精品解析：吉林省吉林市丰满区东山实验中学校2026-2027学年上学期期中教学质量检测九年级数学

2026-2027学年上学期期中教学质量检测 九年级数学 本试卷共8页，三道大题，22道小题，满分120分，考试时间为120分钟.考试结束后，上交答题卡. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效. 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，一元一次方程的概念，分式方程的概念等知识点，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：，是一元一次方程，故选项A错误，不符合题意； ，是二元二次方程，故选项B错误，不符合题意； ，是一元二次方程，故选项C正确，符合题意； ，是分式方程，故选项D错误，不符合题意； 故选：C 2. 已知抛物线的开口向下，则a的值可能为（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，可得，据此即可解答． 【详解】解：∵抛物线的开口向下 ∴ 故选A 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，明确影响抛物线开口方向的因素是解答本题的关键． 3. 已知抛物线，下列结论错误的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与x轴没有交点 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质判断即可． 【详解】解：A、，抛物线开口向上，正确，不符合题意； B、，且开口向上，抛物线与x轴没有交点，正确，不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，正确，不符合题意； D、抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；时，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键． 4. 下列各坐标表示的点在反比例函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断． 【详解】A选项：，所以不在函数图象上； B选项：，所以不在函数图象上； C选项：，所以在函数图象上； D选项：，所以不在函数图象上； 故选：C． 【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k 5. 若，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. −5 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系 ． 【详解】解：，， ． 6. 某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 设该班有x人，则每人需送出张，根据全班共送出贺卡1722张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该班有x人，则每人需送出张， 依题意得：， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先把方程化为，再解两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解一元二次方程的解本题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，； 故答案为：， 8. 已知二次函数，当时，随的增大而_____（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴开口向下， ∴当时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 9. 把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移时顶点坐标的变化规律，结合二次项系数不变的特点，利用顶点式推导平移后的解析式. 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ∵向左平移1个单位长度时，顶点横坐标减1，向下平移2个单位长度时，顶点纵坐标减2 ∴平移后新抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线平移过程中二次项系数保持不变 ∴新抛物线的解析式为 10. 如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数对称性是解题的关键． 利用二次函数对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，， ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：． 11. 如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，其中点A坐标为与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的轴对称性可知 ，从而将 的最小值问题转化为 的最小值问题，根据两点之间线段最短，连接 与对称轴的交点即为所求点 ，求出直线 的解析式即可求解． 【详解】解：令，得， ，令，得， 整理得， 解得，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，最小，即最小． 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 解方程． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， 解得． 13. 已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式，列出关于k的不等式，然后解不等式即可．注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴． 14. 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求出这个二次函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 设出解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为（）． 因为函数图象经过，，三点， 将这三点代入解析式得： ，即 解得， 所以，这个二次函数的解析式为． 15. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元． 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）4月份投入图书购置经费为86.4万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答； （2）由（1）知该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，则列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； 【小问2详解】 解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 答：4月份投入图书购置经费为86.4万元． 16. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，． （1）求h关于的函数解析式． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 【答案】（1）． （2）该液体的密度为． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； （2）把代入（1）中的解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解． 17. 已知二次函数 （1）用配方法将化成的形式．并写出对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当随的增大而增大时，的范围为_____． 【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 在平面直角坐标系中描点，并用一条平滑的曲线连接，如下图： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，利用配方法求出二次函数顶点式解析式，利用描点法画出函数图象，通过图象和对称轴确定自变量的取值范围． （1）利用配方法进行求解即可，根据顶点式解析式求出顶点坐标和对称轴即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）利用图象和对称轴进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴对称轴为直线， 顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据二次函数的图象和对称轴得， 当随的增大而增大时，的范围为， 故答案为：． 18. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为元件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元件时，日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件. （1）当销售量为件时，产品售价为___________元件； （2）直接写出日销售量（件）与售价（元件）的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； （3）为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大？并求出最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）售价定为元件时，每天盈利最大，最大值为元． 【解析】 【分析】根据售价与销量的变化关系计算对应售价； 根据题中数量关系推导一次函数解析式； 先求出，设每天盈利为元，则，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵售价为元件时日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件， ∴销售量为件时，销量增加（件）， ∴售价降低（元）， ∴此时售价为（元件）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 化简得， ∴日销售量（件）与售价（元件）的函数关系式为； 【小问3详解】 解：∵直播售价不超过元件，且盈利时售价高于进货价， ∴， 设每天盈利为元，则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：该产品的售价每件应定为元时，电商每天可盈利最大，最大值为元． 