05-第08课时+函数的奇偶性、周期性课件-2027届高三数学一轮复习

函数的奇偶性、周期性 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 结合具体函数图象，理解函数奇偶性的概念，掌握奇偶函数图象的对称性； 2. 理解周期函数的概念，会求简单周期函数的周期； 3. 能综合运用单调性、奇偶性、周期性解决函数求值、解析式等问题。 二、教学重点 1. 函数奇偶性的判断与证明； 2. 奇偶性与单调性综合（利用对称性比较大小、解不等式）； 3. 周期性的判定与应用。 三、教学难点 1. 抽象函数奇偶性、周期性的综合运用（赋值法）； 2. 对称性与周期性关系式 f(a+x)=f(b-x)、f(x+T)=f(x) 的转化。 第08课时 函数的奇偶性、周期性 【新课标要求】 1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义； 2. 会判断简单函数的奇偶性，并能利用奇偶性研究函数的对称性； 3. 了解周期函数的概念，会求简单周期函数的周期； 4. 综合运用函数性质解决问题，发展直观想象与逻辑推理素养。 第08课时 函数的奇偶性、周期性 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】奇偶性、周期性近五年全国卷约每年考1题，多与单调性综合命制选择题，抽象函数综合是压轴小题的常客，分值约5分。 【高频考点】 1. 奇偶性的判断（先看定义域是否关于原点对称）； 2. 利用奇偶性求参数、求解析式或函数值； 3. 奇偶性+单调性比较大小（“脱f”问题）； 4. f(x+a)=-f(x) 型周期推导（T=2a）。 【备考建议】 1. 判断奇偶性先验证定义域对称；分段函数分段验证； 2. 熟记奇函数若在原点有定义则 f(0)=0； 3. 抽象函数问题善用赋值法（令 x=0、1、a 等）； 4. 遇对称与周期关系式，画草图辅助理解。 第08课时 函数的奇偶性、周期性 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果 ， 都有，且______________，那么函数 就 叫作偶函数 关于_____对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果 ， 都有，且_______________，那么函数 就叫作奇函数 关于______对称 轴 原点 微判断（1）不存在既是奇函数又是偶函数的函数.( ) × （2）若是奇函数，则 .( ) × 第08课时 函数的奇偶性、周期性 5 二、函数的周期性 1.周期函数：一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数 ，使得对 每一个都有，且________________，那么函数 就叫作周期函数， 非零常数 叫作这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个______的正数，那么这 个____________就叫作 的最小正周期. （1）若是函数的周期，那么也是函数 的周期. （2）对的定义域内任一自变量 ①若，则 ； ②若，则 . 最小 最小的正数 第08课时 函数的奇偶性、周期性 6 关键考点·核心突破 7 函数奇偶性的判断 例1（1）（RB必修一P115练习BT4改编，多选题）已知奇函数与偶函数 的 定义域、值域均为 ，则( ). BD A.是奇函数 B. 是奇函数 C.是偶函数 D. 是偶函数 解析 因为 且 ，所以 既不是奇函数 也不是偶函数，故A错误;因为，所以 是奇 函数，故B正确;因为，所以 是奇函 数，不是偶函数，故C错误;因为，所以 是偶函数，故D 正确.故选 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 8 （2）（2024·天津卷）下列函数是偶函数的是( ). B A. B. C. D. 解析 对于A，设，函数的定义域为，， ， 则 ，故A错误； 对于B，设，函数的定义域为 ，且 ，则 为偶函数，故B正确； 第08课时 函数的奇偶性、周期性 9 对于C，设，函数的定义域为，不关于原点对称，则 不是偶函数，故C错误； 对于D，设，函数的定义域为 ， 因为， ， 所以，则 不是偶函数，故D错误.故选B. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 10 感悟提升 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不 是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断 是否等 于或 . （2）图象法：奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点轴 对称. （3）性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数;奇函数的和、 差仍为奇函数;奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数;一个奇 函数与一个偶函数的积为奇函数.（注：利用上述结论时要注意各函数的定义域） 第08课时 函数的奇偶性、周期性 11 （北师大必修一P69T3改编）判断下列函数的奇偶性，并加以证明： （1） ; （2） ; （3）, ; （4）（一题多法） （5）, . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 12 解析 （1）函数的定义域为,关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个 都有,所以 为奇函数. （2）的定义域为, ,关于原点对称. 又, , 所以 既是奇函数又是偶函数. （3）因为,的定义域不关于原点对称,所以 是非奇 非偶函数. （4）（法一：定义法）当时,, , ; 当时,, , . 所以 为奇函数. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 13 （法二：图象法）作出函数 的大致图象,如图所示. 由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数 为奇函数. （5）的定义域为 ,关于原点对称. 因为 , 所以,所以 是偶函数. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 14 函数奇偶性的应用 考向1 利用奇偶性求值（解析式） 例2（1）（RA必修一P86T11改编）已知函数是定义域为的奇函数，当 时，,则 ____. 解析 因为是定义域为 的奇函数， 所以.又 ， 所以 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 15 （2）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当 时， 的解析式是( ). A A. B. C. D. 解析 因为当时，，设，则 ， 所以，又因为是定义在 上的奇函数， 所以当时, .故选A. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 16 考向2 利用奇偶性求解析式中的参数 例3（1）（北师大必修一P73B组T8改编）已知 是定义在 上的奇函数，则 __. 解析 由化简可得，且，解得 ，所以 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 17 （2）（经典高考真题，一题多法）若函数为偶函数,则 ( ). B A. B.0 C. D.1 第08课时 函数的奇偶性、周期性 18 解析 由,得或 . （法一）因为是偶函数,所以 , 则 , 即 , 则 ,所以,解得 .