2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上学期期中模拟卷（培优卷）

2026—2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制）（培优卷） 2026—2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制） 数　学 参考答案与解析 （考试时间：90分钟　试卷满分：100分） 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本卷满分 100 分，考试时间 90 分钟，共三个部分。 2．选择题的答案填写在题后括号内；填空题、解答题直接写在试卷的相应位置上，解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 3．需要画图（含补全图形）的题目，可先用铅笔画出，确认无误后再用签字笔描清。 4．测试范围：沪教版（五四制）七年级数学上册第 10~12 章（整式的加减、整式的乘除、因式分解）。 第一部分（选择题　共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．当字母 x 分别取下列两个所给数值时，代数式 x+ 的值不变的是（　　） A． 或 −2　　B． 或 3　　C． 或 3　　D． 或 2 【答案】C　　【难度】中等 【详解】设两数为 x₁、x₂，要求 x₁+=x₂+。移项得 (x₁−x₂)+(−)=0，即 (x₁−x₂)(1−)=0。因 x₁≠x₂，故 x₁x₂=1，即两数互为倒数。只有 ⅓ 与 3 互为倒数，故选 C。 2．已知 4x2+mxy+9y2=(2x−3y)2，则 m 的值为（　　） A．−6　　B．12　　C．−12　　D．±12 【答案】C　　【难度】中等 【详解】(2x−3y)²=4x²−12xy+9y²，与左边逐项比较得 m=−12。注意中间项符号由 (2x−3y) 中的"减号"决定，不要漏负号。 3．(a+b−c)(a−b−c) 的计算结果正确的是（　　） A．a2−2ac+c2−b2　　B．a2−b2+c2　　C．a2−2ab+b2−c2　　D．a2+b2−c2 【答案】A　　【难度】中等 【详解】把 (a−c) 看成整体：原式=[(a−c)+b][(a−c)−b]=(a−c)²−b²=a²−2ac+c²−b²。添括号分组是解这类题的关键。 4．下列各式中，属于二次三项式的是（　　） A．x+xy−3y　　B．3x2　　C．x+2y−3　　D．x2y−3y−1 【答案】A　　【难度】基础 【详解】x+xy−3y 共三项，其中 xy 是二次项（次数最高为 2），故是二次三项式。B 是单项式；C 是一次三项式；D 是三次三项式。 5．下列各式中，运算正确的是（　　） A．(a−b)2=a2−b2　　B．(a+2b)2=a2+2ab+4b2　　C．(a+b)2=a2+b2　　D．(−a+b)2=a2−2ab+b2 【答案】D　　【难度】中等 【详解】A 漏了中间项 −2ab；B 中 2b 的平方应为 4b²，中间项应为 4ab；C 漏了 2ab；D 中 (−a+b)²=(b−a)²=a²−2ab+b²，正确。 6．若 ab=4，a+b=−5，则 a2+b2 的值为（　　） A．17　　B．25　　C．33　　D．9 【答案】A　　【难度】中等 【详解】a²+b²=(a+b)²−2ab=25−8=17。这是完全平方公式"知二求二"的基本变形，注意是减 2ab。 第二部分（填空题　共20分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．已知 a2+b2−6a+4b+13=0，则 a+b=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】1　　【难度】中等 【详解】配方：(a²−6a+9)+(b²+4b+4)=0，即 (a−3)²+(b+2)²=0。由非负性得 a=3，b=−2，故 a+b=1。"拆常数项凑两个完全平方"是配方法的核心技巧。 8．若多项式 x2−2(m+1)x+16 是一个完全平方式，则 m=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】3 或 −5　　【难度】中等 【详解】x²−2(m+1)x+16=(x±4)²=x²±8x+16，故 −2(m+1)=8 或 −2(m+1)=−8，得 m=−5 或 m=3。