函数的模型及其应用 课件-2027届高三数学一轮复习

函数的模型及其应用 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 了解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等常用函数模型的特征； 2. 能根据实际问题的数据特征选择恰当的函数模型，并利用模型解决问题； 3. 体会不同函数模型增长的差异（指数爆炸、对数平缓、幂函数居中）。 二、教学重点 1. 函数模型的建立（设变量、列解析式、定定义域）； 2. 利用模型求最值、预测变化趋势。 三、教学难点 1. 实际问题的数学化（阅读理解、数据处理）； 2. 模型选择与结果的实际意义检验。 第14课时 函数的模型及其应用 【新课标要求】 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 第14课时 函数的模型及其应用 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】函数模型及其应用近五年全国卷约考查2~3次，多以解答题（应用题）或选择填空的情境题呈现，分值约5~12分。 【高频考点】 1. 增长率型（ )分段计费型模型； 2. 利用图象或表格数据确定模型参数； 3. 优化问题（最值）与方案比较。 【备考建议】 1. 审题三步：明确变量、抓住关键句、列出关系式，注意自变量实际范围； 2. 熟记常见模型图象特征，数据拟合时先描点观察再选型； 3. 结果要回归实际意义（人数取整、时间不为负等）。 第14课时 函数的模型及其应用 一、三种函数模型的性质 性质 函数 在 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 "直线上升"是匀速增长，其增长量固定不变；"指数增长"是先慢后快，其增长 量成倍增加，常用"指数爆炸"来形容；"对数增长"是先快后慢，其增长量越来越小. 第14课时 函数的模型及其应用 5 二、常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 （，为常数， ） 二次函数模型 （，，为常数， ） 与反比例函数相关的模型 （，为常数且 ） 与指数函数相关的模型 （，，为常数，且 ， ） 与对数函数相关的模型 （，，为常数， 且 ， ） 与幂函数相关的模型 （，， 为常数， ， ） 第14课时 函数的模型及其应用 6 关键考点·核心突破 7 用函数图象刻画变化过程 例1（1）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若 处有一 棵树与两墙的距离分别是4和 .不考虑树的粗细， 现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃 ，设此矩 形花圃的最大面积为 ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数 的图象大致是( ). B A. B. C. D. 第14课时 函数的模型及其应用 8 解析 设的长为，则的长为，则矩形 的面积为 .因为要将点围在矩形内，所以 .当 时，；当时， 可得其图象与B选项接近.故 选B. 第14课时 函数的模型及其应用 9 （2）（RA必修一P152例6改编）某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完 毕后空气中每立方米药物残留量（单位：毫克）与时间 （单位：时）的关系进行 研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图.现拟从下列四个 函数模型中选择一个估计与 的关系，则应选用的函数模型是( ). B A. B. C. D. 解析 由题图可知，函数在 上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数 的图象为一条曲线，且当 时，该函数单调递减，符合题意.故选B. 第14课时 函数的模型及其应用 10 感悟提升 判断实际问题变化过程的两种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结 合模型选图象. （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势， 验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 第14课时 函数的模型及其应用 11 如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边，和 运动（不含点，），记，将的面积表示为关于的函数 ，则 ( ). C A.当时， B.当时， C.当时， D.当时， 第14课时 函数的模型及其应用 12 解析 如图1， ， ，易得 ， ， ，则 . 第14课时 函数的模型及其应用 13 如图2，当时，点在线段上（不包括点 ），则 . 此时 . 如图3，当时，点在线段上（不包括点 ），此 时 . 如图4，当时，点在线段上（不包括点 ）， 此时，则 ，则 .故选C. 第14课时 函数的模型及其应用 14 应用所给函数模型解决实际问题 例2（1）（RA必修一P141T10改编）声强级（单位：）由公式 给 出，其中为声强（单位：）.一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ， 能听到的最低声强为 ，则人听觉的声强级范围为______________；若平 时常人交谈时的声强约为 ，则其声强级为______. 解析 依题意，， . 因此，人类听觉的声强级范围为 . 当时，，所以其声强级为 . 