函数的零点与方程的解 课件-2027届高三数学一轮复习

函数的零点与方程的解 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 理解函数零点的概念，了解函数零点与方程的根、函数图象与 x 轴交点三者的关系； 2. 理解零点存在性定理，会判断函数零点所在区间及零点个数； 3. 会用二分法求方程的近似解。 二、教学重点 1. 零点存在性定理的理解与应用； 2. 函数零点个数的判断（数形结合、分离参数）。 三、教学难点 1. 含参数零点问题的分类讨论； 2. “零点—方程的根—两图象交点”的转化技巧。 第13课时 函数的零点与方程的解 【新课标要求】 1. 结合具体连续函数及其图象，了解函数零点存在定理及其作用； 2. 会用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法； 3. 能将方程根的问题转化为函数零点问题，体会函数与方程思想。 第13课时 函数的零点与方程的解 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】函数零点近五年全国卷高频考查（约每年1题），常以“零点个数”或“由零点个数求参数”形式出现在选择、填空压轴，分值约5分。 【高频考点】 1. 判断零点所在的区间（定理+端点值符号）； 2. 求函数零点个数（直接法、图象法、分离参数法）； 3. 已知零点个数求参数取值范围（数形结合热点）。 【备考建议】 1. 零点存在性定理要求“连续+f(a)·f(b)<0”，注意只能判断变号零点； 2. 零点个数问题优先转化为两图象交点个数，作图要准确标出关键点； 3. 分离参数时注意定义域限制，参数范围取“水平线与图象交点数”对应区间。 第13课时 函数的零点与方程的解 一、函数的零点与方程的解 1.函数零点的概念 一般地，对于函数，我们把使_________的实数叫作函数 的零点. 2.函数零点与方程实数解的关系 方程有实数解 函数有______ 函数 的图象与_____有 公共点. 3.函数零点存在定理 如果函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且有_____________， 那么，函数在区间______内至少有一个零点，即存在 ，使得 _________，这个也就是方程 的解. 零点 轴 第13课时 函数的零点与方程的解 5 微判断（1）函数的零点就是函数的图象与 轴的交点.( ) × （2）连续函数在区间内有零点，则 .( ) × （3）连续函数满足，则在区间 上没有零点.( ) × （1）若连续函数在定义域上是单调函数,则 至多有一个零点.函数的 零点不是一个点,而是一个数，该数是方程 的实根. （2）由函数（图象是连续不断的）在区间 上有 零点不一定能推出,如图所示,所以“ ” 是“在区间 上有零点”的充分不必要条件. 第13课时 函数的零点与方程的解 6 二、二分法 对于在区间上图象连续不断且_____________的函数 ，通过不断地 把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得 到零点近似值的方法叫作二分法. 一分为二 零点 微思考 所有的函数都可以用二分法得到零点的近似值吗？为什么？ 答案 不是.二分法的使用需要满足以下两个条件：一是函数在给定区间内是连续不 断的；二是函数在给定区间两端的函数值异号. 第13课时 函数的零点与方程的解 7 关键考点·核心突破 8 函数零点所在区间的判定 题组（1）（RA必修一P144练习T2改编）函数 的零点所在的区 间为( ). B A. B. C. D. 解析 函数在上单调递增,则在 上至多有一个根,又 ,,所以,故的零点所在的区间为 .故选B. 第13课时 函数的零点与方程的解 9 （2）（RA必修一P146练习T2改编）方程 的近似解所在的区间为 ( ). B A. B. C. D. 解析 作出函数与的图象，如图，由图可知方程 的近 似解所在的区间为 .故选B. 第13课时 函数的零点与方程的解 10 （3）若，则函数 的两个零点分别位于区间( ). A A.和内 B.和 内 C.和内 D.和 内 解析 函数 是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点. 由，得，， ，因此 ，， ， 所以， ， 即在区间和区间 内各有一个零点.故选A. 