新疆和田地区策勒县第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

期中考试试卷 双向细目表 考查范围：空间向量与立体几何、平面解析几何、平面向量 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 空间向量的加减运算 2 容易 求空间向量的数量积 3 容易 用空间基底表示向量,空间向量的加减运算,空间向量加减运算的几何表示 4 容易 空间向量垂直的坐标表示 5 容易 空间向量平行的坐标表示 6 容易 空间位置关系的向量证明,平面法向量的概念及辨析,空间向量垂直的坐标表示 7 容易 直线的点斜式方程及辨析,直线的倾斜角 8 适中 已知两点求斜率,斜率公式的应用,直线与线段的相交关系求斜率范围 二、多选题 9 容易 空间向量的有关概念,零向量与单位向量,相等向量,空间向量基底概念及辨析,判定空间向量共面 10 容易 空间位置关系的向量证明,空间向量平行的坐标表示,空间向量垂直的坐标表示 11 容易 直线的斜截式方程及辨析,直线两点式方程及辨析,直线截距式方程及辨析,直线的一般式方程及辨析 三、填空题 12 容易 空间向量的坐标运算 13 容易 已知两点求斜率,直线的倾斜角 14 容易 点到直线距离的向量求法,直线方向向量的概念及辨析（空间中） 四、解答题 15 容易 空间向量数量积的应用,用空间基底表示向量,空间向量的加减运算 16 容易 空间向量的坐标运算,空间向量平行的坐标表示,空间向量垂直的坐标表示 17 容易 空间位置关系的向量证明,点到平面距离的向量求法 18 容易 直线的点斜式方程及辨析,直线的斜截式方程及辨析,直线两点式方程及辨析,直线的一般式方程及辨析 19 适中 证明线面平行,面面角的向量求法 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学期中考试参考答案 题号 2 3 4 5 8 9 10 答案 A A B D D C C B BD ABD 题号 11 答案 AB 1.A 【详解】AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD 2.A 【详解】d,b=1×0+1×2+0×1=2,故选项A正确. 3.B 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求得结果。 【详解】易知08=0B+8服=0B+8照=6-4C列+M=-列+c-a-6+c 故选：B 4.D 【详解】因为à16，所以a-i=0,即2x(4)+(-)x2+3x=3x-10=0,解得x=10 5.D 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解。 【详解】因为4/1儿2， 所以a/16, 245 可得x) 15 所以x=6,y= 2 故选：D 6.C 【分析】根据线面垂直的性质可得i//n,进而求得x,y,即得x+y, 【详解】因为l⊥a,所以i/n, 又i=（x,2,-1),n=（-2,y,2), 即x=2=1 -2y2 解得：x=1y=-4, 所以x+y=1+(-4)=-3, 答案第1页（共7页） 故选：C 7.C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出， V5 【详解】直线的斜率为k=tan二 63 又直线过点42,3)，y-3= 3(x-2),即y=5 (6x-2)+3. 故选：C 8.B 【分析】画出图形，数形结合得到k≥k之kM,求出kP,kM,得到答案 【详解】如图所示：由题意得，所求直线1的斜率k满足k≥k≥kM, 即k≥2+31 s将-子所以s房 3 -3-251 5 P(1,1) X 4--- B(-3.-2) A(2.-3) 故选：B. 9.BD 【分析】本题考查空间向量的基础概念，结合直线方向向量、相等向量、空间向量基底、空间向量共面的 定义逐一判断各选项即可 【详解】选项A:直线的方向向量定义为与直线平行的非零向量，零向量不能作为直线的方向向量，A错 误： 选项B:相等向量的定义就是方向相同且模相等的向量，与向量起点位置无关，B正确； 选项C:空间中只有三个不共面的向量才能构成空间的一个基底，共面的三个向量无法作为基底，C错误： 选项D:任意两个空间向量都可以通过平移使起点重合，两个共起点的向量可确定唯一平面，因此可转化 为同一平面内的向量，非零向量也满足该性质，D正确 10.ABD 答案第2页（共7页） 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断. 【详解】对于A,由l/1a,得n⊥v,则-2+ac-1=0,即ac=3,A正确； [21=-2 λ=-1 对于B,由1⊥B,得n1w,则3孔∈R,n,=w,即c2=2,解得b=1,因此b-c=3,B正确： -1=b c=-2 对于C,由a⊥B,得n⊥n,,则2+2a+b=0,C错误； 1 -1=-24 μ-2 对于D,由a/1B,得n/1n,则u∈R，h=n,,即，a=2μ，解得a=1,D正确 1=b b=2 故选：ABD 11.AB 【详解】对于A,所有直线都可以用方程Ax+By+C=0表示，A正确： 对于B,过点乃(m,3),B(m,7)(m≠m)的直线的两点式方程为-3--m(m≠m), 7-3n-m 即y,3_-m(m≠川），B正确： 4 n-m 对于C,直线x=0经过点A,但不可以用方程y=kc+6表示，C错误； 对于D,在两坐标轴上的截距均为0的直线不能用方程+Y=1表示，D错误 aa 12.(1,4,6 【分析】利用空间向量坐标运算求解即可。 【详解】由点A(1,2,2),B(1,3,4),得AB=(0,1,2),则AP=2AB=(0,2,4), 所以点P的坐标是(1,4,6) 故答案为：(1,4,6 13.745 【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】设该直线的倾斜角为a,易知a∈[O,π)， 4-（-3)7 由题意知kw=1-（6)7 =l,即tana=l: 可得a-子 放答案为：子 答案第3页（共7页） 14.V13 0P.0_1+0+0=1, 【详解】取直线1上的原点0，则向量0P=(0,23)在方向向量=(，0,0)上的投影为间=1 则点P到直线1的距离为√OP2-12=√1+4+9-=3 15.