故选B. （法二）因为为偶函数,所以,即 ,解得 .故选B. （法三）令,则,所以 为奇函数. 若为偶函数,则为奇函数,故 .故选B. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 19 考向3 利用奇偶性解不等式 例4（1）已知定义在上的函数在上单调递增，且.若函数 为奇函数，则不等式的解集为___________________;若函数 为偶 函数，则不等式 的解集为________________. 解析 若是定义域为的奇函数，则 ， 又在上单调递增，且 ， 第08课时 函数的奇偶性、周期性 20 的大致图象如图所示. 由，可得 ， ， 当时，只需，由图象可知;当 时，只需 ，由图象可知 . 综上，不等式的解集为 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 21 若是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则在 上单调递 减，则，当时，，当或 时， ，若 ， 则或 当时，解得 ; 当时， 解得 . 综上，不等式的解集为 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 （2）（原创）若是定义在上的偶函数，且在区间 上单调递增,则满足 的的取值范围是_______ 解析 为偶函数, , ，即 . 又在区间 上单调递增, , 解得 ， 满足的的取值范围是 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 23 （3）若是定义在 上的奇函数，且在此区间上单调递增，则满足 的 的取值范围是_______. ， 解析 为奇函数， ， . 又在区间 上单调递增， 解得 ， 满足的的取值范围是， . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 24 感悟提升 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出 的 解析式或充分利用奇偶性构造关于的方程（组），从而得到 的 解析式 求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 解不等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致， 偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间上求 解，涉及偶函数时常用，将问题转化到在 上求解 求参数值 利用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等 式，由系数的对等性得出参数的值.对于在 处有定义的奇函数 ，可考虑列等式 求解 第08课时 函数的奇偶性、周期性 25 1.已知函数为偶函数,则 ( ). B A.3 B. C. D. 解析 由已知得,当时,,.因为 为偶函数,所以 ,即,所以, , 所以 . 故选B. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 26 2.已知函数，则 _______. 解析 考虑到为奇函数，令 ，所以 .因为为奇函数，所以 ，即 ， 所以 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 27 3.（经典高考真题，一题多法）已知函数是偶函数，则 ___. 解析 （法一：定义法）因为的定义域为 ，且是偶函数，所 以对任意恒成立，所以 对 任意恒成立，所以对任意恒成立，所以 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 28 （法二：取特殊值检验法）因为的定义域为 ，且是偶函数， 所以，所以，解得 ，经检验， 为偶函数，所以 . （法三：转化法）由题意知的定义域为 ，且是偶函数.设 ，，因为为奇函数，所以 为奇函数，所以，解得，经检验， 为偶函数，所以 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 29 4.已知定义在上的偶函数在 上的图象如图所示，则 不等式 的解集为___________________. 解析 根据偶函数的图象特征，可知当 时， ，当时， .由 ，得，等价于 或 解得或 ，所以不等式的解 集为 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 30 函数的对称性 思维进阶 1.若是偶函数，则函数图象的对称轴为直线 ;若 是奇函数，则函数图象的对称中心为 . 2.函数的图象关于直线 对称 ;函数 的 图象关于点对称 ，若函 数满足，则的图象关于点， 中心对称. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 31 3.函数的图象与函数的图象关于直线 对称;函数 的图象与函数的图象关于点， 中心对称. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 32 典例 （1）（高考改编）已知函数，是否存在实数， ，使 得曲线关于直线对称?若存在，求出， 的值;若不存在，请说明理由. （2）（2024·新高考Ⅰ卷节选,一题多法）已知函数 ， 证明：曲线 是中心对称图形. （3）已知函数与函数 ，证明：两函数的图象关于直线 对称. （4）已知函数与函数 .证明：两函数的图象关于点 中心对称. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 33 解析 （1）存在.假设存在实数，，使得曲线关于直线 对称.令 ，因为曲线关于直线 对称，所以 ，即 ，于是 解得当，时， ， ，所以曲线 第08课时 函数的奇偶性、周期性 34 关于直线对称，满足题意.故存在实数，，使得曲线 关于 直线对称，且， . （2）（法一）由，可得，所以，解得 ， 故的定义域是 .因为 ，所以曲线关于点 中心对称. （法二）因为 ，所以 第08课时 函数的奇偶性、周期性 .因为 是奇函数，其图象关于原点对称，所以曲线 关于点 中心对称，所以曲线关于点 中心对称. （3）设为 图象上任意一点，则 ，所以点在函数 的图象上. 而点与点关于直线对称，所以函数 与 的图象关于直线 对称. （4）设为 图象上任意一点，则 ，即 ，所以 点在函数的图象上.而点 与点 关于点中心对称，所以函数 与 的图象关于点 中心对称. 第08课时 函数的奇偶性、周期性 函数的周期性及其应用 例5（1）已知是定义在上的函数，且，当 时， ，则 ___. 2 解析 因为，则，所以函数 是周期为 4的周期函数， 则 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 37 （2）已知定义在上的函数满足，当 时， ，当时， ，则 _____. 339 解析 因为，所以函数 是周期为6的周期函数. 当时，，所以， ， ， ； 当时，，所以 ， . 故 ， 所以 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 38 1.已知定义在上的函数满足对任意，，且 ，则 ___. 解析 因为，又，所以 ，因为 ，所以 的周期为4，所以 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 39 2.若函数满足，且当时， ，则当 时， 的函数解析式是___________________. 解析 由函数满足可知 ，因 此函数的周期是2.设，则 ，因此 ，根据函数的周期是2可知 ，因此 . 第08课时 函数的奇偶性、周期性 40 THANKS 41 $