导数的概念及其意义、导数的运算 课件-2027届高三数学一轮复习

导数的概念及其意义、导数的运算 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 通过瞬时速度与切线斜率等实例，理解导数是函数在某一点处瞬时变化率的极限，体会导数的几何意义（切线斜率）与物理意义（瞬时变化率）； 2. 掌握基本初等函数的导数公式，能正确、熟练地对常见函数求导； 3. 掌握导数的四则运算法则与复合函数的求导法则（链式法则），会求简单复合函数的导数。 二、教学重点 1. 导数的概念及其几何意义（切线斜率）； 2. 基本初等函数的导数公式与四则运算法则； 3. 复合函数的求导法则（由外向内逐层求导）。 三、教学难点 1. 导数概念的本质理解（平均变化率的极限，Δx→0）； 2. 复合函数求导时的分解与链式法则的正确运用。 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 【新课标要求】 1. 通过实例分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是瞬时变化率的极限； 2. 理解导数的几何意义（函数图象在一点处切线的斜率），会求简单函数在某点处的切线方程； 3. 能根据导数定义求简单函数的导数，熟记基本初等函数的导数公式； 4. 掌握导数的四则运算法则与复合函数求导法则，能进行简单的导数运算，发展数学运算与逻辑推理素养。 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】导数的概念与运算是导数板块的基础，近五年全国卷每年必考，以选择题、填空题直接考查求导为主，并作为解答题的必备步骤贯穿始终，基础运算部分约5分，综合部分可达12~17分。 【高频考点】 1. 基本初等函数与四则运算的求导（直接运算，几乎必现）； 2. 复合函数求导（外层函数导数×内层函数导数，热点易错）； 3. 已知切线求参数（利用 f'(x0)=斜率、f(x0)=纵坐标列方程组）。 【备考建议】 1. 导数公式与法则熟练到“脱口而出”，运算时按“先四则、后复合”顺序； 2. 复合函数求导坚持“由外向内、逐层求导”，不漏乘内层导数； 3. 切线问题牢记两个等量关系：斜率 k=f'(x0)、切点 (x0,f(x0)) 同时在曲线与切线上。 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 5 一、导数的概念 1.函数在处的导数记作_______________ . 2.函数 的导函数 . 或 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 6 二、导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的______，相应的切线方程为_________________________. 斜率 微判断（1）曲线在某点处的切线与曲线 过某点的切线的意义是相 同的.( ) （2）与曲线只有一个公共点的直线一定是该曲线的切线.( ) 求曲线的切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的区别.前者 是切点， 只有一条切线；后者 可以是切点，也可以不是切点，包括了前者. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 7 三、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （ 为常数） ___ ，且 ___ _____ _______ ，且 _______ ____ ，且 0 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 8 可导的奇函数的导数是偶函数，可导的偶函数的导数是奇函数，可导的周期 函数的导数仍是周期函数. 四、导数的运算法则 若， 存在，则 _____________； _____________________； ； _______. 微判断 .( ) 微判断 .( ) 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 9 五、复合函数的定义及其导数 1.一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数与的复合函数，记作 ________. 2.复合函数的导数和函数，的导数间的关系为 ________，即对的导数等于对的导数与对 的导数的乘积. 在复合函数求导中，要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 10 关键考点·核心突破 11 导数的概念 题组（1）（RA选修二P66T3改编，多选题）已知某质点的运动方程为 ，则( ). ABD A.当时，该质点的平均速度是8 B.该质点在 时的瞬时速度是16 C.该质点位移的最大值为43 D.该质点在 时的瞬时速度是20 解析 对于A，当时，该质点的平均速度是 ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，当时， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选ABD. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 12 （2）（RA选修二P66T4改编）函数在区间 上的平均变化率为___， 在 处的导数为___. 3 2 解析 函数在区间上的平均变化率为 . . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 13 （3）（北师大选修二P60例5改编）设，则 ___， ____， ___. 5 −5 5 解析 . . . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 14 感悟提升 1.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 （1）平均变化率，当趋近于0时， 所趋于的一个常数就是函 数在 处的瞬时变化率，即函数的瞬时变化率是利用平均变化率"逐渐逼近"的方 法得到的. （2）平均变化率和瞬时变化率都是用来刻画函数变化快慢的，绝对值越大，函数变 化得越快. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 15 2.求函数在 处的导数的步骤 （1）求函数的增量， ； （2）求平均变化率， ； （3）得导数， . 简记作：一差、二比、三极限. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 16 导数的运算 例1（1）求下列函数的导数. ① ； 解析 因为， 所以 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 17 ② ； 解析 因为 ， 所以 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 18 ③ ； 解析 因为，所以 . ④ ； 解析 因为 ， . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 19 ⑤ . 