导数与函数的单调性 课件-2027届高三数学一轮复习

导数与函数的单调性 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 理解函数单调性与导数的关系（f'(x)>0 增、f'(x)<0 减）； 2. 会用导数求函数的单调区间，并能证明函数在给定区间上的单调性； 3. 能通过单调性比较大小、解（含参）不等式。 二、教学重点 1. 利用导数判断或证明函数的单调性； 2. 求解函数的单调区间（含参数时的讨论）。 三、教学难点 1. 含参数函数单调性讨论中的分类标准（导函数零点与定义域、区间端点关系）； 2. 定义域优先原则在求导过程中的落实。 第16课时 导数与函数的单调性 【新课标要求】 1. 了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性； 2. 会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次），并能结合图象理解； 3. 在利用导数研究单调性的过程中，体会数形结合与转化与化归思想，发展直观想象与数学运算素养。 第16课时 导数与函数的单调性 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】导数与单调性是导数应用的核心，近五年全国卷每年必考，多以解答题第一问或选择题形式出现，分值约5~12分。 【高频考点】 1. 由函数解析式求单调区间（含对数、指数、三角函数型）； 2. 含参数函数单调性的分类讨论（由导函数零点位置分类）； 3. 已知单调性求参数范围（转化为 f'(x)≥0 恒成立问题）。 【备考建议】 1. 求单调区间“三步”：求定义域→求导并因式分解→由 f' 符号定增减； 2. 含参讨论先看导函数零点是否存在、是否落在定义域内； 3. 已知单调求参优先“恒成立法”：增区间上 f'(x)≥0 恒成立，注意端点取等条件。 第16课时 导数与函数的单调性 一、函数的单调性与导数的关系 前提 条件 结论 函数在区间 上可导 在区间 上__________ 在区间 上__________ 在区间 上是__________ 单调递增 单调递减 常数函数 微判断（1）若函数在上单调递增,则一定有 .( ) × （2）若函数在内恒有,则在 上一定单调递增. ( ) × （3）若函数在定义域上都有,则 在定义域上一定单调递增.( ) × （4）若函数在某个区间内恒有,则 在此区间内没有单调性.( ) √ 第16课时 导数与函数的单调性 5 （1）若函数在上单调递增,则当时, 恒成立；若函 数在上单调递减,则当时, 恒成立. （2）若函数在上存在单调递增区间,则当时, 有解；若函 数在上存在单调递减区间,则当时, 有解. 第16课时 导数与函数的单调性 6 二、利用导数判断函数单调性的步骤 第一步,确定函数的________； 第二步,求出导数 的______； 第三步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出 在各区 间上的正负,由此得出函数 在定义域内的单调性. 定义域 零点 第16课时 导数与函数的单调性 7 关键考点·核心突破 8 不含参数的函数的单调性 题组 利用导数判断下列函数的单调性： （1） ； （2）（经典高考真题） ； （3）（高考改编） ； （4） ； （5） （提示：需借助二阶导数进行判断）. 第16课时 导数与函数的单调性 9 解析 （1）因为，定义域为 ， 所以 . 令，得;令，得 . 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . （2） . 令，得，即 ； 令，得，即 . 第16课时 导数与函数的单调性 10 故的单调递增区间为， ，单调递减区间为 ， . （3）因为，所以 . 令，得或 ； 令，得 . 故的单调递增区间为 ,和,，单调递减区间为, . （4）由题意可知，函数的定义域为 ， . 令，解得或 . 第16课时 导数与函数的单调性 和把函数的定义域划分成三个区间， 在各区间上的正负以及 的单调性如表所示: 1 0 - 0 单调递增 单调递减 单调递增 故的单调递增区间为和，单调递减区间为 . （5）因为，所以 . 令，则，可得在 上单调递减，所以 . 故当时，；当时， . 故在上单调递增，在 上单调递减. 第16课时 导数与函数的单调性 感悟提升 单调区间的求法 （1）注意确定函数的定义域. （2）使的区间为的单调递增区间,使的区间为 的单 调递减区间. （3）函数的单调区间不能用并集表示,要用“,”或“和”隔开. 第16课时 导数与函数的单调性 13 含有参数的函数的单调性 例1 （1）已知函数，讨论 的单调性. （2）（2024·全国甲卷节选）已知函数，求 的单调区间. 解析 （1）的定义域为， . 若，则，所以在 上单调递减. 若，则令，得 ， 当时， ； 当时， . 故在上单调递减，在 上单调递增. 第16课时 导数与函数的单调性 14 综上所述，当时，在 上单调递减； 当时，在上单调递减，在 上单调递增. （2）的定义域为， . 若，则，故在 上单调递减； 若，则当,时，， 单调递增， 当,时，， 单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间;当 时，的单调递减区间为,,单调递增区间为, . 