03 第04课时 基本不等式课件-2027届高三数学一轮复习

基本不等式 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 理解基本不等式 （a>0，b>0）的推导过程及其几何解释； 2. 掌握使用基本不等式求最值的"一正、二定、三相等"条件； 3. 能运用基本不等式求最值，熟练处理凑项、凑系数、换元等常见变形； 4. 能用基本不等式解决简单的实际最优化问题，提升数学建模与数学运算素养。 【教学重点】 基本不等式的成立条件；"积定和最小、和定积最大"两类最值问题。 【教学难点】 构造定值的凑项、凑系数技巧；等号成立条件的检验与含参最值的讨论。 基本不等式 · 复习教学目标、教学重点与教学难点 第04课时 基本不等式 【内容要求】 1. 结合具体实例，理解基本不等式 的证明过程； 2. 掌握基本不等式，并能运用它解决简单的最大（小）值问题； 3. 在应用过程中体会不等式与函数、方程之间的联系，发展逻辑推理与数学运算素养。 【素养指向】 逻辑推理、数学运算、数学建模。 基本不等式 · 新课标（2017 年版 2020 年修订）教学要求 第04课时 基本不等式 【考频考点】 1. 利用基本不等式求最值（直接型、凑项型、消参型）：高频，选择、填空题的必考热点； 2. 基本不等式与函数、数列、解析几何交汇求最值或范围：高频综合题； 3. "和定积最大、积定和最小"在实际问题中的应用：中频； 4. 含参数的最值及等号成立条件的讨论：中高频。 【备考建议】 1. 牢记"一正、二定、三相等"，每次使用必须验证等号能否取得； 2. 熟练掌握凑项、凑系数、拆项等构造定值的手段，明确配凑方向； 3. 等号取不到时，改用对勾函数的单调性或换元法求最值； 4. 综合题中注意与二次函数、导数等工具结合，灵活选择求最值的方法。 基本不等式 · 近五年高考考情分析与备考建议 第04课时 基本不等式 一、基本不等式： 1.基本不等式成立的条件：____________. 2.等号成立的条件：当且仅当______时，等号成立. 3.其中____叫作正数,的算术平均数，_____叫作正数, 的几何平均数. , 微思考 正数, 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？ 第04课时 基本不等式 5 答案 可借助平面图形中线段长度的关系直观表示.如图，为半圆的直径， 为半 圆上一点（异于,两点）,,,,则, . 由图易得，当且仅当 时，等号成立. 由此推广：若,,则 （基本不等式链），当且仅 当 时，等号成立. 第04课时 基本不等式 6 二、几个重要不等式 1. _____ . 2. ___,同号 . 3. _______ . 4. _______ . 以上不等式中等号成立的条件均为 . 2 第04课时 基本不等式 7 三、利用基本不等式求最值 已知， . 1.如果积等于定值，那么当且仅当时， 有最小值，最小值是_____. （简记为“积定和最小”） 2.如果和等于定值，那么当且仅当时， 有最大值，最大值是___. （简记为“和定积最大”） （1）利用基本不等式求最值应满足“一正、二定、三相等”. （2）在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使 用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 第04课时 基本不等式 8 关键考点·核心突破 9 利用基本不等式求最值 考向1 直接法 例1（1）（经典高考真题）下列函数中，最小值为4的是( ). C A. B. C. D. 第04课时 基本不等式 10 解析 对于A，，当且仅当 时取等号，所 以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以其 最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数的定义域为，而 ， ，当且仅当，即 时取等号，所以其 最小值为4，C符合题意；对于D，，函数的定义域为 ， 而且，如当时， ，D不符合题意.故选C. 第04课时 基本不等式 11 （2）已知，均为正实数，且满足，则 的最大值为___. 3 解析 由已知，得，解得当且仅当 ，即 ,时取等号，即 的最大值为3. 第04课时 基本不等式 12 感悟提升 利用基本不等式求最值的条件 必须满足的条件为“一正、二定、三相等”. （1）“一正”：各项必须为正数. （2）“二定”：要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的 最大值,必须把构成积的因式之和转化成定值. （3）“三相等”：在利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能 取等号,则这个定值就不是所求的最值. 第04课时 基本不等式 13 考向2 配凑法 例2（1）（RA必修一P48习题2.2T1（1）改编）若函数 在 处取得最小值,则 ( ). C A. B. C.3 D.4 解析 当时,, ,当且 仅当,即时取等号,故当取得最小值时,,即 .