(1) BD=AD-AB,AC=AB+AD+AA (2)V29 【分析】(1)由空间向量的线性运算求解： (2)利用空间向量的数量积证明： (3)利用数量积求长度： 【详解】(I)在△ABD中，根据空间向量的减法运算可得BD=AD-AB, ACi=AC+CCi=AB+AD+AA: (2)由(1)AC=AB+AD+AA, 所以AC2=AB2+AD+A4+2AB2AD+2AB244+2AB24A 1 =4+4+9+0+2×2x3x+2×2x3x=29, 2 所以AC=V29,即AC'的长为√29 16.(1)-2 (2)k=1,t=2 【分析】(1)根据空间向量的坐标运算法则及垂直时的坐标关系进行运算即可： (2)根据空间向量的坐标运算法则及平行时的坐标关系进行运算即可： 【详解】(1)因为a=(0,l,-2),b=(1,0,1),c=(2,k,0),所以a+b=(1,l,-1), 因为(a+b)1c,所以(a+列c=2+k=0,解得k=-2。 (2)因为a=(0,1,-2),b=(1,0,1),c=(2,k,0),所以a+tb=(t,1,t-2), [t=22 [k=1 因为(a+b)Mc,设a+b=c,则1=k元，解得1=2 t-2=0 2=1 17.(1) 证明：以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB,为z轴建立如图所示的坐标系. 答案第4页（共7页） Z B D 由正方体ABCD-A,BCD的棱长为2知 B D A(2,0,0),B(0,0,0),D(2,2,0),C(0,2,2), 则AC=（-2,2,2),BD=(2,2,0) 因为AC·BD=（-2)×2+2×2+2×0=0,所以AC⊥BD,所以AC⊥BD: 225 3 【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量坐标，通过计算数量积为0，从而可证； (2)求得BA=(2,0,0)和平面CBD的法向量，利用点面距离的向量公式即可求解. 【详解】(1)略 (2)BC=(0,2,2),BD=(2,2,0), 2b+2c=0 设平面CBD的法向量为n=(ab,c小，因为i1BC,方1BD,所以2a+2b=0, 令b=1,则a=-1,c=-1,所以i=（-1,l,-1), 设点A到平面CBD的距离为d,BA=(2,0,0), n-BA2_23 则d= 方V1+1+13 18.(1)V3x-3y-8V3-6=0 (2)x+2=0 (3)4x+y-7=0 (4)2x+y-6=0 【分析】(1)由点斜式方程求解即可： (2)根据与x轴垂直的直线方程特点求解即可： (3)由斜截式方程求解即可： (4)由两点式方程求解即可. 答案第5页（共7页） 】1)由点斜式，得y+2=3 化成一般式，得√3x-3y-8V3-6=0 (2)直线方程为x=-2,即x+2=0. (3)由斜截式，得y=-4x+7, 化成一般式为4x+y-7=0. 由时点或每-骨 化成一般式为2x+y-6=0. 19.(1)证明：连接AC交BD于点O, 因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点， 又因为E是PC的中点，所以PA/1OE, 因为PAd平面EDB,OEC平面EDB,所以PA/I平面EDB. e时 1 38 【分析】(1)连接AC交BD于点O,证得PA/1OE,利用线面平行的判定定理，即可证得PA/平面EDB; (2)以D为原点，建立空间直角坐标系，先证得PB⊥平面DEF,求得平面DEF和平面EDB的法向量 PB=1,1,-1)和n=(1,-1,),结合向量的夹角公式，即可求解： (3)由(1)知：PB⊥平面DEF,得到BF为三棱锥B-DEF的高，结合Vr-DB=VB-Dr,结合锥体的体 积公式，即可求解 【详解】(1)略 (2)解：以D为原点，以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 11 如图所示，D0,00,BL,0,C0,10,E0,22.P0,0D 可得PB=l-,DE=0)所以PB:DE=0,所以PB1DE,即PB⊥DE 又因为EF⊥PB,且DEOEF=E,DE,EFC平面DEF,所以PB⊥平面DEF, 所以平面DEF的一个法向量为PB=(L,L,-I), 又由DB=010,DE=0,22 11、 n.DB=x+y=0 设平面DEB的法向量为n=(x,y,z),则 1 1 m.DE=2y+22=0 2 答案第6页（共7页） 取x=1,则y=-l,z=1,即n=(1,-l,), nPB 设平面FDE与平面EDB的夹角为0，则cosO=cosi,PB= 11 PB V5x53' 所以平面FDE与平面EDB的夹角的余弦值} 2小 P E C y B 答案第7页（共7页）2026-2027学年第一学期高二期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每个小题5分共40分) 1.在四面体ABCD中，AB-CB+CD=() A.AD B.DA C.AC D.BD 2.已知向量a=(1,1,0),b=(0,2,1),则a.6等于() A.2 B.1 C.-1 D.0 3.在三棱柱ABC-ABC中，AB=G,AC=b,AA=c,BC的中点为O,则OB=() A.-a+6+e B.Ia-Ir -a--b+c 2 2 22 D.j 2 4.已知a=(2,-1,3),b=（-4,2,x),且a⊥6，则x=() 10 A.-6 B.6 C._10 D. 3 5.已知a=(2,4,5),b=（3,xy)分别是直线4,2的方向向量.若111儿2，则() A.x=6,y=15 B.=y月 C.x=3,y=15 D.x=6-号 6.已知直线1的方向向量为u=(x,2,-1),平面a的法向量为n=（-2,y,2),若1⊥a,则x+y=() A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 7.过点A(2,3)且倾斜角为严的直线方程为() A.y=V3(x-2)+3 B.y=V3(x+2)+3 D.y= 3(x+2)+3 8.已知A(2,-3),B(-3,-2),P(1,I),直线1过点B,且与线段AP相交，则直线1的斜率k的取值范围是 () A.k≤-4或k≥3 3 4 C.k<-3或k≥4 3 D.k≤-二或k≥ 4 5 4 二、多选题（每个小题6分共18分） 9.