01-第03课时+等式性质与不等式性质课件-2027届高三数学一轮复习

等式性质与不等式性质 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 掌握等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性）及其推论； 2. 能用作差法比较两个代数式的大小，体会转化与化归思想； 3. 能运用不等式的基本性质判断与不等式有关的命题真假，进行代数式的大小比较与取值范围推断； 4. 通过"等"与"不等"的对立统一关系，提升逻辑推理与数学运算素养。 【教学重点】 不等式的基本性质及其应用；作差比较法比较大小。 【教学难点】 不等式性质中乘法运算的符号讨论（c>0、c=0、c<0）；含参数条件下代数式大小比较与取值范围的确定。 等式性质与不等式性质 · 复习教学目标、教学重点与教学难点 第03课时 等式性质与不等式性质 【内容要求】 1. 掌握等式的基本性质； 2. 掌握不等式的基本性质，能运用这些性质比较两个代数式的大小，并能解决相关的简单问题； 3. 通过对不等式性质的探究与运用，体会代数推理的严谨性，发展数学抽象与逻辑推理素养。 【素养指向】 逻辑推理、数学运算。 等式性质与不等式性质 · 新课标（2017 年版 2020 年修订）教学要求 第03课时 等式性质与不等式性质 【考频考点】 1. 不等式性质的综合运用（命题真假判断、代数式大小比较）：高频，多出现在选择、填空题，难度中低； 2. 由已知条件推断代数式的取值范围（如 a+b、ab、a²+b² 等）：中高频； 3. 作差法比较大小：基础高频，常与其他知识交汇； 4. 与函数单调性、基本不等式交汇的综合题：中频。 【备考建议】 1. 逐条熟记不等式性质的适用条件，尤其乘法运算中符号的影响，严防"同乘负数不变向"的错误； 2. 比较大小首选作差法，变形目标明确：因式分解、配方或通分，判断差的符号； 3. 由条件推取值范围时，注意"同向可加、异向可减（先转化为同向）"，防止范围扩大； 4. 命题真假判断可结合特殊值法快速排除，再对疑似项严格论证。 等式性质与不等式性质 · 近五年高考考情分析与备考建议 第03课时 等式性质与不等式性质 一、比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 或 或 微思考 比较两个实数的大小还有别的方法吗？ 答案 有.（1）构造函数法：构造函数，利用函数的单调性比较大小. （2）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论. 第03课时 等式性质与不等式性质 5 二、等式的性质 性质 内容 对称性 传递性 , ______ 可加（减）性 可乘性 可除性 , 第03课时 等式性质与不等式性质 6 三、不等式的性质 性质 内容 注意 对称性 ______; ______ 可逆 传递性 , ______； , ______ 同向 可加性 可逆 可乘性 , ________； , ________ 的符号 同向可加性 , _____________ 同向 第03课时 等式性质与不等式性质 7 性质 内容 注意 同向同正可乘性 , _________ 同向 同正 同正可乘方性 , 同正 同正可开方性 , , 同正 微判断（1）,两个实数之间，有且只有,, 三种关系中的一种.( ) √ 续表 第03课时 等式性质与不等式性质 8 （2）若，则 .( ) × （3）若，则 .( ) × （4）若，则 .( ) × 第03课时 等式性质与不等式性质 9 （1）倒数的性质 ，；， . （2）分数的性质 已知, . ①真分数的性质：, . ②假分数的性质：, . 第03课时 等式性质与不等式性质 10 关键考点·核心突破 11 比较两个数（式）的大小 例1（1）（RA必修一P43T3（4）改编）设,,则 与 的大小关系为_______. 解析 ,故 . （2）若,, ,则( ). B A. B. C. D. 解析 易知,,都是正数., ; ,.故 .故选B. 第03课时 等式性质与不等式性质 12 感悟提升 比较两个数（式）的大小的三种方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. （3）构造函数法：①观察式子；②构造函数；③利用单调性比较大小；④得出 结论. 第03课时 等式性质与不等式性质 13 1.已知实数,,，，则与 的大小关系是( ). C A. B. C. D. 解析 作差可得 ， 即，当且仅当 时，等号成立.故选C. 第03课时 等式性质与不等式性质 14 2.已知,且,,则, 的大小关系是( ). C A. B. C. D.随 而定 解析 易知,,因为, 所以 .故选C. 第03课时 等式性质与不等式性质 15 3.（一题多法）已知,，则与 的大小关系是________. 解析 （法一：作差法） ，所以 . （法二：构造函数法）令 ， 因为是 上的减函数， 所以，即 . 第03课时 等式性质与不等式性质 16 糖水不等式 深挖教材 在高中数学人教A版教材必修第一册第43页“综合运用”中有这样一个问 题：已知克糖水中含有克糖，再添加克糖 （假设全部溶 解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 该问题的解决方法被称为“糖水不等式”，总结如下： 糖水不等式：设，，则 . 其倒数形式为：设，，则 . 对数型糖水不等式：设，，则 . 其倒数形式为：设，，则 第03课时 等式性质与不等式性质 17 典例 （经典高考真题）已知，， ，则( ). A A. B. C. D. 解析 由可得，而与 无法直接比较大 小，需要将其指数进行转化. 利用糖水不等式可知，，即 ， 所以 ， 同理， ， 即 ， 所以 . 综上， .故选A. 第03课时 等式性质与不等式性质 18 不等式的基本性质 例2（1）下列说法正确的是( ). B A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 解析 对于A，当时， ，所以A错误； 对于B，若，则,所以 ，所以B正确； 对于C，若，则,所以 ，所以C错误； 对于D，若，则,所以 ，所以D错误. 故选B. 第03课时 等式性质与不等式性质 19 （2）（经典高考真题）已知,为非零实数，且 ，则下列不等式成立的是 ( ). C A. B. C. D. 解析 若,则，A不成立；若则 ，B不成立；因为 ,为非零实数，且,所以,即,C成立；若 ， ，则,，即 ,D不成立.故选C. 第03课时 等式性质与不等式性质 20 感悟提升 判断不等式成立的三种方法 （1）利用不等式的性质验证； （2）在选择题中，可利用特殊值排除选项； （3）当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用幂函数、指数函数、 对数函数的单调性进行判断. 第03课时 等式性质与不等式性质 21 1.若 ,则下列不等式一定成立的是( ). D A. B. C. D. 解析 ,即,故A错误;,即 ,故B 错误; ,符号不确定,故C错误; ,即 ,故D正确. 故选D. 第03课时 等式性质与不等式性质 22 2.（RB必修一P86C组T1改编,多选题）已知实数,,满足 ，且 ，则( ). ABC A. B. C. D. 解析 对于A，， ， ， 又，，，，由不等式的性质可知 ，A正确. 第03课时 等式性质与不等式性质 23 对于B，，，，， ， ， ，即 ，B正确. 对于C，， ， ，即 ，C正确. 对于D， ，D错误. 故选 . 第03课时 等式性质与不等式性质 24 不等式性质的综合应用 例3（1）（RA必修一P43T5改编）已知， ，则 ① 的取值范围是______; ② 的取值范围是______; ③ 的取值范围是_________; ④ 的取值范围是_________. 第03课时 等式性质与不等式性质 25 ③由,，得 ， 所以的取值范围是 . ④易知，而，则，所以的取值范围是 . 解析 ①由，，得，即 的 取值范围是 . ②由，，得，即 的取值范围 是 . 第03课时 等式性质与不等式性质 26 （2）（经典高考真题）已知，且，则 的取 值范围是______. 解析 设 ， 则解得即 . ,且，,且 ， ，即的取值范围是 . 第03课时 等式性质与不等式性质 27 感悟提升 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意事项 （1）必须严格运用不等式的基本性质. （2）在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的方法是 先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的 运算求出范围. 第03课时 等式性质与不等式性质 28 1.已知,,则 的取值范围是( ). D A. B. C. D. 解析 因为,,所以, ,所以 .故选D. 第03课时 等式性质与不等式性质 29 2.已知角 , 满足, ,则 的取值范围是_______ ____. 解析 设,则 , 解得 . 由得 , 又 , . 第03课时 等式性质与不等式性质 30 双重最值问题 典例 （2024·九省联考）以表示数集中最大的数.设 ，已 知或，则，， 的最小值为___. 第03课时 等式性质与不等式性质 31 解析 令，，，其中，， ， 所以 ①若，则，故 .令 ，，，，，因此 故 ，则，当 时，等号成立. ②若，则，即 .令 第03课时 等式性质与不等式性质 32 ，，，，，则 故 ，则，当 时，等号成立. 综上可知，，，的最小值为 . 第03课时 等式性质与不等式性质 多想少算 本题注重对思维品质的考查.由于目标函数变量较多，故采用换元法.令 则原命题等价于求，， 的最小值，从而变得简洁易懂.依据约 束条件，可将原命题分为两个子命题进行探究.以上思维过程凸显了新高考改革的命 题特点和趋势. 第03课时 等式性质与不等式性质 34 巩固训练 若,,均为正数，则,,, 的最大值为____. 解析 设,,,，则 ， 因为,,均为正数，所以 ， ① 由题意知 由，得，即 , 当且仅当，即,, 时,等号成立, 所以,,,的最大值为 . 第03课时 等式性质与不等式性质 35 THANKS 36 $