故 选C. 第04课时 基本不等式 14 （2）已知，均为正数，，则 的最大值为___. 2 解析 因为 ， 所以 ， 当且仅当，且，即， 时，等号成立. 第04课时 基本不等式 15 感悟提升 配凑法求最值的解题策略 （1）配凑法求最值：将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑 成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值. （2）对于或 的分式型代数式，需要先化简,再配凑,最后利用基本不等 式或对勾函数解决相应的最值问题. 注意：验证等号成立的条件. 第04课时 基本不等式 16 考向3 常数代换法 例3（1）（苏教必修一P75T15改编）已知正数,满足，则 的最大值为 ___, 的最小值为___. 1 2 解析 因为，且,均为正数，所以，当且仅当 时， 等号成立，所以 的最大值为1. ， 当且仅当,即时，等号成立.故 的最小值为2. 第04课时 基本不等式 17 （2）（高考改编）若正数，满足，则的最小值为___， 的 最小值为___. 5 解析 由已知可得，则，当且仅当，即 时， 等号成立，所以，即，即的最小值为 . 由，得 ， 当且仅当,即,时，等号成立，所以 的最小值为5. 第04课时 基本不等式 18 感悟提升 常数代换法求最值的步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）. （2）把确定的定值（常数）变形为1. （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和为定值或积为 定值的形式. （4）利用基本不等式求最值. 第04课时 基本不等式 19 考向4 消元法 例4 设,且,则 的最小值为( ). A A. B. C. D.6 解析 由题意得,,所以 ,所以 ,当且仅当 ,且,即 时,等号成立.故选A. 第04课时 基本不等式 20 感悟提升 利用消元法、换元法求最值 （1）消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式进行函数 最值的求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解. （2）换元法,在求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子适当变形,简化 式子,再利用基本不等式求解. 第04课时 基本不等式 21 1.（多选题）已知，， ，则( ). BCD A.的最大值为 B. 的最小值为9 C.的最小值为 D. 的最小值为6 第04课时 基本不等式 22 解析 对于A，，当且仅当 时取等号，故A错误； 对于B， ， 当且仅当即， 时取等号，故B正确； 对于C，，当且仅当 时取等号，故C正确； 对于D， ，当且仅当 即， 时取等号，故D正确. 故选 . 第04课时 基本不等式 23 2.（多选题）若实数，，且 ，则( ). BCD A. B. C. D. 解析 对于A，由，当且仅当 时,等号成立，不妨设 ，则，解得或，因为， ，所以 ，故A错误； 对于B，由，当且仅当时,等号成立，不妨设 ， 则，解得或，因为，所以，即 ，故B 正确； 对于C，由可得，则，且 ， 第04课时 基本不等式 24 则 ， 当且仅当，即，时取等号，所以 有最小 值，最小值为 ，故C正确； 对于D，由可得，即 ，且 ， ， 则，当且仅当 时，等号成立，由 解得即当且仅当，时， 有最小值，最小 值为 ，故D正确. 故选 . 第04课时 基本不等式 基本不等式链 思维进阶 若，，则，当且仅当 时，等 号成立，这是一个基本不等式链.其中，，，分别叫作正数， 的 平方平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数. 第04课时 基本不等式 26 典例（1）（多选题）若正实数,满足 ，则( ). ACD A.有最大值，最大值为 B. 有最小值，最小值为3 C.有最小值，最小值为 D.有最大值，最大值为 第04课时 基本不等式 27 解析 对于A，因为，当且仅当 时，等号成立，所以A正确； 对于B，由，可知 ，则由基本不等式得 ，即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以B错误； 对于C，因为，所以，当且仅当 时，等号 成立，所以C正确； 对于D，因为，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以D正确.故选 . 第04课时 基本不等式 28 （2）函数 的最大值为_____. 解析 函数的定义域为， ， 由，得 ， 则，当且仅当 ，即 时，等号成立. 第04课时 基本不等式 29 利用基本不等式求参数的值或范围 例5（1）（多选题）已知实数,满足,若 有解,则实数 的值可以为( ). AD A. B. C.4 D.5 解析 因为实数,满足,所以,由可得 , 则 ,当且仅当 时,等号成立, 所以,即,解得或.故选 . 