第14课时 函数的模型及其应用 15 （2）（经典高考真题，多选题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声 音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值， 是 实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为 ， ， ，则( ). ACD A. B. C. D. 第14课时 函数的模型及其应用 16 解析 燃油汽车，所以， ， ① 同理，， ， ② . ③ 对于A，由题表知 ，所以A正确； 对于B，由②③得，所以 ，所以B错误； 对于C， ，所以C正确； 对于D，由①②得，所以， ，所 以D正确.故选ACD. 第14课时 函数的模型及其应用 17 感悟提升 利用函数模型解决实际问题的关注点 （1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. （2）根据已知条件利用待定系数法，确定模型中的待定系数. （3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 第14课时 函数的模型及其应用 18 （2025·北京卷）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需 要的时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，已知训练数据量 从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时.当训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加( ). B A.2小时 B.4小时 C.20小时 D.40小时 第14课时 函数的模型及其应用 19 解析 设当训练数据量取个单位、个单位、 个单位时所 需训练时间分别为，，.由题意， ， ， . 因为，所以 ， 所以 . 所以当训练数据量从个单位增加到 个单位时，训练时间增 加4小时.故选B. 第14课时 函数的模型及其应用 20 构建函数模型解决实际问题 例3 某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究. 一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物的覆盖面积 （单位：平方米）与所经过的月数 的数据，如表所示.#1 0 2 3 4 4 25 62.5 156.3 第14课时 函数的模型及其应用 21 为了描述该生物的覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数 的关系，现有 以下四种模型可供选择： ①；②；③ ；④ . （1）试判断哪种函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； （2）经过几个月，此生物能否覆盖整个池塘？（参考数据： ， ）#1.4 第14课时 函数的模型及其应用 解析 （1）因为函数 刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 符合表中数据的变化规律，而 刻画的是增长速度不变的规律， 和 刻画的是增长速度越来越慢的变化规律， 所以更合适.由解得所以 ， . （2）设经过个月，此生物能覆盖整个池塘，则 ，解得 . 故经过9个月，此生物能覆盖整个池塘. 第14课时 函数的模型及其应用 23 感悟提升 构建函数模型解决实际问题的步骤 （1）建模：抽象出实际问题的数学模型； （2）推理、运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义 上的解； （3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返 回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 第14课时 函数的模型及其应用 24 智能辅助驾驶系统的自动刹车功能已开始得到应用.其工 作原理是：通过雷达测量车辆与障碍物之间的距离，并结 合实时车速计算出车辆到达障碍物所需的时间.系统预设 了两个关键距离阈值——报警距离和危险距离.当实测距离达到报警距离时，系统会 发出警报；当距离进一步缩短至危险距离时，系统将自动执行刹车.如图，该过程涉 及的时间可分为四个阶段：准备时间、人的反应时间、系统反应时间 和 制动时间.各阶段对应车辆行驶的距离分别为，，， （单位：米）.当车 速为米/秒 时，这些数据可通过大数据统计分析获得，如表所示，其 计算通常会涉及一个随地面湿滑程度等因素变化的系数 . 第14课时 函数的模型及其应用 25 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间/秒 距离/米 （1）请写出报警距离与车速之间的函数关系式，当 时，假设在车辆达 到报警距离，驾驶员和系统均未采取任何制动措施，车辆继续保持速度 匀速行驶， 求汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求当时，汽车的报警距离必须小于50米，试求汽车的行驶速度 应 限制在多少以下. 第14课时 函数的模型及其应用 26 解析 （1）由题意知， ，即 ，当时， ， ，当且仅当 时，等号成立，满足 ，即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒. （2）当时，，即，即 ，解得 ， 又，所以 ，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下. 第14课时 函数的模型及其应用 27 THANKS 28 $