解析 因为 ， . （2）（RA选修二P81习题5.2T6改编）已知，则 ____， ________. 解析 因为，所以.令 ，得 ，解得，则 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 20 感悟提升 导数的运算技巧 （1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再 利用运算法则求导. （2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后灵活应用方程思想求解. （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时进行换元. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 21 （多选题）下列各式正确的有( ). AC A. B. C. D. 解析 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选AC. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 22 导数的几何意义 考向1 求切线方程或切点坐标 例2（1）（苏教选修一P193T4改编）已知曲线 . ①曲线在点 处的切线方程为_________________； 解析 因为，所以 . 又，所以曲线在点处的切线方程为 ，即 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 23 ②曲线过点 的切线方程为________________________________； 或 解析 设切点坐标为 ， 因为，所以切线方程为 . 又切线过点，所以 ， 整理得，解得或 ， 所以经过点的曲线的切线方程为或 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 24 ③若曲线在点处的切线斜率为15，则点 的坐标为________________，切线方 程为_________________________________. 或 或 解析 设切点的坐标为，由，可得 ， 解得或，则或 ， 即切点为或，所以切线方程为 或 ，即或 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 25 （2）（2024·新高考Ⅱ卷节选）已知函数，则曲线 在点 处的切线方程为___________________. 解析 因为 ， 所以，可得， ， 即切点坐标为，切线斜率 ， 所以切线方程为，即 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 26 考向2 求参数的值（范围） 例3（1）（RA选修二P82T11改编1）设曲线在点 处的切线方程为 ，则____ 解析 ， . 又曲线在点处的切线方程为 ， 在点处的切线斜率，解得 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 27 （2）（经典高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值 范围是___________________ 解析 ， . 设切点坐标为，则，切线斜率 ， 切线方程为 . 切线过原点， ， 整理得 . 切线有两条，，解得或 ， 的取值范围是 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 28 感悟提升 处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点之间的关系列出相关的 方程（组）或者不等式（组），进而求解. 注意：①曲线上点的横坐标的取值范围；②切点处的导数是切线的斜率；③切 点在切线上又在曲线上；④务必区分“在点处的切线”与“过点 的切线”. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 29 1.（2024·全国甲卷改编）设函数，则曲线在点 处的切 线方程为___________. 解析 ， 则 ，故该切线方程 为，即，所以曲线在点 处的切线方程为 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 30 2.（RA选修二P82T11改编2）已知函数的图象与轴相交于点 ，该曲 线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则( ). B A.1 B.2 C. D. 解析 由题意知，点的坐标为，因为，所以曲线在点 处 的切线斜率.由，得，所以曲线在点 处的 切线斜率.因为两切线平行，所以，即 .经检验，两切线方程分别 为和 ，符合题意. 故选B. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 31 3.（2025⋅全国一卷）若直线是曲线的切线，则 ___. 解析 由，得.设直线与曲线 相切 于点，则解得 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 32 4.（RA选修二P81T5改编）过点且与曲线相切的直线的条数为 . ( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 解析 点在曲线上，则有以下两种情况：①为切点， ， ，则曲线在点处的切线方程为 ，即 ； ②不是切点，设直线与曲线相切于点 ，则该直线的斜率 ，， ， 即，解得（舍去）或， 过点 且与曲线 相切的直线的方程为 . 综上所述，过点 的切线有2条，故选C. 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 33 曲线的公切线 深挖教材 在高中数学人教A版教材选择性必修第二册第104页“综合运用”中有这 样一个问题：已知曲线在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，求 的值. 上述问题被称为曲线的公切线问题，解决该问题的具体方法如下： （1）利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解. （2）设公切线与曲线相切于点，与曲线 相切于点 ，则 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 34 典例（1）（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ____. 解析 由得， ， 故曲线在点处的切线方程为 . 由得 . 设切线与曲线相切于点 ， 根据题意得，解得 ， 则切点坐标为 ， 切线方程为 . 因为两切线重合，所以，解得 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 35 （2）若直线是曲线与曲线 的公切线，则 ____. 11 解析 由，得，令，得 ，则直线 与曲线相切于点，所以 ， 得，所以直线是曲线 的切线，由 ，得，设切点坐标为 ， 则，且，联立消去，并整理可得，得 ， 所以，所以 . 第15课时 导数的概念及其意义、导数的运算 36 THANKS 37 $