第04课时 基本不等式 30 （2）若正实数,满足,且不等式恒成立,则实数 的取值范 围为_______ 解析 因为不等式 恒成立, 所以 . 因为,,且 ,所以 , 第04课时 基本不等式 31 当且仅当,即, 时,等号成立, 所以 , 所以 , 即,解得 . 故实数的取值范围为 . 第04课时 基本不等式 32 感悟提升 利用基本不等式求参数的值或范围 （1）当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条 件,然后利用常数代换法求最值. （2）求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等 式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围. 第04课时 基本不等式 33 1.若对任意,,,则实数 的最大值为( ). B A. B. C.4 D. 解析 因为对任意,,,所以 恒成立, 即 恒成立, 因为 , 当且仅当,即 时取等号, 所以,故实数的最大值为 . 故选B. 第04课时 基本不等式 34 2.已知正数,满足且有解,则实数 的取值范围为 _____________________ 解析 由已知得 ,则 ,当且仅当 ,即 , 时取等号. 由题意得,,即,解得或，所以 的取值范围为 . 第04课时 基本不等式 35 基本不等式的实际应用 例6 某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比， 对产品分两次提价，现在有三种提价方案. 方案甲：第一次提价，第二次提价 . 方案乙：第一次提价，第二次提价 . 方案丙：第一次提价，第二次提价 . 其中 ，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？ 第04课时 基本不等式 36 解析 不妨设提价前的价格为1. 方案甲：两次提价后的价格为 . 方案乙：两次提价后的价格为 . 方案丙： . 由基本不等式得，当且仅当时,等号成立,所以 . 因为，所以 . 故方案丙提价最多，方案甲、乙提价少，且提价一样. 第04课时 基本不等式 37 感悟提升 有关函数最值的实际问题的解题技巧 （1）根据实际问题建立函数的关系式,再利用基本不等式求得函数的最值. （2）设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. （3）在解应用题时,一定要注意变量的实际意义及取值范围. （4）在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解. 第04课时 基本不等式 38 （高考改编）设计如图所示的一幅矩形宣传画，要求画面（阴影）面积为 ， 画面上、下边要留空白，左、右边要留空白，当画面的高为____ 时，宣 传画所用纸张的面积最小，最小面积为______ . 第04课时 基本不等式 39 解析 设画面的高为，宽为 ， 依题意有，， , 则所需纸张面积 ，即 . ，， ， ，即 ， 当且仅当，即， 时,等号成立. 故当画面的高为，宽为时，所需纸张的面积最小，最小值为 . 第04课时 基本不等式 40 柯西不等式 深挖教材 在高中数学人教A版教材必修二册第37页“拓广探索”第16题“用向量方法 证明：对于任意的，，，，恒有不等式 ” 中的不等式“ ”叫作“柯西不等式”，总结如下： （1）柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则 ，当且仅 当 是零向量，或存在实数，使得 时，等号成立. （2）用平面向量的坐标（二维形式）表示上面的不等式，则得到二维的柯西不等式： 设，，，，则 ，当且仅当 时，等号成立. （3）推广到一般形式：设， ，则 ，当且仅当 ，或存在一个实数，使得 时，等号成立. 第04课时 基本不等式 41 典例（1）设，，且，则 的最小值为____. 13 解析 由柯西不等式得，所以 ，当且仅 当，即， 时取等号. （2）（高考改编）若实数，则 的最小值为_ __. 解析 由柯西不等式得 ， 即，当且仅当，， 时，等号成立. 第04课时 基本不等式 42 （3）函数 的最大值为____. 解析 因为 , 当且仅当,即时，等号成立,所以函数的最大值为 . 第04课时 基本不等式 43 权方和不等式 思维进阶 设，均为正数，实数，则 ， 当且仅当 时，等号成立，该不等式称为权方和不等式.其结构特征是 每个分式的分子、分母均为正数，且分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题 的关键.高考中二元变量的权方和不等式，一般用于求解“知和求和型”最值问题，有 时比“1”的代换更简便一些.其二阶形式为：已知，，， 均为正数，则有 ，当且仅当 时，等号成立. 第04课时 基本不等式 44 典例（1）若，，，则 的最小值为_________. 解析 由权方和不等式得 ，即 ， 因为，，所以，当且仅当 ， 即， 时取等号. （2）已知正数，，满足，则 的最小值为__. 解析 由权方和不等式得 ， 当且仅当，即 时取等号. 第04课时 基本不等式 45 THANKS 46 $