第16课时 导数与函数的单调性 感悟提升 利用导数求含有参数的函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点： （1）注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间; （2）注意观察 的解析式（或其中的某一部分、某个因式等）的取值是否 恒为正（或恒为负）,这往往是分类讨论的出发点; （3）注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如对二次项系数 正负的讨论,对判别式 的讨论,对根的大小比较的讨论等; （4）分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述. 第16课时 导数与函数的单调性 16 （高考改编）已知函数，讨论 的单调性. 解析 因为，定义域为，所以 . 当时， 恒成立， 所以在 上单调递减. 当时，令，解得 . 当时，，则在 上单调递减； 当时，，则在 上单调递增. 综上，当时，在 上单调递减； 当时，在上单调递减，在 上单调递增. 第16课时 导数与函数的单调性 17 函数单调性的应用 考向1 导数与函数的图象 例2 （RA选修二P86例2改编，多选题）已知函数的导函数 的图象 如图所示，则( ). BC A.在区间上单调递增 B.在区间 上单调递减 C.在区间上单调递增 D.在区间 上单调递减 第16课时 导数与函数的单调性 18 解析 在区间上，当，时，；当， 时， .故在区间，上单调递减，在区间， 上单调递增，A错误. 在区间上，，所以 单调递减，B正确. 在区间上，当时，；当时，.故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，C正确，D错误. 故选 . 第16课时 导数与函数的单调性 19 感悟提升 解决此类导函数图象与原函数关系问题的关键点有两个：一是抓住原函数的单 调递增区间对应的导函数的函数值为正，原函数的单调递减区间对应的导函数的函 数值为负；二是抓住原函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况，从而得到导函 数图象在相应点处的变化情况. 第16课时 导数与函数的单调性 20 考向2 比较函数值的大小或解不等式 例3（1）已知函数,则,, 的大小关系为_____________ _____________. （用“ ”连接） 解析 因为的定义域为，且函数 ， 所以为偶函数，所以 . 又，当时， ， 所以函数在， 上单调递增， 所以，即 . 第16课时 导数与函数的单调性 21 （2）已知函数，则不等式 的解集为______ ______________. 解析 的定义域为，因为，所以在 上单调递减， 所以不等式等价于，解得或 ， 所以不等式的解集为 . 第16课时 导数与函数的单调性 22 感悟提升 利用导数比较函数值的大小或解不等式的方法 （1）利用导数比较函数值的大小,其关键是判断已知（或构造后的）函数的单 调性,利用其单调性比较函数值的大小. （2）解与函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研 究新函数的单调性,从而解不等式. 第16课时 导数与函数的单调性 23 考向3 根据函数的单调性求参数的取值范围 例4 已知函数 . （1）若在区间上单调递增，则 的取值范围是________; 解析 函数的定义域为 . 在上单调递增，在上恒成立. ， ，即.，， . 故的取值范围是 . 第16课时 导数与函数的单调性 24 （2）若在上单调递减，则 的取值范围是________； 解析 由题意知在上恒成立，即，又 ， ，.故的取值范围是 . （3）若在上不单调，则 的取值范围是______； 解析 由知，在上单调，则或， 若在 上 不单调，则.故的取值范围是 . （4）若在上存在减区间，则 的取值范围是________； 解析 由题意可知在内有解，即， 有解，由 可知，即的取值范围是 . 第16课时 导数与函数的单调性 25 （5）若在上单调，则 的取值范围是_ __________________. ， 解析 ，，若在上单调递增，则 恒成 立，即，.若在上单调递减，则 恒成立，即 ， . 综上，若在上单调，则的取值范围是 ， . 第16课时 导数与函数的单调性 26 感悟提升 根据函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或 )恒 成立. （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或 )在该 区间上存在解集. 第16课时 导数与函数的单调性 27 1.设函数,若,,,且 ,则下列不等式恒成立的是 ( ). D A. B. C. D. 解析 因为,且定义域关于原点对称,所以函数 为偶函数. 当,时,且不恒为0,故函数在, 上单调递增, 结合函数为偶函数可知,函数在, 上单调递减, 所以等价于,即 .故选D. 第16课时 导数与函数的单调性 28 2.（经典高考真题）已知函数在区间上单调递增,则 的最小值 为( ). C A. B. C. D. 解析 因为函数 ， 所以 . 因为函数在上单调递增，所以在 上恒成立，即 在上恒成立，易知，则在 上恒成立. 设，则，当时，， 单调递增，所 以在上，，所以，即 . 故选C. 第16课时 导数与函数的单调性 29 3.（原创）函数的图象如图所示，为函数 的导 数，则不等式 的解集为__________________. 解析 由题图可知，函数在 上单调递减，在 上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增. 因此，当时，；当时，；当 时， ；当时， . 当时，由得，此时 ； 当时，由得，此时 . 综上所述，不等式的解集为 . 第16课时 导数与函数的单调性 30 THANKS 31 $