两解都要写，漏解是常见失分点。 9．计算：(−0.125)2007×[(−2)2007]3=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】1　　【难度】难 【详解】[(−2)²⁰⁰⁷]³=(−2)⁶⁰²¹=[(−2)³]²⁰⁰⁷=(−8)²⁰⁰⁷，而 −0.125=−。原式=(−)²⁰⁰⁷×(−8)²⁰⁰⁷=[(−)×(−8)]²⁰⁰⁷=1²⁰⁰⁷=1。 10．已知 x+y=4，x2+y2=14，则 (x−y)2=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】12　　【难度】中等 【详解】由 x²+y²=(x+y)²−2xy 得 14=16−2xy，xy=1。故 (x−y)²=x²+y²−2xy=14−2=12。也可直接用 (x−y)²=2(x²+y²)−(x+y)²=28−16=12。 11．若单项式 x3ym 与 −3xny3 是同类项，则 m+n=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】6　　【难度】中等 【详解】同类项要求字母指数分别相同：m=3，n=3，故 m+n=6。 12．计算：(2x−3)(2x+3)(4x2+9)=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】16x4−81　　【难度】中等 【详解】前两个因式用平方差：(2x−3)(2x+3)=4x²−9；再与 (4x²+9) 用平方差：(4x²−9)(4x²+9)=16x⁴−81。连续使用平方差公式，注意结构 (A−B)(A+B)。 13．因式分解：6x2−5x+1=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】(2x−1)(3x−1)　　【难度】中等 【详解】十字相乘：6x² 拆成 2x·3x，1 拆成 (−1)×(−1)，交叉相乘 2x·(−1)+3x·(−1)=−5x，符合中间项。故 6x²−5x+1=(2x−1)(3x−1)。 14．已知 x2−5x−1=0，则 x2+=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】27　　【难度】难 【详解】由 x²−5x−1=0 知 x≠0，两边同除以 x：x−5−=0，即 x−=5。两边平方：x²−2+=25，故 x²+=27。"两边同除以 x 构造 x±"是降次求值的常用手法。 15．将多项式 9t+3t3−27+2t2 按字母 t 的升幂排列为＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】−27+9t+2t2+3t3　　【难度】基础 【详解】各项 t 的指数依次为 1、3、0、2，按升幂（从小到大）排列即 −27+9t+2t²+3t³。 16．用幂的形式表示结果：(a−b)3·(b−a)2+(b−a)5=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】0　　【难度】难 【详解】(b−a)²=(a−b)²，故 (a−b)³·(b−a)²=(a−b)⁵；又 (b−a)⁵=−(a−b)⁵。原式=(a−b)⁵−(a−b)⁵=0。奇次幂交换底数要变号，偶次幂不变号，这是本题的关键。 第三部分（解答题　共62分） 三、解答题（本大题共8小题，满分62分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）计算与化简 17．（8分）计算： （1）(−6a2b4)·(ab−4)； （2）(3a+b)(a−3b)； （3）(2x−3y+1)(2x+3y−1)． 【答案】（1）−3a3b5+24a2b4；（2）3a2−8ab−3b2；（3）4x2−9y2+6y−1　　【难度】中等 【详解】（1）单项式乘多项式，逐项相乘：(−6a²b⁴)·ab=−3a³b⁵，(−6a²b⁴)·(−4)=24a²b⁴，故原式=−3a³b⁵+24a²b⁴。 　　　　（2）(3a+b)(a−3b)=3a²−9ab+ab−3b²=3a²−8ab−3b²。 　　　　