江苏淮安市淮阴师范学院附属中学2026-2027学年高三上学期10月调研测试数学试卷

2026一2027学年第一学期高三调研测试数学答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 2 4 5 6 7 8 9 10 11 A D A A 马 A ABC AD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8 .1 -1 12.013.7拼714.①.x=0(答案不唯一)②.2+sin1 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 5 2 15.(1)5(2)11 【小问1详解】由sin2A+sin2C+cos2B=1+V2 sin AsinC, sin2 A+sin2C-2sin Asin C=1-cos2 B=sin2B, 由正弦定理可得d2+c2-√2aC=b2,即Q2+c2-b2=V2aC,2分 OsB=a+e2-b Bsπ 由余弦定理得 2ac 一2，因为B∈(0，)，所以B=4 4分 因为a=3,c=V2,所以b2=a2+c2-V2ac=9+2-6=5,则b=V5 b sinc=csin B 2 5 由正弦定理得sinC sin B,即 b 5 5 .7分 【小问2详解】由于 ws∠AC=ADC 5, sin∠ADC=V1-cos2LADC=； 所以 9分 由于 c引mc- 乙ADC2,所以T" 5,所以 sC=-sin2C25 则sin∠DAC=sin(r-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) npc-ocvow ae.mc 5=25 .11分 由于 c0s /DAC=-sin LDAC=15 25 an∠DAC=sin∠DAC、2 则 cos∠DACI1 13分 0=30+ 2” 16.(1)由题意证明如下，n∈N,在数列{a}中，a=l,nn+1n(n+) ∴.(n+1)ant1=3nan+2” 2分 即n+l)al+21=3(na,+2） .4分 a+2=3 以3为首项，3为公比的等比数列； =(2+ 【小问1详解】略. 【小问2详解】由题意及(1)得，n∈N,n0n+2”=3” .b,=nnan+2"）=n.3” 8分 又。=6+b,+6++b,得S.=1×3'+2×32+3×3++nx3” 3Sn=1×32+2×33+3x3+…+nx3+ y… 10分 两式作差， -25,=1×3'+32+32++3”-nx301_3-3 1-3-nx31=33 22nx31 13分 s.- 4 所以 + 15分 17.(1)方法一（坐标法）： 取AB的中点O,根据正三棱柱性质可得OB,OC互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，…2分 L9400F5号GR明3a24C2 4G=-(5,2A4=(0,02.4B=(20,-2), 元Ap=0, x+ y=0, 2 2 设平面4PC的法向量为元=(x,y,则有万4G=0,即x+3y+2x=0 令x=山，则y=5,x=1,则i=(-5, 因为4B-i=2x1+0x(-+(-2x1=0,又4Bc平面APC, 所以AB∥平面APC. 5分 方法二(（几何法)： 如图，连接4C交AC于点O,连接PO, A B L B 易知点O为4C的中点，又点P为BC的中点，故POIAB 而POc平面APC,AB￠平面APC, 所以AB∥平面APC. .5分 (2)因为AB∥平面APC,故点A到平面APC的距离即为点B到平面APC的距离，设为d, 因为AP⊥BC,BB1AP,BCNBB=B,BC,BBC平面BCCB. 枚APL平面BCCB,PCC平面BCCB,故AP1PC,7分 由愿意知AP=V5,BP=CP=l,所以PC=VPC+CC=V5 2 11分 由'aAG=VG-r可得39 _1.CC·SAM .d.Sarc3 d-25 ,代入解 5, 25 即点A到平面APC的距离为5.15分 18。【小问1详解】“f()在R上单调，存在唯一的实数k, 使得()=e+l,则f()-c=为定值对于任意的x∈R恒成立a2分 故f()=e+k,而f()=e+k=e+l， 取h()=e+k,在R上单调递增，且h)=e+1,则k=1, 故f(x)=e*+1 。……………….4分 【小间2详解】由(1)知，()=e+1,由f()>m2+x+2,得e+1>ar2+x+2, 则e-Q2-X-1>0对于x>0恒成立，6分 设h()=e-am-x-l,x>0,则h()=e-2a-l, 而h0)=0,h(0)=0,设u()=e-2c-l,x>0, 则4()=c-20,而(x)在(0，+o)上单调递增，且(0)=1-2a, @当2时，(y>u(0)=1-2a≥0 则4()=h()在(0，+o)上单调递增，则h()>h(0)=0 则h(y在(0，+o)上单调递增，此时有h()>h(0)=0成立，满足慰意。…9分 a> ②当 2时，u(0)=l-2a<0,由于()在(0，+o)上单调递增，且（血2a)=0, 故当x∈(0，lh20）时，u(0,u()=h()在(0，h2a)上单调递减，则()<h(O)=0, 故h()在(0，血2a上单调递减，则h(,h(0)=0, 故有当x∈(0，血2a)时，h()<0,不符合题意. 