3.6 共点力作用下物体的平衡 专题复习课件 -2027届高考物理一轮复习 教科版

第三章 相互作用 1 6 共点力作用下物体的平衡 2 知识点1 共点力平衡的条件 题型1 重 点 要点1 解决静态平衡问题的常用方法 重 点 要点2 解决动态平衡问题的常用方法 难 点 要点3 空间力的平衡问题 重难点 要点4 平衡状态下的临界与极值问题 重难点 题型1 静态平衡问题 题型2 动态平衡问题 考点1 共点力平衡 考点2 平衡状态下的临界与极值问题 考点3 共点力作用下物体的动态平衡 知识绘 重难斩 题型诀 高考遇 巩固练 01 02 03 04 05 3 知识点1 共点力平衡的条件 题型1 重 点 1.平衡状态 物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态.例如，在光 滑水平面上匀速滑动的物块、沿斜面匀速下滑的木箱、天花板上静止的吊灯等，这些物体都处于平衡状态. 举 例1 理解1 1 共点力的平衡——静止的正在悬挂的衣物 4 1 两种平衡情形 （1）物体在共点力作用下处于静止状态. （2）物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态.常数， 划重点 对静止状态的理解 （1）“静止”要满足两个条件：且 ，缺一不可. （2）“保持”某状态“瞬时”某状态. 举例2 2 竖直上抛的物体运动到最高点时，瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛的物体在最高 点不能称为静止.即速度为零不等同于静止. 2.共点力作用下的平衡条件 在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0. 表达式：或（合和合分别是将力进行正交分解后，物体在 轴和 轴上所受的合力）. 6 3.共点力平衡的重要推论 （1）二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，则这两个力必定等大反向，作用在一条直线上. （2）三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合 力一定与第三个力等大反向. 拓展1 1 拉密定理 如图所示，在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中每个力与其他两个力夹角正弦值的比值均相等， 即 . （3）多力平衡：如果物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中一个力与其余的力的合力必定等大反 向，或其中几个力的合力与其余的力的合力必定等大反向. 7 4.共点力平衡条件的应用 有时物体不处于平衡状态，但它可能在某一方向上处于平衡状态.如在光滑水平面上加速运动的物体，在水 平方向上受力不平衡，但它在竖直方向上只受重力和支持力这一对平衡力作用，因此它在竖直方向上处于平衡 状态. 注意1 1 三力汇交原理 当物体受到同平面内不平行的三力作用而平衡时，三力的作用线必汇交于一点. （1）如果物体在共点力作用下处于平衡状态，则物体所受合力为零，即物体在任一方向上所受的合力都为零. （2）如果物体只是在某一方向上处于平衡状态，则在该方向上所受合力为零，可以在该方向上应用平衡条 件对问题进行分析. 8 5.求解共点力平衡问题的一般步骤 （1）明确研究对象：研究对象可以是质点、结点、单个物体，也可以是多个物体组成的系统.对于 由多个物体组成的系统，要将整体法和隔离法结合起来使用. ①整体法：将加速度相同的几个物体看作一个整体来分析的方法.研究时不需要再考虑系统内物体 间的相互作用力. 说明1 1 含有定滑轮的系统，若、 的加速度大小相等，也可将其看作一个整体. 9 （2）分析受力情况 ①假设法：假设研究对象的某个力存在或不存在，根据研究对象的运动状态是否改变来判断该力是否存在. ②相互作用判断法：利用力的作用的相互性，从一个物体是否受到某个力的作用来判断另一个物体是否受 到对应的反作用力. ③条件判断法：根据是否满足该力的产生条件来判断该力是否存在. 注意2、3 2 弹力和摩擦力为接触力，应逐个接触面（或点）去分析. 3 分析受力时要明确力的作用点，若物体能视为质点，则各力作用于同一点；若物体不能视为质点， 则各力不一定作用于同一点，如图所示. ②隔离法：将研究对象与周围其他物体分隔开进行单独分析的方法.一般隔离分析受力较少 的物体. 10 （3）画受力示意图：边分析边在研究对象上按照“一重力二弹力三摩擦力四其他力”的顺序逐一画出所受各 力的示意图，准确标出力的方向及各力的符号. 通常只画出根据性质命名的力，不把按效果分解或合成的力画进去. （4）列式：通过平衡条件，找出各个力之间的关系，根据平衡条件列方程，即合，合 . （5）求解：联立方程得出结果，必要时对结果进行讨论. 总结1 1 解题方法 一般先对整体和被隔离物体分别进行受力分析，然后对整体和被隔离物体分别应用平衡条件列方程 求解，也可根据实际情况选择结点为研究对象.如图所示，该系统处于平衡状态，已知和 ，求解 时应对结点 进行分析. 11 要点1 解决静态平衡问题的常用方法 重 点 1.单个物体的静态平衡问题 （1）合成法 如图甲所示，若物体受三个力作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向 相反．一般采用力的合成法，将<m></m>、<m></m>合成，如图乙所示；或采用力的分解法，如图丙所示．然后在同一个三 角形里解三角形即可. 甲 乙 丙 12 （2）正交分解法 若物体受到三个以上的力，一般采用正交分解法.如分析一静止物体受力步骤如下. ①如图所示，选取研究对象，建立直角坐标系，以少分解力和容易分解力为原则，尽量不分解未知力. ②将坐标轴之外的力分解成沿<m></m>轴方向和沿<m></m>轴方向的两个分力. ③列出<m></m>轴和<m></m>轴方向上的方程并求解. 13 （3）闭合矢量三角形法 三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形.把三个共点力转化为 三角形的三条边，然后通过解这一三角形求解平衡问题.如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角 形等规律求解. 14 例1 [四川绵阳2025高三上期中] 如图所示，光滑的球静止在斜面和挡板之间，已知斜面倾角为 ，球的质量是，求球对挡板和斜面的压力取， 取 ， 取 . 【答案】，方向水平向左; ，方向垂直于斜面向下 甲 【解析】解法一：合成法 取小球为研究对象进行受力分析，如图甲所示，根据平衡条件以及力的合成与分解可得 ，，代入数据解得， ，小球对挡板的压力大小为 ，方向水平向左；小球对斜面的压力大小为 ，方向垂直于斜面向 下. 15 乙 解法二：正交分解法 对小球受力分析，如图乙所示，由于与 相互垂直，借助已有的垂直关系建立直角坐标系， 将分解为 , ，根据小球处于平衡状态有, ，代入数 据解得,.小球对挡板的压力 ,方向水平向左，小球对斜面的压力 ，方向垂直于斜面向下. 解法三：闭合矢量三角形法 对小球受力分析，如图丙所示，小球处于平衡状态，故三个力能构成封闭矢量三角形（如图丁），故 ，.小球对挡板的压力 ,方向水平向左，小球对斜面的压力 ，方向垂直于斜面向下. 丙 丁 16 2.多个物体的静态平衡问题 若系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，要灵活选用整体法和隔离法. （1）整体法：将几个物体作为一个整体来分析的方法，研究系统外的物体对系统整体的作用力时，优先考 虑整体法，利用整体法时，不再考虑系统内物体之间的相互作用. （2）隔离法：将研究对象从系统中分隔出来单独研究的方法，研究系统内物体之间的作用力时，优先考虑 此方法，一般隔离受力较少的物体来分析. 17 例2 [湖南长沙长郡中学2025高三上月考] 如图所示，用三根相同细线、、将重力为 的 灯笼1和重力为的灯笼2悬挂起来.两灯笼静止时，细线与竖直方向的夹角为 ，细线 水平.则( ) A A.中的拉力大小为 B.中的拉力大小为 C.中的拉力大小大于中的拉力大小 D.中的拉力大小为 18 审题指导 、在两个灯笼系统外，求解其上的拉力时选用整体法较简单， 在两个灯笼系统内，求解其上的拉力时选用 隔离法较简单. 【解析】将两灯笼看作一个整体，对整体受力分析，如图所示，根据平衡条件可得 ，，解得, ，故A正确，B错误；对灯笼2隔离 分析，利用平衡条件可得 ，故C、D错误. 19 要点2 解决动态平衡问题的常用方法 难 点 1.解析法 （1）适用条件：对于一根绳挂着光滑滑轮，三个力中有两个力是绳的拉力（由于是同一根绳的拉力，两个 拉力大小相等），另一个力大小、方向不变的问题，应用解析法. （2）具体方法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度为未知数，利用三力平衡得到拉力 的解析式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系.当受力动态变化时，抓 住绳长不变这一点，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系. 20 例3 如图所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过质量不计的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂一 重物，其重力，绳长， . （1）求绳中张力的大小. 【答案】 甲 【解析】（思路：作图→设角度 作辅助线构建三角形 利用三角函数求得 或 求）取点为研究对象，受到三段绳的拉力如图甲所示，分别为、、，延长 交竖直墙 壁于点，由于绳子、属于同一根绳子，所以，由几何关系可知，长度等于 长度，则.设为 ，根据共点力的平衡条件有 ，在 中， ，联立并代入数据解得 . 21 （2）当点位置固定， 点缓慢左移时，绳中张力如何变化？ 【答案】变大 【解析】当点位置固定，点缓慢左移时，变为图乙中虚线，可知，， 减小， 变大. 乙 22 （3）当点位置固定， 点缓慢下移时，绳中张力又如何变化？ 