第13课时 函数的零点与方程的解 11 （4）用二分法求函数 的一个零点,近似值时其参考数据为： 据此数据,可得方程的一个近似解为_____（精确度为 ，近似解保 留2位小数）. 1.56 解析 注意到， ,显然 ,又 ,所以近似解可 取1.56. 感悟提升 确定函数零点所在区间的常用方法：利用函数零点存在定理,数形结合法. 第13课时 函数的零点与方程的解 12 函数零点个数的判定 例1（1）（苏教必修一P253T8改编）函数 的零点个数 是( ). B A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题意，函数 当时，令，解得或 （舍去）； 当时，令，即，解得 . 故函数 有2个零点.故选B. 第13课时 函数的零点与方程的解 13 （2）（经典高考真题）函数 的零点个数为( ). B A.0 B.1 C.2 D.3 解析 函数的零点，即令，得 ，在平面直角坐标系 中分别画出幂函数和指数函数 的图象（图略），可得两个函数图象的 交点只有一个，所以函数 只有一个零点.故选B. 第13课时 函数的零点与方程的解 14 感悟提升 求解函数零点个数的基本方法 （1）直接法：令，方程有多少个不同的实数根，则 有多少个零点. （2）定理法：利用函数零点存在定理时，往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两个函数图象的交点个数得 出函数的零点个数. 第13课时 函数的零点与方程的解 15 1.已知定义在上的函数满足,且 ,当 时,则函数在区间 上的零 点个数为( ). B A.0 B.1 C.5 D.10 第13课时 函数的零点与方程的解 16 解析 由题意知,4为函数的一个周期且函数的图象关于直线 对称. 根据时的函数解析式,画出函数及函数 的大致图象,如图所示. 当时,函数的图象与函数 的图象有且仅有一个交点; 当时,总有,而函数在区间上单调递增,且 , ,所以函数的图象与函数的图象在区间 上没有交点. 综上,函数在区间 上的零点个数为1.故选B. 第13课时 函数的零点与方程的解 17 2.已知函数满足,且当时, . 若函数则函数在区间 内的零点个数 为( ). B A.11 B.12 C.13 D.14 解析 , , 故函数是在 上的周期为2的函数,作出 函数与 的图象,如图所示. 由图象可知函数 在区间 内的零点个数为12.故选B. 第13课时 函数的零点与方程的解 18 函数零点的应用 考向1 根据零点个数求参数 例2 （RA必修一P160T4改编）已知函数 若方程 的实数解的个数为2，则实数 的取值范围是______________. 第13课时 函数的零点与方程的解 19 解析 作出函数 的图象，如图，方程 的实数解的个数等于直线 与 图象的交点个数. 当时， ， 函数在上单调递减，在 上单调递 增，， ; 当时，，函数在 上单调递增. 由方程的实数解的个数为2，结合图象易得或 , 即实数的取值范围是 . 第13课时 函数的零点与方程的解 20 考向2 根据零点范围求参数 例3 若函数在区间内有零点,则实数 的取值范围是______. 解析 令,则 当时，等式不成立, ,即 与的图象在内有交点.在 上单调递增,且 ,,, . 第13课时 函数的零点与方程的解 21 感悟提升 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式 （组）确定参数（范围）. （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域，从而确定参数范围. （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然 后利用数形结合法求解. 第13课时 函数的零点与方程的解 22 1.函数在，上有零点，则实数 的取值范围是( ). D A. ， B. ， C.， D. ， 解析 当时， ，不符合题意; 当时，因为函数，在， 上均单调递增， 所以函数在，上单调递增，而,所以不可能在, 上有零点; 当时，因为函数，在， 上均单调递减， 所以函数在， 上单调递减, 因为函数在， 上有零点， 所以，即，解得 .故选D. 第13课时 函数的零点与方程的解 23 2.（经典高考真题）设，函数.若 恰有两个 零点，则实数 的取值范围为________________________. 解析 当时，令，即 ， 即 . 若，则，此时成立，且 . 若，则或 . 若方程有一根为，则，即且 ； 若方程有一根为，则，解得且 ； 若，则，此时 成立. 第13课时 函数的零点与方程的解 24 ②当时，令，即 ， 即 . 若，则，显然 不成立. 若，则或 . 若方程有一根为，则，即 ； 若方程有一根为，则，解得 ； 若，则，显然 不成立. 综上，当时，零点为，；当时，零点为， ； 当时，只有一个零点 ； 第13课时 函数的零点与方程的解 当时，零点为， ； 当时，只有一个零点 ； 当时，零点为， ； 当时，零点为1， . 故当函数有两个零点时，且，即实数 的取值范围为 . 第13课时 函数的零点与方程的解 函数零点的综合问题 思维进阶 解有关函数零点的综合问题，可以以函数图象、图象的变换方法及函数 的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系， 快速解决该问题.函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌 套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为 ，通过换元将复合函数拆解为两 个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 第13课时 函数的零点与方程的解 27 典例（1）已知函数若函数 有4个不同的零点,且 零点从小到大依次为,,,,则 的取值范围为( ). D A. B. C. D. 第13课时 函数的零点与方程的解 28 解析 画出函数 的图象,如图所示. 若函数有4个不同的零点,则 与 的图象有4个交点,由图象可得 . 设,是方程 的两根,即 的两根, , 是方程的两根,即的两根, , . 令,,则在 上恒成立, 在 上单调递增, ,即 ,的取值范围为 .故选D. 第13课时 函数的零点与方程的解 29 （2）（多选题）已知函数若函数 有4 个不同的零点，，，，且 ，则( ). BD A. B. C. D. 第13课时 函数的零点与方程的解 30 解析 作出函数 的图象，如图所示,由图象可知，若方程 有4个不同的解，则 ，故A错误； 当时，方程 有4个不同的解，且 ， 所以，且 ， 则，整理得 ，所以 ，故B正确； 又，且,关于直线对称，所以 ，故C错误； 由得，又 ，所以 ，故D正确. 故选 . 第13课时 函数的零点与方程的解 31 （3）已知函数则关于的函数 的 零点的个数为( ). B A.8 B.7 C.5 D.2 解析 根据题意,令,得或.作出函数 的 简图,如图. 由图象可得当和 时,分别有4个和3个不同的实数解, 故关于的函数 的零点的个数为7.故选B. 第13课时 函数的零点与方程的解 32 （4）已知函数则函数 的零点 个数是( ). B A.4 B.5 C.6 D.7 解析 令，，则，即 ， 分别作出函数的图象和直线 ，如图1所示. 由图1可得它们有两个交点，交点的横坐标分别设为，，则, . 对于，分别作出函数的图象和直线 ，如图2所示. 由图2可得，当时，函数的图象与 轴有两个交点，即方程 有两个不相等的根； 第13课时 函数的零点与方程的解 33 当时，函数的图象与直线有三个交点，即方程 有 三个不相等的根. 综上可得，的实根个数为5，即函数 的零点个数 是5.故选B. 第13课时 函数的零点与方程的解 34 （5）（多选题）已知函数若关于 的方程 有个互不相等的实根,, , ,且 ,则( ). ABC A.当时, B.当时,的取值范围为 C.当时, D.当时,的取值范围为 第13课时 函数的零点与方程的解 35 解析 令,则,得 , ,作出 的图象,如图所示. 对于A,当时,,,结合图象可知, 有1 个解,有4个解,故 ,故A正确; 对于B,当时,结合图象可知方程, 各有1个解,则解得 ,故B正确; 第13课时 函数的零点与方程的解 36 对于C,当时,由图象可知,点,关于直线 对称,则 ,由图可知,, ,由 可得,所以,则 ,因 此, ,故C正确; 对于D,当时,结合图象可得 或 解得或,所以 的取值范围为 ,故D错误.故选 . 第13课时 函数的零点与方程的解 （6）已知函数且关于 的方程 有7个不同的实数解，则实数 的取值范围为 ______. 解析 作出函数 的图象，如图所示. 有7个不同的实数解， 设，则关于的方程 有2个不相 等的实根，分别为，,且或， . 当，时，，满足题意；当 时， ，解得 . 综上，的取值范围为 . 第13课时 函数的零点与方程的解 38 THANKS 39 $