12分 综上所述，a的取值范围为 【小问3详解】方法一：由(2)知：当2时， e--x-1>0对x(0,+a这 2 e-l、1 x+1 则x之2对于x∈(0，+o)恒成立， 14分 p(x)=1.4 x2 设P(x)=nx+-22x∈(o,+o)，则 有*可*er2可0 数会Q国河运0小p0=-0,则右h(e+ x+2 (x+>2,x 1 变形得x t+2,即血(x+)下2x+1 ，则血(+)2+1<e- 1 即(e-h(x+>x,则(()-2)g(x+)>r .17分 in i(x)=e"-1 方法二：设 ，@o）.-w-f-》.- r? 设j()=(x-)e+1,x∈(0，o,则()=e>0,所以)在(0，+o)上单调递增， 故(x)>j(0)=0,即1()>0，则)在(0，+)上单调递增， … 14分 段4-be少-，a回.0e0.树Q网）e e-1、ehw-1x 故k()<k(o)=0,则有n(x+)x,则()>i(血(x+),即xh(x+n(c+ 即有x>0时，(e-血(x+)>r,即(f(x)-2)g(x+)>2 17分 19.(1)由余弦的和差角公式：cos(a+B)=cosacosp--sinasin B, cos(a-B)=cosacosB+sinasinB (②-①)÷2，得 in@sinA-[cos(@-/)-cos(a+)] 2分 由正弦的和差角公式：sin(a+B)=n+sin®， sin(a-B）=sina cosB-cosa sin B④， (③+④)÷2，得 in-in(a+)+sin( 4分 co 2π 4π 2+cos 4π 6π】 +cos 6元 7 7 7 coS +COS-+COS- 7 7 7 7 sin (2) 7 .6分 π。n4 7 7 cos- “707 +sincos6r co 7 57 sin 1 sin + sin 1 2sin > sin sin 7元 7 7=-1 2sin 7 …10分 （3)不存在，… 11分 理由如下：由sinV3+sin2W3+sin3V3++sinn3 (sin+si+sin3n)sin 2 2 13分 sinsinsin 。二sin2V3+siny3g sin3v3+...+sin sinn3 2 3 sin 2 m35 ,,。(2n-1)3 +…+cos -cos2m+l小N3 2 2 2 2 2 2 2sin V3 cos5-cos2n+1小5 1+1 2 cos v3 62<2 +1 2cos2 3 4 1 2sin V3 2 2sn34s咖 -cos- 4 2tan- 4 4,15分 安-mr,0号.w-1b0,两旧，0》ew 0, 增， V3、V5 故f()>0对于任意的 tan- x0,2恒成立，则有44 sin 3+sin 23+sin33+sinn123 2x3 3 则 4 故不存在正整数n使得 sin +sin 23+sin 32 3.17分 2026—2027学年第一学期高三调研测试 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 3．若函数（，）的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ） A． B． C． D． 4．在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 5．黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（ ）米 A．45 B．51 C．52 D．55 6．若曲线关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（ ） A．41 B．42 C．43 D．44 8．设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数的共轭复数为，若为虚数，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 10．函数（，）的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（ ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 11．若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（ ） A．已知，则 B．已知，，则存在实数使得 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的所有极值点之和为__________． 13．已知角的终边过点，则__________． 14．已知函数，写出的一个对称轴方程__________；当，则的最大值是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求的值； （2）在边上取一点，使得，求的值． 16．已知数列中，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）记，求数列的前项和． 17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 18．若定义在上的单调函数，满足对于任意的，都有． （1）求的解析式； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若，当时，试比较：与的大小． 19．（1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $