精品解析：安徽省颍上第一中学2026-2027学年高二上学期学情检测（三）数学试题

2025级高二年级学情检测（三） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 3. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 6. ，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 10. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，可能垂直 B. 当时，的最小值为 C. 若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为 D. 当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为 11. 已知椭圆上有一点P，F1、F2分别为其左右焦点，，的面积为S，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则满足题意的点P有4个 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若是钝角三角形，则S的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为____________. 13. 已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________． 14. 在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 16. 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， （1）求反射光线所在的方程； （2）若点在直线上，且，求点的坐标； （3）若点在直线上运动，求的最小值． 17. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 18. 已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线的方程． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为12. （1）求的方程； （2）过点的直线交于M，N两点（不同于，两点），直线与直线交于点，试判断的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二年级学情检测（三） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 2. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直求出，再根据模长公式求解. 【详解】因为//，所以，所以，所以, 因为，所以，所以. 所以，所以， 所以. 故选：C. 3. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，所以，. 设平面的法向量， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离. 故选：B. 4. 动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案. 【详解】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为． 故选：A． 5. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可. 【详解】根据题意，分情况讨论可得： 当两个点，在所求直线的异侧时， 即过线段的中点．由于直线又经过， 此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为； 当，在所求直线同侧时， 直线与所求的直线平行， 又因为， 所以所求的直线斜率为，由于直线又经过， 直线方程为， 化简得：， 综上，满足条件的直线为或， 故选：C． 6. ，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 7. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可. 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：， 又因为，且分别为，的中点，所以, 所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：① 因为，所以即， 整理得：，将①代入，，所以. 故选：C. 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案 【详解】连接， 在中，因为是的中点， 所以，平方得， 将代入可得， 因为，所以， 所以， 在，， 所以， 当且仅当即时，取等号, 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断D． 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A正确； 对于B，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，所以直线恒过，故D正确. 故选：ABD. 10. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，可能垂直 B. 当时，的最小值为 C. 若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为 D. 当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量研究线面关系可判定A，将图形展开成平面图形，结合余弦定理计算即可判定B，利用线面角及圆的概念可判定C，利用空间向量计算点到线的距离公式及图形的对称性可计算面积判定D. 【详解】根据平面向量共面定理可知点P位于侧面正方形上（包含四边）， 对于选项：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则，即， 则当时，， 即为中点时，有平面，且，故A正确； 选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值， 由余弦定理可知， 所以，故B错误； 选项：因为平面，连接， 则即为与平面所成角， 若与平面所成角为， 则，所以， 即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点的轨迹长度为，故正确； 选项：当时，可知P在上，设， 正方体经过点的截面为平行四边形， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以点到直线的距离为 ， 于是当时，的面积取最小值，则此时截面面积为； 当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆上有一点P，F1、F2分别为其左右焦点，，的面积为S，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则满足题意的点P有4个 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若是钝角三角形，则S的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据面积求出点P纵坐标的范围即可判断A； 结合椭圆的定义、余弦定理和面积公式可以求出三角形面积，进而判断B； 根据B中的推理，结合基本不等式可以判断C； 根据C中的推理可以判断不可能为钝角，根据椭圆的对称性仅考虑P点在第一象限的情形，根据角的变化情况先考虑的情况，进而求得答案判断D. 【详解】由题意，， 对A，设，则，由椭圆的范围可知A正确； 对B，如图，设，因为，所以在中， 而，因为，所以，故B正确； 对C，由，当且仅当时取“=”，即的最大值为，C正确； 对D，根据C可知，最大值为，即不可能为钝角，根据椭圆的对称性，现仅考虑点P在第一象限的情况，根据角的变化情况，若，将x=2代入椭圆方程解得：，此时，则是钝角三角形， S的取值范围是，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用模的平方得到向量积，再由投影向量公式即可求解. 【详解】由两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 13. 已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，，可得椭圆的方程． 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意，得到三角形为等腰直角三角形，求出点的轨迹方程；再由恒成立，得到点所在的圆在以为直径的圆的内部，进而得到的最小值为圆的直径的最小值，即可得出结果. 【详解】因为是的中点，所以, 又因为，所以三角形为等腰直角三角形，所以, 即点在以为圆心，以为半径的圆上， 因此，点的轨迹方程为； 要使恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部， 而在直线上， 点到直线的距离, 所以，以为直径的圆的半径的最小值为, 所以线段长度的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与圆的方程的应用，属于常考题型. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系； （2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ， 所以 . 所以. 16. 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， （1）求反射光线所在的方程； （2）若点在直线上，且，求点的坐标； （3）若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）求出点A关于直线的对称点的坐标，根据两点的坐标即可写出直线方程； （2）求出线段AB的垂直平分线的方程，再与直线的方程联立，即可求出点P的坐标； （3）设整理之后为，转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方． 【小问1详解】 如图所示： 设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，， 点坐标为， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得： 直线方程为， 即反射光线所在直线的方程为 【小问2详解】 线段的垂直平分线为，因为， 所以点在直线上，又因为点在直线上， 所以点为直线与交点， 由，的坐标可知， 线段中点，直线斜率为， 所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ，即， 与直线的方程联立 解方程组得点坐标为 【小问3详解】 设点坐标为，令， 则 ， 要使最小，则当且仅当最小， 可表示为点到点的距离的平方， 当，即计算点到直线的距离时取到最小值， 此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得 ， 所以． 17. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 18. 已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于另一点，求面积的最大值及此时的直线的方程． 【答案】（1）； （2），或． 【解析】 【分析】（1）先根据切线与过切点的半径所在直线垂直，得直线的方程，与联立，可得圆心坐标，再求半径，可得圆的标准方程. （2）结合基本不等式可求面积的最大值，并确定圆心到直线的距离.根据点到直线的距离公式可求直线的斜率，可得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 由题意，过点的直径所在直线方程为， 联立  ，解得. 圆心坐标为，半径  ， 圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则的面积， 由于， 当，即时面积最大为． 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为； 故直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 由到的距离， 解得或，故此时直线方程为或． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为12. （1）求的方程； （2）过点的直线交于M，N两点（不同于，两点），直线与直线交于点，试判断的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定值；12 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出、的值，由此可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得根与系数关系，设出直线的方程，直线的方程，将两个方程相除运算求得点的纵坐标，得解. 【小问1详解】 由题意知，解得，，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，. 由，得， 所以，. 易得，，所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得 ， 即，解得，即点的纵坐标， 所以的面积，即的面积为定值12. 【点睛】关键点睛：本题第二问考查椭圆中的定值问题.解题的关键是设出直线的方程，直线的方程，将两个方程相除结合根与系数关系运算求得点的纵坐标为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $