第2章 2.11 函数的零点与方程的解（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，依据课标要求梳理了函数零点定义、等价关系、零点存在定理及二分法等核心内容，对接高考评价体系，明确区间判定、个数判定、零点应用三大高频考点，结合真题改编题与常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“知识整合+真题突破+素养提升”策略，如零点区间判定采用定理法与图象法，个数判定结合单调性和图象交点分析，培养数学思维与数学语言表达能力。通过易错点警示和规律方法总结，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

2.11　函数的零点与方程的解 第二章　函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 f(x)＝0 x轴有公共点 零点 栏目导航 第二章　函数 1 f(a)f(b) f(c)＝0 栏目导航 第二章　函数 1 一分为二 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 √ × × × 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 【课标要求】 1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程的近似解具有一般性． 1．函数的零点 (1)定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使____________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点； (2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与________________⇔函数y＝f(x)有________． [微提醒]　函数f(x)的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点存在定理 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②__________＜0； (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． [微提醒]　函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数． 3．二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)＝x3的零点为0.(　　) (2)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　) 2．(人A必修一P143例1改编)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析　由或解得x＝－2或x＝e， 故f(x)有2个零点． 答案　B 3．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) 解析　由指数函数、幂函数的单调性可知y＝0.3x在R上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝0.3x－在定义域上单调递减， 显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0， 所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5).故选B. 答案　B 4．若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算，如表所示． x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0.1)可以为(　　) A．1.3 B．1.32 C．1.437 5 D．1.25 解析　因为f(1.375)＞0，f(1.312 5)＜0，且1.375－1.312 5＜0.1，所以该方程的一个近似根(精确度为0.1)在区间(1.312 5，1.375)内，结合选项知，选B. 答案　B 5．(苏教必修一P235T9改编)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是____________． 解析　当a＝0时，f(x)＝1，函数y＝f(x)的图象与x轴无交点，不符合题意，所以a≠0，所以函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上单调，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞. 答案　(－∞，－1)∪ 考点一　函数零点区间的判定　重难考点　师生共研 (1)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) (2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝____________． [解析]　(1)方法一　函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1＜0，f(2)＝log32＞0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内． 方法二　函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B. (2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，可以判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f(x)的零点x0∈ (n，n＋1)时，n＝2. [答案]　(1)B　(2)2 函数零点所在区间的判断方法 (1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形； (2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，适用于容易画出函数图象的情形． 1．函数f(x)＝3x＋x的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析　∵f(x)是增函数，f(－2)＜0，f(－1)＜0，f(0)＞0，f(1)＞0，f(2)＞0，∴f(－1)f(0)＜0.由函数零点存在定理可知，选B. 答案　B 2．(2025·甘肃金昌模拟)已知x0是函数f(x)＝－x＋4的一个零点，若x1∈(2，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．x0∈(2，4) B．f(x1)>f(x2) C．f(x1)<0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析　函数y＝在区间(2，＋∞)上单调递减，函数y＝－x＋4在区间(2，＋∞)上单调递减，故函数f(x)＝－x＋4在区间(2，＋∞)上单调递减． 又f(2)>0，f(3)>0，f(4)>0，f(5)<0，所以x0∈(4，5). 因为f(x0)＝0，x1∈(2，x0)，x2∈(x0，＋∞)，由单调性知f(x1)>0，f(x2)<0， 即f(x1)>f(x2). 答案　B 考点二　函数零点个数的判定　重难考点　师生共研 (1)函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是__________． [解析]　(1)令f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln |2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f(x)在区间[－2，2]上的零点个数为3，故选A. (2)方法一　∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点． 方法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点． [答案]　(1)A　(2)1 判断函数零点个数的方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理不仅要求函数图象在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． (3)图象法：令f(x)＝0，转化为两个函数相等的形式，画出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 3．函数f(x)＝ex＋3x零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析　f(x)＝ex＋3x为增函数且连续，又f(－1)＝e-1－3＜0，f(0)＝e0＝1＞0，故f(x)＝ex＋3x在R上有唯一的零点．故选B. 答案　B 4．函数f(x)＝x2－2|x|－ln |x|的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－ln |－x|＝x2－2|x|－ln |x|＝f(x)，故函数f(x)为偶函数． 当x>0时，f(x)＝x2－2x－ln x，考虑函数f(x)在(0，＋∞)内的零点个数，令f(x)＝0，可得x2－2x＝ln x， 作出函数y＝x2－2x， y＝ln x在(0，＋∞) 上的图象如图所示， 所以函数y＝x2－2x，y＝ln x在(0，＋∞)上的图象的交点个数为2， 故函数f(x)在(0，＋∞)上的零点个数为2， 所以函数f(x)在(－∞，0)上的零点个数也为2. 因此，函数f(x)的零点个数为4. 答案　D 考点三　函数零点的应用　多维探究　发散思维 角度1　根据函数零点个数求参数 已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是____________． [解析]　易知函数y＝2x3＋3x2＋m在[0，1]上单调递增，函数y＝mx＋5在(1，＋∞)上单调，因为函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，所以f(x)在区间[0，1]和(1，＋∞)上与x轴分别有一个交点，则f(0)＝m＜0，f(1)＝5＋m＞0，得－5＜m＜0.故实数m的取值范围是(－5，0). [答案]　(－5，0) 角度2　根据函数零点所在区间求参数 已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A． B．∪(0，＋∞) C．∪(0，＋∞) D． [解析]　由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此实数m的取值范围是.故选D. [答案]　D 利用函数零点求参数的方法 5．函数f(x)＝2x＋x－5的零点x0∈(a－1，a)，a∈N*，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　函数f(x)＝2x＋x－5是连续增函数，f(2)＝4＋－5＝－＜0，f(3)＝8＋－5＝＞0，所以函数f(x)＝2x＋x－5的零点在(2，3)内，所以a＝3.故选C. 答案　C 6．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝x＋m恰有3个不相等的实数解，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　作出函数f(x)＝的图象如图所示， 因为关于x的方程f(x)＝x＋m恰有3个不相等的实数解，所以函 数f(x)的图象与直线y＝x＋m有3个交点． 若直线y＝x＋m经过原点，则m＝0， 此时仅有2个交点； 若直线y＝x＋m与函数f(x)的图象在x>0时只有1个交点，由－x2＋2x＝x＋m得x2－x＋m＝0， 令Δ＝－4m＝0，解得m＝，此时仅有2个交点． 因此结合图象可知当m∈时，函数f(x)的图象与直线y＝x＋m有3个交点． 答案　D $