【答案】不变 【解析】当点位置固定，点缓慢下移时，变为图丙中虚线，可知、不变， 不变，故 不变. 丙 23 2.三角形图解法 （1）适用条件：物体所受的三个力中，有一个力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其他力）， 另一个力的方向不变、大小变化，第三个力大小、方向均发生变化的问题，应用三角形图解法. （2）具体方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力首尾相连构成闭合三角形.然后将方向不变的力 的矢量延长，物体所受的三个力中有两个力变化而又形成闭合三角形，只不过三角形的形状发生改变，比较这 些不同形状的矢量三角形，各力的变化就会一目了然. 24 例4 如图所示，把重力为的物体通过细绳、拴在半圆支架上，开始时， 与竖直方向的夹角为 ，与垂直，已知， ，则下列说法正确的是( ) D A.此时细绳的拉力为 B.此时细绳的拉力为 C.保持不动，沿圆弧缓慢下移点，细绳 拉力变小 D.保持不动，沿圆弧缓慢上移点，细绳 拉力变大 25 【解析】对结点进行受力分析，如图甲所示，由于物体处于平衡状态，故有 ， ，故A、B错误；保持不动，沿圆弧缓慢下移点（定位：的大小方向不变， 方 向不变、大小变，方向大小均变化，应用三角形图解法），与竖直方向的夹角逐渐增大，而 的方向保持 不变，如图乙所示，根据三角形定则可知，由于开始时和垂直，故随点的下移，逐渐增大， 也逐渐 增大，故C错误；保持不动，沿圆弧缓慢上移点，与竖直方向的夹角逐渐减小，而 的方向保持不变， 如图丙所示，根据三角形定则可知，细绳拉力逐渐变小，细绳 拉力逐渐增大，故D正确. 甲 乙 丙 26 3.辅助圆法和拉密定理法 （1）适用条件：物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方 向都在改变，但动态平衡时这两个力的夹角不变.这种类型的问题可以采用辅助圆法和拉密定 ②拉密定理法：如图所示，在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中每个力与其他两个力夹角正 弦值的比值均相等，即 ，根据角度的变化，确定两个变力的大小变化情况. 理法. （2）具体方法 ①辅助圆法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力首尾相连构成闭合三角形.以不变的力为 弦作三角形外接圆，在辅助圆中可画出另外两个夹角不变的力的矢量三角形，从而判断各力的变化情况. 【注意】若动态平衡时一个力大小、方向不变，一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变， 则应以大小不变、方向改变的力为半径作圆（并非以不变的力为弦作圆），再判断各力的变化情况. 27 例5 （多选）如图所示，物体用轻绳悬挂，开始时绳 水平，现将两绳同时顺时针转过 ，且保持两绳之间的夹角 不变 ，物体始终保持静止状态，在旋转过程中，设绳 的拉力为，绳的拉力为 ，则( ) BCD A.先减小后增大 B.先增大后减小 C.逐渐减小 D. 最终变为零 28 【解析】解法一：辅助圆法 取轻绳结点为研究对象，受到三根绳的拉力，如图甲所示，分别为、、 ，将三力连接成矢量三角形 （如图乙所示的实线三角形），需满足力大小、方向不变，不变（因为角 不变），由于 为 直角，则三力的几何关系可以从以 边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图乙中虚线三角形所示，由此可 知，先增大后减小，始终减小，且转过 时， 刚好为零，故A错误，B、C、D正确. 甲 乙 29 解法二：拉密定理法 受力分析如图甲，则，旋转过程中和 均不变，从 逐渐增大到 ， 逐渐减小到0，所以逐渐减小到0，故C、D正确；从大于 先减小到 后继续减 小，先增大再减小，所以 先增大后减小，故A错误，B正确. 30 4.相似三角形法 （1）适用条件：物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其他两个力的方向均发生变化，且三个力 中没有哪两个力保持垂直关系，但有力的矢量三角形与几何三角形相似的关系，应用相似三角形法. （2）具体方法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力首尾相连构成闭合三角形，再寻找与 力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角 形边长的变化问题进行讨论. 31 例6 [四川成都石室中学2025高三上期中] 如图所示，质量分别为和的两个小球、 都套在一 个竖直大圆环上，大圆环固定在地面上，长为的不可伸长轻绳的两端分别拴在小球、 上，然后将 轻绳绕过小定滑轮，位于大圆环圆心 的正上方.所有摩擦都不计，当它们都静止时，大圆环对 、的作用力大小之比为.关于绳长与 的值，正确的是( ) A A. B. C. D. 32 【解析】 同一根轻绳上拉力大小处处相等，对、分别进行受力分析如图所示，设大圆环半径为 ，根据相似三角形有 ，，解得，故A正确，B错误；根据题意有 ，结合上述可 以解得 ，故C、D错误. 33 要点3 空间力的平衡问题 重难点 空间力是指物体所受的力不在同一平面内，物体空间力平衡时，在任一平面内、任一直线上受力都是平衡 的.解决此类问题的关键是受力分析和找准正交平面. 1.对称法 当研究对象所受的力具有对称性时，可利用物体的受力具有对称性的特点，如某些力大小相等、方向相反， 把复杂的运算（或图形）转化为简单的运算（或图形）来处理. 34 例7 [湖南邵阳邵东一中2025高三上月考] （多选）某同学在家帮妈妈洗完衣服后，将其挂在如图 所示的晾衣架上晾晒，、为竖直墙壁上等高的两点，、为长度相等的两根轻绳， 为一 根轻杆.转轴在中点的正下方，在同一水平面上. ， ，衣服质 量为，重力加速度为 .则下列说法正确的是( ) AD A.杆所受的压力大小为 B.杆所受的压力大小为 C.绳所受的拉力大小为 D.绳所受的拉力大小为 35 【解析】以点为研究对象，点受到衣服的拉力、杆的支持力和绳、的拉力，设绳和绳 拉 力的合力为，作出点的受力示意图如图甲所示，根据平衡条件得， 杆所受的压力大小 为，故A正确，B错误；由图甲分析可知，将沿、 方向分解，如图乙所示， 设绳和绳所受拉力分别为、，且，则 ，解得 ，故C错误，D正确. 甲 乙 36 2.转化法 分析同一平面内的共点力平衡问题时，可以将力分解到两个正交的方向上，因为物体所受合外力为零，那 么物体在两个正交方向的合外力也为零.以此类推，对于不在同一个平面内的共点力，如果物体处于平衡状态， 也可以将共点的空间力分解到两个正交的平面上内，且每个平面内的合外力为零. 37 例8 [四川广元2025高三上期中] （多选）如图所示为一倾角为 的固定斜面， 为长方形， 为与的交点，等于 .一个质量为的小物块在恒力 （大小未知）的作用下刚好 能在斜面上沿匀速运动，在平面内且方向与之间的夹角为 ，已知重力加速度的 大小为 ，下列描述正确的是( ) AD A.小物块受到的摩擦力大小为 B.小物块与斜面之间的动摩擦因数为 C.拉力沿斜面垂直边向上的分量大小为 D.若小物块与斜面之间的动摩擦因数增大，使小物块仍能沿匀速运动，则应变大，并且其方向与 的夹角 应减小 38 【解析】在平面内，小物块受力平衡，受力分析如图所示，则 ， ， 又 ，联立解得， ，故A正确，B错误；拉力沿斜面垂直 边向上的分 量大小为，故C错误；若小物块与斜面之间的动摩擦因数增大，则增大，由图可知 应 该增大，并且与 的夹角应该减小，故D正确. 39 要点4 平衡状态下的临界与极值问题 重难点 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出 现”，在问题的描述中常用“刚好” “恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类： （1）由静止到刚好运动，摩擦力达到最大静摩擦力. （2）绳子恰好绷紧，拉力 . （3）刚好离开接触面，支持力 . 40 2.极值问题 平衡状态下的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题. 3.解题方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在 变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小. 41 例9 [江苏南通如东高级中学2025高三上联考] 如图所示，物体的质量为，两根轻细绳和 的一端 固定于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平方向也成 角的拉力 ，若要使两绳都能伸直，求拉力的大小范围取 . 【答案】 【解析】设绳的拉力为，绳的拉力为 ，对物体进行受力分析，由平衡条件有 ，，联立可得， .若要使两绳 都能伸直（定位：关键字眼定位到临界条件），则有，，则的最大值， 的最小值，即拉力的大小范围为 . 42 （2）数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图 像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）. 例10 （多选）如图所示，倾角 、高为的粗糙斜面体固定在水平地面上，弹簧的一端固定在 边 上距点高处的点，可视为质点的小物块与弹簧另一端相连，并静止于斜面体底端的点，此时小物块 恰 好不接触地面且与斜面间的摩擦力为零.已知小物块与斜面间的动摩擦因数，小物块 所受的最大静摩擦 力等于滑动摩擦力，重力加速度为 ，下列说法正确的是( ) ABC A.小物块静止于点 时弹簧一定处于伸长状态 B.小物块静止于点 时所受的弹力与其重力大小相等 C.若另外给小物块 再施加一拉力，使之沿斜面向上运动，支持力与滑动摩擦力的合力方向是水平的 D.若另外给小物块再施加一拉力，使之沿斜面向上运动，则拉力的最小值为 43 【解析】小物块静止于斜面底端的点，此时小物块 恰好不接触地面且与斜面间的摩擦力为零， 则有弹簧弹力沿斜面的分力与重力沿斜面的分力相等，则小物块静止于点 时弹簧一定处于伸长 状态，A正确；根据几何关系可得弹簧的长度 ，所以弹簧与斜面的夹角 为 ，重力与斜面的夹角也为 ，由平衡条件有 ，则小物块 静止于 ，整理可得（利用数学三角函数的辅助角公式） ，拉力的最小值 ，D错误. 点 时所受的弹力与其重力大小相等，B正确；设支持力与滑动摩擦力的合力方向与斜面的夹角为 ，则有，解得 ，所以支持力与滑动摩擦力的合力方向是水平的， C正确；若另外给小物块再施加一拉力，使之沿斜面向上运动，设拉力的方向与斜面的夹角成 ，如图所示， 沿斜面方向有 44 （3）物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则 进行动态分析，确定最大值与最小值. 45 例11 [四川南充高级中学2025高三上月考] （多选）如图所示，倾角为 、质量的斜面体 置于粗糙 水平地面上，小物块放在粗糙斜面上，质量为，连接 的轻绳与斜面平行，轻绳跨过光滑轻质定滑轮 与质量为的物块相连.开始时静止在滑轮正下方，现对施加一个拉力使缓慢移动，与连接 的轻绳段的夹角始终保持 ，直至轻绳水平.此过程中、始终保持静止状态.取 ，则 ( ) ACD A.开始时，所受摩擦力大小为 B.水平时，轻绳拉力大小为 C.水平时，地面对的支持力大小为 D.缓慢移动过程中，轻绳拉力的最大值为 46 【解析】开始时，对受力分析可知， 在重力、拉力、支持力和摩擦力的作用下处于静止状态，拉力大小为 ，假设所受摩擦力方向沿斜面向上，则其大小为，联立解得 ，故A正确； 水平时，物块的受力如图甲所示，有 ，解得，故B错误；水平时，以 作为整体，其受力分析如图乙所示，有，，解得 ， 故C正确；物块在重力、拉力和轻绳张力 作用下始终处于平衡状态，所以三个力的合力等于零，根据三角 形定则，这三个力通过平行移动可以构成一个闭合的矢量三角形，如图丙所示，在中， 对应重力， 对应拉力，对应细绳张力，拉力与轻绳张力之间的夹角保持不变，当移动到 点时对应轻绳张 力最大，有 ，故D正确. 47 甲 乙 丙 基础应用 题型1 静态平衡问题 例1 明代宋应星在《天工开物》一书中描述了测量弓力的方法，如图所示，假设弓 满时，弓弦弯曲的夹角为 ，秤钩与弦之间的摩擦不计，弓弦的拉力即弓力，满弓 时秤钩的拉力大小为 ，弓力大小等于( ) A A. B. C. D. 【解析】设弦的拉力（弓力）为，受力分析如图所示，则，可得 ，故选A. 49 1-1.如图所示，质量为的均匀直木杆静置在水平面与倾角为 的光滑斜面之间，已知斜面对木杆的支持力大 小为，重力加速度为，、 ，下列说法正确的是( ) A A.木杆处于四力平衡状态 B.水平面可能是光滑的 C.水平面对木杆的支持力大小为 D.水平面对木杆的摩擦力大小为 【解析】根据题意，对木杆受力分析，受重力、斜面的支持力和水平面的支持力，由 于斜面光滑，木杆和斜面间没有摩擦力，由平衡条件可知，水平面一定给木杆水平向 右的摩擦力，如图所示，可知木杆处于四力平衡状态，且水平面不可能是光滑的，故 A正确，B错误；由平衡条件有， ，解得 ，故C、D错误. 50 高分进阶 题型2 动态平衡问题 例2 [重庆名校联盟2025期中] （多选）木板放置在粗糙水平地面上， 为光滑铰链，如图所示.轻 弹簧一端与铰链固定连接，另一端系一质量为的小球.现将轻绳一端拴在小球 上，另一端通过 光滑的定滑轮由力牵引，定滑轮位于 的正上方（大小忽略不计），整个系统处于静止状态.现 改变力的大小使小球和轻弹簧从图示位置缓慢运动到 正下方，且弹簧的长度始终不变，木板始 终保持静止，则在整个过程中( ) ABD A.外力 逐渐减小 B.弹簧弹力大小始终不变 C.地面对木板的支持力逐渐减小 D.地面对木板的摩擦力逐渐减小 51 【解析】对小球进行受力分析，如图甲所示，三力构成矢量三角形，根据几何关系可知其与 相似，因 此，缓慢运动过程越来越小，则 逐渐减小，故A正确；由于弹簧的形变量保持不变，弹簧弹 力大小始终不变，故B正确；对木板受力分析，如图乙所示由于弹簧对木板的弹力大小不变，方向向右下，但 弹簧的弹力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小， 故C错误，D正确. 甲 乙 52 2-1.如图所示，光滑半圆形凹槽底部有一小球，现对小球施加一向右上方的作用力 ，将小 球缓慢地移出凹槽，已知移动小球过程中，作用力与竖直方向夹角始终为 ，则小球在 被移出凹槽的过程中，下列说法正确的是( ) C A.作用力先变大后变小 B.作用力 一直变小 C.作用力与重力的合力先变小后变大 D.作用力 与支持力的合力一直变大 【解析】小球在被移出凹槽的过程中受力平衡，支持力与 的合力与重力等大反向， 重力与的合力与支持力等大反向，根据题意，重力与作用力 的夹角不变，根据平 行四边形定则作受力示意图如图所示，由图可知作用力 一直在增大，支持力先减小 后增大，当支持力与作用力垂直时最小，所以作用力与重力的合力先变小后变大，作用力 与支持力的合力 大小等于重力，大小不变，方向一直竖直向上，故A、B、D错误，C正确. 53 2-2.（多选）如图所示，小球置于固定在水平面上的光滑半圆柱体上，小球 用水平轻弹簧拉着系于竖直板上， 两小球、通过光滑小滑轮用轻质细线相连，两球均处于静止状态，已知球质量为，重力加速度为 点 在半圆柱体圆心的正上方，与竖直方向成 角，长度与半圆柱体半径相等，与竖直方向成 角， 则下列叙述正确的是( ) ACD A.小球质量为 B.光滑半圆柱体对小球支持力的大小为 C.剪断细线的瞬间，小球受到的合力为 D.若小球缓慢下降，使小球一直沿着半圆柱体缓慢向上运动，则小球 受到细线的拉 力变小 54 【解析】如图所示，对进行受力分析，根据共点力平衡得，水平方向有 ，竖直方向有 ，则，弹簧弹力为，根据定滑轮的特性知与大小相等，对 进行受 力分析，由几何关系可知拉力和支持力与水平方向的夹角相等，夹角为 ，则和 大小相等，有 ，解得， ，故B错误，A正确；由于弹簧弹力不会突变，对小球 受力分析可知，剪断细线的瞬间受到的合力为 ，故C正确；根据相似三角形可得 ，若小球缓慢下降，使小球一直沿着半圆柱体缓慢向上运动，由于不断减小，可知小球 受到细线的拉力变小，故D正确. 55 考点1 共点力平衡 例1 [重庆2025·1] 现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量 为的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳端和端系住钢管，轻绳中点 通过缆绳与 无人机连接.、与竖直方向的夹角均为 ，钢管水平.则 的弹力大小为 （重力加速度为 ）( ) B A. B. C. D. 【解析】以钢管为研究对象，设轻绳中的拉力为 ，根据对称性可知两边绳子拉力大小相等，根据平衡条件可 得 ，解得 ，B正确. 56 例2 [河北2024·5] 如图，弹簧测力计下端挂有一质量为 的光滑均匀球体，球体静止于 带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为 ，挡板与斜面夹角为 .若弹簧测力计位于竖直方 向，读数为，取 ，挡板对球体支持力的大小为( ) A A. B. C. D. 57 【解析】对球体受力分析如图所示，正交分解列方程, 轴方向： ,轴方向： ，联立方程解 得 ，A正确. 例3 [山东2024·2] 如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡.若它可以在倾角不大于 的 斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能 小于( ) B A. B. C. D. 【解析】对机器人受力分析如图所示，由平衡条件得， ，解得 ， 故机器人的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 ，B正确. 59 考点2 平衡状态下的临界与极值问题 例4 [河北2025·4] 如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高.该截面内，一根不可伸长的 细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力 . 小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为.若小球始终位于内壁最低点，则 的最大值为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图所示为小球受力分析图，其中 （点拨：绳上拉力处处相等），内壁截面为半 圆形，由几何关系得 ，则，当时， 有最大值，为 ，B正确. 60 考点3 共点力作用下物体的动态平衡 例5 [河北2022·7] 如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的 点，将木板 以底边 为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木 板之间的摩擦,在转动过程中( ) B A.圆柱体对木板的压力逐渐增大 B.圆柱体对木板的压力先增大后减小 C.两根细绳上的拉力均先增大后减小 D.两根细绳对圆柱体的拉力不变 61 【解析】设木板与水平方向的夹角为 ，两绳所在平面与木板间的夹角为 ，圆柱体的质量为 ，对圆柱体进 行受力分析，将两绳对圆柱体的合力记为，与每根绳上的拉力 的关系如图所示. 【易错分析】本题若忽略圆柱体的大小，易分析成圆柱体对木板的压力 , 减小则 增大， 错选A. 62 A组 学业基础 1.[知识点1] [江苏徐州2025高三上期中] 如图，上网课时小明把手机放在斜面上，手机处于静止状态.则斜面对 手机的( ) C A.支持力竖直向上 B.支持力大于手机所受的重力 C.摩擦力沿斜面向上 D.摩擦力大于手机重力沿斜面向下的分力 【解析】设手机的质量为，斜面与水平面夹角为 ,对手机进行受力分析，如图所示，由图 结合共点力平衡的特点可知，支持力方向垂直斜面向上，大小小于手机所受的重力大小，A、 B错误；由图可知，手机受到的摩擦力方向沿斜面向上，根据平衡条件则有 ，摩 擦力大小等于手机重力沿斜面向下的分力，C正确，D错误. 63 2.[知识点1] 如图所示，弹簧测力计、绳和滑轮的重力不计，摩擦力不计，物体所受重力都是 .在甲、乙、丙三 种情况下，弹簧测力计的读数分别是、、 ，则( ) D 甲 乙 丙 A. B. C. D. 【解析】甲图中弹簧测力计的示数等于物体的重力大小，即 ，乙图中弹簧测力计的示数等于物体重力沿 圆弧切线方向的分力，即 ，丙图中的动滑轮左右两侧绳上的拉力大小等于弹簧测力计的示 数，两拉力夹角为 ，拉力的合力等于物体的重力大小，由平行四边形定则可知 ，综上所述可得 ，故选D. 64 3.[知识点1，要点2] 半圆柱体放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板.在半圆柱体 和 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图.现使 保持 竖直并且缓慢地向右平移，在滑落到地面之前， 始终保持静止.在此过程中，下列说法正确的是( ) B A.对的弹力逐渐减小 B.地面对 的摩擦力逐渐增大 C.、间的弹力先减小后增大 D. 所受的合力逐渐增大 【解析】先对受力分析，如图所示，受到重力、对的支持力和对的弹力 ,根 据受力平衡可得， ， 保持竖直并且缓慢地向右平移的过程中，夹 角 在增大，所以增大，增大，故A、C错误；将和 看成一个整体进行受力分析，受到 重力、地面的支持力、挡板提供的弹力以及地面的摩擦力，由于整体受力平衡，故摩擦力和 等大反 向，增大，则地面对的摩擦力逐渐增大，故B正确；由于整个过程是缓慢进行的，所以 始终受力平衡，则 所受的合力始终为零，故D错误. 65 4.[要点2] [四川成都石室中学2025高三上期中] 如图所示为一竖直放置的正方形支架，在其水平边 两端 系着一根不可伸长的轻绳，绳上穿有一光滑小铁环.关于绳中拉力的大小，下列说法正确的是( ) C A.只将绳的右端缓慢向左移动时，绳中拉力变大 B.只将绳的左端缓慢向下移动时，绳中拉力变大 C.支架绕 点在竖直平面内做逆时针小角度转动时，绳中拉力变小 D.绳子剪短一小段并重新悬挂在 两点后，绳中拉力变小 【解析】只将右端缓慢向左移动，两悬点之间的水平距离减小，绳与竖直方向的夹角变小，绳中的拉力变小， 故A错误；只将绳的左端缓慢向下移动时，两悬点之间的水平距离不变，绳中的拉力大小不变，故B错误；支架 绕 点在竖直平面内做逆时针小角度转动时，两悬点水平距离变小，绳与竖直方向的夹角变小，绳中拉力变小， 故C正确；绳子剪短一小段并重新悬挂在、 两点后，由于绳长变短，则绳子与竖直方向夹角变大，绳中拉力 变大，故D错误. 66 5.[要点2] 如图所示，光滑的三角形框架竖直固定在墙上，夹角 为 ，两个相同的金属小环、 分别 套在、上，、两环用长为的轻绳连接，初始时环在水平外力控制下静止，、 状态如图， ，、足够长，现使 环缓慢向左移动，则下列说法错误的是( ) D A. 环受到的支持力一直增大 B.绳拉力一直增大 C.环受到框架的弹力先减小后增大 D.环移动的距离可能为 67 【解析】对单独进行受力分析，可知受到重力、绳的拉力及框架的弹力作用， 的重力不变，框架的弹 力方向始终垂直于，如图甲、乙所示，在环缓慢向左移动的过程中，绳的拉力 方向由指向右上慢慢变为 指向左上，根据几何关系可知，的大小一直在增大,同理可知，环受到框架的弹力 先逐渐减小到0，再反向 增大，故B、C正确;当垂直于时，,而结合受力分析可知环此时无法受力平衡，则 环移 动的距离不能超过，故D错误;对进行受力分析，如图丙所示，与等大反向，为 环受到的支持力，由 受力平衡得大小等于环重力与在竖直方向的分力之和，由图乙可知在竖直方向的分力一直变大，故 在 竖直方向的分力一直变大，则 一直增大，故A正确. 甲 乙 丙 68 6.[要点1] [广东广州华侨中学2025高三上月考] （多选）如图所示，质量为的物块 静置 于粗糙水平台面上，质量为、半径为的半球体静置于粗糙水平地面上，质量为 的光滑 小球（可视为质点）放在半球体上，为三根轻绳、、 的结点.系统在图示位置处 AB A.对的压力大小为 B.绳长为 C.与绳上的拉力大小相等 D.受到的摩擦力大于 受到的摩擦力 【解析】对小球进行受力分析，如图所示.由于力的三角形与 相似，对应的边长 成比例，可知，解得，，对的压力大小为 ，故A、 B正确；对结点进行受力分析可知，绳上拉力的水平分力等于 绳上的拉力大小， 可知，故C错误；将、、及、绳作为整体，进行受力分析可知， 受到 的摩擦力与 受到的摩擦力大小相等，方向相反，故D错误. 于静止状态，点位于球心正上方距离其球心高处，竖直，水平，已知绳对 的拉力大小为 ，重力加速度大小为 ，则下列说法正确的是( ) 69 B组 应考能力 7.[要点1] 质量为的小球用细线悬挂在竖直的墙壁上，细线与墙壁的夹角为 .如图甲所示，当小球受到 的拉力与细线的夹角为 时，小球正好静止不动.如图乙所示，当小球受到的拉力与细线的夹角为 时，小球正好静止不动.已知重力加速度为 ，下列说法正确的是( ) A 甲 乙 A.两种情况下，细线的拉力之比为 B.两种情况下，细线 的拉力相同 C.两种情况下，细线 的拉力和小球重力的合力的大小相同 D.与的比值为 70 【解析】对两种情况下的小球分别进行受力分析，如图所示. 根据力的平衡条件，图甲中有 ，，可得 ，图乙 中有， ，则细线的拉力， .