19. 如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出的取值范围； （3）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）已知顶点坐标，设顶点式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可； （2）令，代入函数解析式求出两个的值，结合该二次函数图象开口的方向即可确定的取值范围； （3）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可． 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 将函数与轴正半轴交点的坐标代入得， 解得， 则该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 整理得，解得， ∵二次函数中， ∴函数图象开口向上，当时，的取值范围是． 【小问3详解】 由题意，平移后的函数解析式为， 将点代入得，解得． 20. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒. （1）填空：，___________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）0秒或2秒 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值． 【小问1详解】 解：点从点开始沿边向终点以的速度移动，，故为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，； 当秒或秒时，的长度等于； 【小问3详解】 解：存在秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下： 长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于，则的面积为， ， 解得：不合题意舍去，． 即当秒时，使得五边形的面积等于． 21. 如图，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的解析式为 ． （2）若直线轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线交于点N，设线段 的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围． （3）若抛物线的图象上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有 个． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握函数图象的相关性质是解题的关键． （1）把A、B的坐标代入函数解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出直线的解析式，设点M横坐标为m，根据函数解析式得出点M的坐标为，点N的坐标为，求出n的值，再化为顶点式，即可得出答案； （3）根据的面积等于的面积的一半，求得，在分情况讨论即可求出点P的情况． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为， 如图，设点M横坐标为m， 则点M的坐标为，点N的坐标为， 又点M、N在第一象限， 线段的长度， 当时，n有最大值，最大值为， n的取值范围是； 【小问3详解】 ， ， 的面积等于的面积的一半， ， 设点P的坐标为，当点P在第一象限时， ， ， 解得， 或， 在第一象限内有两个符合条件的点P； 当点P在第二象限时，过点P作轴，则， ， ， 解得， 或， 在第二象限内有一个符合条件的点P，在第四象限内有一个符合条件的点P； 综上所述，这样的点P共有4个． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值； （4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的面积为 （3）的取值范围为，这个定值为； （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质等知识． （1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据图象可得当抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为时，点的位置，从而确定的取值范围； （4）分三种情况讨论满足时，的取值范围； 【小问1详解】 把点、代入抛物线得： ， 解得： ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（）得：， ∴点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴，点到的距离为， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示， ∴点与点关于直线对称， ∴点为， 当点在点和点之间时，点与点之间 （包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， ∴此时的取值范围为； 【小问4详解】 过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于对称轴对称， ∴，如图所示： 当点在点和点之间时，即时，，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）， 当点在点和点之间时，即时，，， ∴，符合题意， ∴， 当点在点下方时，即时，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期期中教学质量检测 九年级数学 本试卷共8页，三道大题，22道小题，满分120分，考试时间为120分钟.考试结束后，上交答题卡. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效. 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的开口向下，则a的值可能为（　　） A. B. C. 1 D. 3. 已知抛物线，下列结论错误的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与x轴没有交点 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 下列各坐标表示的点在反比例函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. −5 6. 某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一元二次方程的根是________． 8. 已知二次函数，当时，随的增大而_____（填“增大”或“减小”）． 9. 把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线___________. 10. 如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为________． 11. 如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，其中点A坐标为与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为___________． 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 解方程． 13. 已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 14. 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求出这个二次函数解析式． 15. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元． 16. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，． （1）求h关于的函数解析式． （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 17. 已知二次函数 （1）用配方法将化成的形式．并写出对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当随的增大而增大时，的范围为_____． 18. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为元件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元件时，日销售量为件，售价每降低元，日销售量增加件. （1）当销售量为件时，产品售价为___________元件； （2）直接写出日销售量（件）与售价（元件）的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； （3）为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元件，该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大？并求出最大值. 19. 如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出的取值范围； （3）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值． 20. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒. （1）填空：，___________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由. 21. 如图，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的解析式为 ． （2）若直线轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线交于点N，设线段 的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围． （3）若抛物线的图象上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有 个． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值； （4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $