精品解析：吉林长春市第二实验中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

长春市第二实验中学初三年级数学学科期中质量检测 一．单选题（每题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 某共享单车公司2024年3月投放共享单车8万辆，5月投放量达到12.5万辆．设4、5两个月投放量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 若实数x，y满足，则_________． 10. 若，是一元二次方程的两根，则的值为___________． 11. 已知，则_________． 12. 如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°．     13. 如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 14. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号） ①；②；③；④当时，． 三．解答题（共78分） 15. 计算： 16. 解方程：． 17. 将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字不同的概率． 18. 随着人工智能的迅速发展，某AI企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元．若每年保持相同的增长率，求该企业这两年缴税的年平均增长率． 19. 图①，图②．图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的上找一点，连结，使； （2）在图②中的上找一点，连结，使； （3）在图③中的上找一点，连结，使． 20. 某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 21. 如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 22. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 23. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动．设运动时间为t秒()． （1）用含t的式子表示线段，的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； （3）是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的六分之一？若存在，求出t的值． 24. 如图，在中，，是边上的高，，动点P从点B出发沿折线向点C运动（点P不与的顶点重合），点P在上的速度是每秒，点P在上的速度是每秒，过点P作的垂线交于点Q，以为腰作等腰直角三角形，，且点R、线段在的同侧，设点P运动的时间为t（秒）． （1）求的长； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （4）连接，当与的边或垂直时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第二实验中学初三年级数学学科期中质量检测 一．单选题（每题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，运算错误． B选项，，运算错误． C选项，，运算错误． D选项，，运算正确． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不符合题意； C、未说明，不一定是二次方程，不符合题意； D、含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 3. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 4. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标为． 5. 某共享单车公司2024年3月投放共享单车8万辆，5月投放量达到12.5万辆．设4、5两个月投放量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确3月到5月共经历2次月增长，结合初始投放量与5月投放量列方程. 【详解】解：∵3月投放量为8万辆，4、5月投放量的月平均增长率为x， ∴4月投放量为万辆， ∴5月投放量为万辆， ∵5月投放量达到12.5万辆， ∴可列方程为． 6. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，不符合题意； D、∵，夹角和不一定相等， ∴不能证明，符合题意． 7. 某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以大量重复试验的频率估计概率，可先计算不达标频率，再推导达标概率． 【详解】解：∵共完成次检测，其中次检测到的元件耐压不达标， ∴不达标检测的频率为， ∴可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率为． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点G，确定位似中心，然后求出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∴点G为它们的位似中心，坐标为． 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 若实数x，y满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】和都是非负数，根据非负数的性质求出，的值，再代入计算所求式子即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 解得，． 将，代入，得 ． 10. 若，是一元二次方程的两根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 其中，，，， ，， ， ． 11. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分得到含已知的式子，代入计算即可； 【详解】解：， ． 12. 如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°．     【答案】18 【解析】 【分析】先求解，结合直角三角形斜边上的中线可得，进一步可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 13. 如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 14. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有________（填序号） ①；②；③；④当时，． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下，，函数有最大值；与y轴交于正半轴，；二次函数图象具有对称性，对称轴为；逐个分析判断即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，取最大值， 当时，， ，故③正确； 1到的距离为2，到的距离为2，根据二次函数图象的对称性可知，时，， 当时，，故④错误． 三．解答题（共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 17. 将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字不同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意先画出树状图，得出一共有6种等可能结果，其中摸出的两个球上数字不同的有4种，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图 一共有6种等可能结果，其中摸出的两个球上数字不同的有4种， 所以摸出的两个球上数字不同的概率 18. 随着人工智能的迅速发展，某AI企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元．若每年保持相同的增长率，求该企业这两年缴税的年平均增长率． 【答案】 该企业这两年缴税的年平均增长率为 【解析】 【分析】设年平均增长率为x，根据2023年与2025年的缴税额，利用二次增长的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该企业这两年缴税的年平均增长率为x， 根据题意，得 解得 ， ∵ 年平均增长率为正数 ∴不符合题意，舍去 答：该企业这两年缴税的年平均增长率为． 19. 图①，图②．图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的上找一点，连结，使； （2）在图②中的上找一点，连结，使； （3）在图③中的上找一点，连结，使． 【答案】（1）如图： （2）如图： （3）如图： 【解析】 【分析】（1）取格点，连接交于点，可得到，则； （2）取格点，连接交于点，可得到，则； （3）由勾股定理得，由，得，则，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测．如图，在河岸两边分别标记，两点，使得与河岸垂直，且点，与台底在同一条直线上，已知台高米，，，求河宽（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽为32.6米． 【解析】 【分析】由锐角的正切定义求出和的长，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴（米）． ∵， ∴（米）． ∴（米）． 答：河宽为32.6米． 21. 如图，已知，、分别是、边上的中点，于点，点在的延长线上，，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：D、分别是、边上的中点， 是的中位线， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 根据中位线的性质证得，结合，证得四边形是平行四边形，根据，从而得出结论； 在中，证得、，进而证得和，过点作于点，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 在中，， 、 点是的中点， 过点作于点 在中，， 在中，， 由勾股定理得，． 22. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． 23. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动．设运动时间为t秒()． （1）用含t的式子表示线段，的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； （3）是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的六分之一？若存在，求出t的值． 【答案】（1）， （2），最大值为9 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）表示出，再根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意可得，求解即可； 【小问1详解】 解：由运动速度可得． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴当时S最大，最大值为9． 【小问3详解】 解：矩形面积为， 当，即时， 解得或． 又， 故(时点Q已到达点C，舍去)． 24. 如图，在中，，是边上的高，，动点P从点B出发沿折线向点C运动（点P不与的顶点重合），点P在上的速度是每秒，点P在上的速度是每秒，过点P作的垂线交于点Q，以为腰作等腰直角三角形，，且点R、线段在的同侧，设点P运动的时间为t（秒）． （1）求的长； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）在运动过程中，当与重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （4）连接，当与的边或垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）当与的边或垂直时，的值为或或． 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可； （2）分两种情况：当时，点P在上，证明，得到，据此求解即可；当时，点P在上，证明，得到，据此求解即可； （3）分两种临界情况：当点在上且点在上时，当点在上且点在线段上时，画出对应的示意图，求出对应的t的值即可得到答案； （4）分三种情况：当点在上且点在上时，， 当点在上且时， 当点在上且点在线段上时，分别画出示意图讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ． ． ． 【小问2详解】 解：当时，点P在上， 由题意，得， ，， ， ∴， ， ， ； 当时，点P在上，如图①所示， 由题意，得， ， ， ∴ ， ， ． 综上，的长为或． 【小问3详解】 当点在上且点在上时，如图②． 由（2）知，， ． ， ． ，， ， ∴， ， ， ， 当时，与重叠部分的图形是四边形； 当点在上且点在线段上时，如图③． 由（2）知，． ， ． ，， ， ∴， ， ， 解得， 当时，与重叠部分的图形是四边形． 综上，当与重叠部分的图形是四边形时，的取值范围为或． 【小问4详解】 解：当点在上且点在上时，，如图④． 由（2）知，， ． ， ． ，， ， ∴ ， ， 解得； 当点在上且时，如图⑤． 由（2）知，， ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， 解得； 当点在上且点在线段上时，如图⑥． 由（2）知，． ， ． ，， ， ∴， ， ， 解得． 综上，当与的边或垂直时，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $