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成. （3）若函数在区间 上有唯一一个极值点,则这个极值点就是最值点,此 结论在导数的实际应用中经常用到. 注意：求含有参数的可导函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，再通过 对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 的最值. 第17课时 导数与函数的极值、最值 29 1.（经典高考真题）函数在区间 上的最小值、 最大值分别为( ). D A., B., C., D., 解析 ， 所以在区间，和，上，，单调递增；在区间， 上， ， 单调递减. 又，， ， 所以在区间上的最小值为，最大值为 .故选D. 第17课时 导数与函数的极值、最值 30 2.若函数在区间上存在最小值,则实数 的取值范围是 ( ). C A. B. C. D. 解析 由题意得， . 当或时，；当时， . 故在，上单调递增，在 上单调递减， 所以函数的极小值为 . 令，解得或 ， 第17课时 导数与函数的极值、最值 31 作出函数 的图象，如图所示， 结合图象可知 解得 .故选C. 第17课时 导数与函数的极值、最值 32 3.（2025·全国一卷节选）函数在， 上的最大值. 解析 ， 因为，，所以，，则 . 当时，，则 ； 当时，，则 . 故在，上为增函数，在， 上为减函数. 故在，上的最大值为 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 33 三次函数 思维进阶 三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独 有的结论和技巧.恰当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程. 结论1 三次函数的图象关于点， 中 心对称. 结论2 已知三次函数 的图象的中心对称点的横坐 标为，两个极值点分别为，，则 . 结论3 若的图象关于点对称，则的图象关于直线 对称. 点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数，奇函数的导数 是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 第17课时 导数与函数的极值、最值 34 典例（1）（多选题）已知三次函数 ，则 ( ). ABC A.函数的图象的对称中心是， B.若函数的图象关于点对称，则的图象关于直线 对称 C.若函数 有极值，则图象的对称中心是图象上两个取极值的点所在线段的 中点 D.若有三个根且三个根分别为，，，则 第17课时 导数与函数的极值、最值 35 解析 对于A，设 ，得 ， 整理得 .根据多项式恒等对应系数 相等，可得且 ，从而三次函数的图象是中心对称 曲线，且由知其对称中心仍然在曲线上. 故对称中心为 ， ，A正确. 对于B，由的图象关于点对称，得 .求导可得 ，即的图象关于直线 对称，B正确. 对于C，设的两根分别为，， 第17课时 导数与函数的极值、最值 36 .设的图象上两个取极值的点分别为，，则 . ， 所以，的中点，， 为 对称中心，C正确. 对于D，.比较系数可得 ，D错误. 故选 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 （2）（2024·新高考Ⅱ卷，多选题）设函数 ，则( ). AD A.当时， 有三个零点 B.当时，是 的极大值点 C.存在，，使得直线为曲线 的对称轴 D.存在，使得点为曲线 的对称中心 第17课时 导数与函数的极值、最值 38 解析 对于A，，由于 ，故当 时，，故在， 上单调递增， 当时，，单调递减，则在处取到极大值，在 处取到极小值，由，，得 ，根据函数零 点存在定理，可知在上有一个零点，又 ， ，则， ， 因此，在，上各有一个零点，于是当时， 有三个零点， 故A正确； 对于B，，因为，所以当时，， 单调 递减， 第17课时 导数与函数的极值、最值 39 当时，，单调递增，此时在 处取到极小值，故B 错误； 对于C，假设存在这样的，，使得直线为曲线 的对称轴，即存在这 样的，使得 ，即 ， 根据二项式定理，等式右边展开式中含有 的项为 ， 等式左右两边的系数不相等，原等式不可能恒成立，所以不存在这样的， ，使 得直线为曲线 的对称轴，故C错误； 第17课时 导数与函数的极值、最值 对于D，依题意得，若存在这样的，使得点为 图象的 对称中心，则 ，又 ， 所以，即 解得 ，即存在使得点是图象的对称中心，故D正确.故选 . 第17课时 导数与函数的极值、最值 THANKS 42 $