下列结论正确的是() A.零向量是任意直线的方向向量 B.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C.空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D.任意两个非零空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 10.己知平面C,B的一个法向量分别为n=(-1,a,1),n2=(-2,2,b),直线1的一个方向向量为v=(2,c,-1), 则() A.若l11a,则ac=3 B.若1⊥B,则b-c=3 C.若a1B,则2a-b=-2 D.若C/1B,则b=2a=2 11.下列结论正确的是() A.所有直线都可以用方程Ax+By+C=0表示 B.过点(m,3)。B(u,7m≠m)的直线的两点式方程为'一3-二m(m≠) 4 n-m C.所有过点A(0,6)的直线都可以用方程y=a+6表示 D.在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程+Y=1表示 aa 三、填空题（每个小题5分共15分） 12.已知点A(1,2,2),B(1,3,4),若AP=2AB,则点P的坐标是 13.过M(-6,-3),N(1,4)两点的直线的倾斜角为 14.已知点P(1,2,3),直线1过原点0且方向向量为v=(1,0,0),则点P到直线1的距离为一 四、解答题 15.(13分)如图，在平行六面体ABCD-AB'CD'中，AB=AD=2,AA=3,∠BAD=90°， ∠BAA'=∠DAA'=60° D' D A B (I)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD、AC: (2)求AC'的长. 16.(15分)已知向量a=(0,1,-2),b=(1,0,1),c=(2,k,0) (I)若a+1c,求k的值： (2)若(a+b)lc,求k、t的值. 17.(15分)已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2 B D A B A D (1)证明：AC⊥BD; (2)求点A到平面CBD的距离. 18.(17分)根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： ()斜率是 3 ,经过点A(8,-2): (2)经过点B(-2,0),且与x轴垂直： (3)斜率为-4，在y轴上的截距为7； (4经过点C(-1,8),D(4,-2) 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是 PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. B (I)求证：PA/1平面EDB: (2)求平面FDE与平面EDB的夹角的余弦值；2026-2027学年第一学期高二期中考试 数学答题卡 姓名 班级 考号 考场座号 注意事项： 准考证号 1.答题前请将个人信息 填写清楚；2.客观题答 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] 题修改时用橡皮擦干 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 净；3主观题必须使用 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 黑色签字笔书写；4请 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 在对应答题区作答，超 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] 出书写无效。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂■ [7] [7] [7] [7] [71 [7] [7] [7] [7] [7] [81 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] 缺考标记口 [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题（共58分） 1.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 4.[A][B][c][D] 9.[A][B][C][D] 5.[A][B][c][D] 10.[A][B][C][D] 填空题(3*5=15) 12. 13. 14 解答题（共5题，共77分） 15.(13分) 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 第1页共6页 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 16.(15分) 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 第2页共6页 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 17.(15分) D 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 第3页共6页 ■ 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 18.(17分) 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 第4页共6页 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 19.(17分) 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 第5页共6页 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 请在答题区域内作答，超出答题区域答案无效 第6页共6页 ■