由以上分析可知，两种情况下， 细线的拉力之比为，故A正确，B错误；根据三力平衡的特点可知，细线 的拉力和小球重力的合力与拉 力的大小相等、方向相反，所以两种情况下，细线 的拉力和小球重力的合力的大小不相同，故C错误；由 以上分析可知，与的比值为 ，故D错误. 71 8.[要点1] [山东济宁一中2025月考] 如图所示，小圆环（未画出）吊着一个质量为 的物块并套 在另一个竖直放置的大圆环上 点处，有一细线一端拴在小圆环上，另一端跨过固定在大圆环最 高点的一个小滑轮后吊着一个质量为 的物块.如果小圆环、滑轮、绳子的大小和质量以及相互 之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长，若平衡时弦所对应的圆心角为 ，则两物块 的质量比 应为( ) C A. B. C. D. 【解析】根据相似三角形有，其中，，解得 ，故选C. 72 9.[要点2] [四川成都部分学校2025高三上月考] （多选）如图所示，物块、 在水平面叠放，一根轻绳连接小 球后挂在物块上，现用外力把小球拉至图示位置，此时绳的方向与拉力方向夹角为 ，向上转动拉力 使 小球缓慢上升，保持 不变并使绳随之转至水平，该过程、 保持静止.则( ) ABD A.轻绳拉力逐渐减小 B.拉力 一直增大 C.物块 受到向左的摩擦力 D.地面的支持力逐渐减小 【解析】以小球为研究对象，受到重力、拉力和轻绳拉力 ，如图所示.根据正弦定理可得 ，缓慢提升小球并保持拉力与轻绳的夹角始终不变，则 将逐渐减少到 ， 将大于 且越来越大，所以一直增大，一直减小，故A、B正确；物块 一直处于平衡状态， 不受摩擦力的作用，故C错误；对物块 受力分析，轻绳拉力逐渐减小，轻绳与竖直方向夹角逐渐增大，则轻绳 竖直方向的分力逐渐减小，所以地面的支持力逐渐减小，故D正确. 73 10.[要点2] 如图所示，轻绳的一端与质量为的物块A连接，另一端跨过光滑定滑轮与轻绳拴接于 点.与水 平方向成 角的力作用在点，质量为的物块B恰好与地面间没有作用力.已知 ，定滑轮右侧的轻绳 与竖直方向的夹角也为 ，重力加速度为.当从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动 的过程中，结点 、 物块A的位置始终保持不变，则下列说法正确的是( ) C A. B.的最小值为 C.地面对物块B的支持力变大 D.地面对物块B的摩擦力先变大后变小 74 【解析】对结点受力分析如图甲所示，初始时刻有，，其中 ， ，解得，，故A错误；将结点 受到的三个力首尾相连构成闭合三角形，如图乙所 示，可知的最小值为，故B错误；从题图中所示的状态顺时针转动 的过程中， 轻绳的拉力变小，故地面对物块的支持力变大，结点位置不变，物块只受竖直方向的力，地面对物块 的摩擦力始终为零，故C正确，D错误. 甲 乙 75 11.[要点2] 如图所示，在竖直平面内，一根不可伸长的轻质软绳两端打结系于“”形杆上的A、B两点， 边竖 直，到A的距离等于 到B的距离；软绳绕过光滑的滑轮，一重物悬挂于滑轮下，开始时整个系统处于静止状 态且 .若在纸面内绕点顺时针方向缓慢转动“”形杆，直到 边竖直，绳结没有在杆上滑动，则A处绳 与杆间的摩擦力 ( ) B A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 76 【解析】设滑轮两侧软绳与竖直方向的夹角为 ，对滑轮受力分析，如图甲所示，软绳的张力为 ；以 点为研究对象，受力分析如图乙所示，设与竖直方向的夹角为 ，根据平衡条件可知 ，“”形杆在纸面内绕 点顺时针方向缓 慢转动时，软绳与竖直方向的夹角 先变大后变小，与竖直方向的夹角 一直增大，所以 减小， 增大；当软绳与竖直方向的夹角 变大时， 增大，由 可知，摩擦力减小， 当软绳与竖直方向的夹角 变小时， 增大，因为一直在增大且小于 ，所以 减小， 由 可知，摩擦力一直在减小，故B正确，A、C、D错误. 甲 乙 77 12.[要点3、4] 如图所示，四个质量均为 的完全相同的球两两挨着叠成一个正四面体，静置在水平地面上，若 不考虑转动情况，球之间的摩擦力也忽略不计，要求四个球能保持正四面体形状而不散开，重力加速度为 ，最 大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）地面对与地面接触的球的支持力大小； 【答案】 【解析】以四个球组成的整体为研究对象，由二力平衡得，地面对整体的支持力 ，因球2、3、4的受 力状态完全相同，故地面对与地面接触球的支持力的大小相等，故 ，故地面对与地面接触的球的 支持力大小均为 . 78 （2）球与地面间的动摩擦因数的最小值. 【答案】 【解析】画出由各球心连线组成的四面体，如图（a）所示，并找到底面的中心和球3、4的切点 ，令 ，由几何关系得， ，以球1为研究对象，受力分析如图（b）所示，由几何关 系得，且关于空间对称，由平衡条件知 ，以球2为研究对象、以球1的圆 心、球2的圆心和切点 所在的平面进行受力分析，如图（c）所示，由平衡条件得，水平方向静摩擦力 ，由于，联立解得，则球与地面间的动摩擦因数的最小值为 . 图（a） 图（b） 图（c） 79 $