（3）把 (3y−1) 看成整体，用平方差：原式=(2x)²−(3y−1)²=4x²−(9y²−6y+1)=4x²−9y²+6y−1。注意最后一项是 −1 而不是 +1。 18．（8分）计算： （1）(x−y)2−(x−y)(y+x)； （2）利用乘法公式计算：992−102×98． 【答案】（1）−xy+y2；（2）−195　　【难度】中等 【详解】（1）提取公因式 (x−½y)：原式=(x−½y)[(x−½y)−(½y+x)]=(x−½y)(−y)=−xy+½y²。比先展开再合并简便得多。 　　　　（2）99²=(100−1)²=10000−200+1=9801；102×98=(100+2)(100−2)=10000−4=9996。故原式=9801−9996=−195。 19．（6分）已知 A=x3−5x2，B=x3−12x2+3x−2，求 (2A−B)−2(2A+3B) 的值． 【答案】−9x3+94x2−21x+14　　【难度】难 【详解】先化简代数式，再代入 A、B，可大大减少计算量：(2A−B)−2(2A+3B)=2A−B−4A−6B=−2A−7B。 　　　　代入：−2(x³−5x²)−7(x³−12x²+3x−2)=−2x³+10x²−7x³+84x²−21x+14=−9x³+94x²−21x+14。 　　　　"先化式、后代入"是整式化简求值的通用策略。 20．（6分）已知 a2+3a+1=0，求 3a3+(a2+5)(a2−1)−a(5a+6) 的值． 【答案】−3　　【难度】难 【详解】先展开：3a³+a⁴−a²+5a²−5−5a²−6a=a⁴+3a³−a²−6a−5。 　　　　由 a²+3a+1=0 得 a²+3a=−1。把高次项"降次"：a⁴+3a³=a²(a²+3a)=−a²。 　　　　故原式=−a²−a²−6a−5=−2a²−6a−5=−2(a²+3a)−5=−2×(−1)−5=2−5=−3。 　　　　降次求值的关键：把 a²+3a 作为整体反复替换，避免求出 a 的值。 21．（8分）因式分解： （1）2x3−8x； （2）(3a+2b)2−2(a+b)(3a+2b)+(a+b)2； （3）a4−16； （4）x3−2x2−x+2． 【答案】（1）2x(x+2)(x−2)；（2）(2a+b)2；（3）(a2+4)(a+2)(a−2)；（4）(x−2)(x+1)(x−1)　　【难度】中等 【详解】（1）先提公因式 2x，再用平方差：2x(x²−4)=2x(x+2)(x−2)。 　　　　（2）把 (a+b) 看成整体，符合 A²−2AB+B²：原式=[(3a+2b)−(a+b)]²=(2a+b)²。 　　　　（3）平方差后继续分解：a⁴−16=(a²+4)(a²−4)=(a²+4)(a+2)(a−2)，a²+4 在有理数范围内不能再分解。 　　　　（4）分组分解：x²(x−2)−(x−2)=(x−2)(x²−1)=(x−2)(x+1)(x−1)。 22．（8分）如图，已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG，点 E 在边 BC 的延长线上，点 G 在边 CD 上，正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为 b，且 a＞b。求三角形 GFD、三角形 BEF、三角形 BFD 的面积（用含 a、b 的代数式表示）． 【答案】S△GFD=b(a−b)；S△BEF=b(a+b)；S△BFD=a2　　【难度】难 【详解】（1）△GFD 中，底 GF=b（G、F 纵坐标相差 b），G 到 DF 的高即 GD=a−b，故 S=½b(a−b)=½ab−½b²。 　　　　（2）△BEF 中，底 BE=BC+CE=a+b，高 EF=b，故 S=½b(a+b)=½ab+½b²。 　　　　（3）△BFD 用"整体减部分"或坐标法：B(0，0)、D(a，a)、F(a+b，b)，S△BFD=½|0×a+(a+b)×a+a×0−(0×(a+b)+b×a+a×0)|=½|a(a+b)−ab|=½a²。 　　　　也可这样看：S△BFD=S△BCD−S△BCF+S△DCF 等割补，结果同为 ½a²。这类"用字母表示面积"的题，要先把各线段长用 a、b 表示清楚。 23．（8分）观察下列一组等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，… （1）32026 的个位数字是多少？ （2）求 31+32+33+…+32026 的个位数字． 【答案】（1）9；（2）2　　【难度】难 【详解】（1）3 的正整数次幂的个位数字按 3、9、7、1 每 4 个一循环。2026÷4=506……2，即经过 506 个完整循环后再数 2 个，对应循环中的第 2 个数字 9。故 3²⁰²⁶ 的个位数字是 9。 　　　　（2）每个循环的 4 项之和的个位数字为 3+9+7+1=20，个位是 0。506 个完整循环的和的个位数字为 0；余下 2 项为 3¹+3²=3+9=12，个位是 2。故总和的个位数字为 0+2=2。 　　　　规律探究题三步走：找循环节→用总数除以周期看余数→把余数对应到循环节中的位置。 24．（10分）阅读下列材料：我们把 (a+b)2=a2+2ab+b2 与 (a−b)2=a2−2ab+b2 称为"姊妹公式"。两式相加得 a2+b2=[(a+b)2+(a−b)2]；两式相减得 ab=[(a+b)2−(a−b)2]。请利用上述结论（或公式的其他变形）解决下列问题： （1）已知 a+b=7，a−b=3，求 a2+b2 与 ab 的值； （2）已知 x+y=5，x2+y2=13，求 xy 与 (x−y)2 的值； （3）已知 (2024−a)(a−2023)=−6，求 (2024−a)2+(a−2023)2 的值． 【答案】（1）a2+b2=29，ab=10；（2）xy=6，(x−y)2=1；（3）13　　【难度】难 【详解】（1）a²+b²=½[(a+b)²+(a−b)²]=½(49+9)=29；ab=¼[(a+b)²−(a−b)²]=¼(49−9)=10。 　　　　（2）由 x²+y²=(x+y)²−2xy 得 13=25−2xy，xy=6；(x−y)²=x²+y²−2xy=13−12=1。 　　　　（3）设 m=2024−a，n=a−2023，则 m+n=1，mn=−6。m²+n²=(m+n)²−2mn=1−2×(−6)=13。 　　　　本题体现"知二求二"：只要知道和、差、积、平方和中的两个，其余都能求出。第（3）问的关键是换元后认出 m+n=1 这个隐藏条件。 学科网（北京）股份有限公司 $2026—2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制）（培优卷） 2026—2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制） 数　学 （考试时间：90分钟　试卷满分：100分） 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本卷满分 100 分，考试时间 90 分钟，共三个部分。 2．选择题的答案填写在题后括号内；填空题、解答题直接写在试卷的相应位置上，解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 3．需要画图（含补全图形）的题目，可先用铅笔画出，确认无误后再用签字笔描清。 4．测试范围：沪教版（五四制）七年级数学上册第 10~12 章（整式的加减、整式的乘除、因式分解）。 第一部分（选择题　共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．当字母 x 分别取下列两个所给数值时，代数式 x+ 的值不变的是（　　） A． 或 −2　　B． 或 3　　C． 或 3　　D． 或 2 2．已知 4x2+mxy+9y2=(2x−3y)2，则 m 的值为（　　） A．−6　　B．12　　C．−12　　D．±12 3．(a+b−c)(a−b−c) 的计算结果正确的是（　　） A．a2−2ac+c2−b2　　B．a2−b2+c2　　C．a2−2ab+b2−c2　　D．a2+b2−c2 4．下列各式中，属于二次三项式的是（　　） A．x+xy−3y　　B．3x2　　C．x+2y−3　　D．x2y−3y−1 5．下列各式中，运算正确的是（　　） A．(a−b)2=a2−b2　　B．(a+2b)2=a2+2ab+4b2　　C．(a+b)2=a2+b2　　D．(−a+b)2=a2−2ab+b2 6．若 ab=4，a+b=−5，则 a2+b2 的值为（　　） A．17　　B．25　　C．33　　D．9 第二部分（填空题　共20分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．已知 a2+b2−6a+4b+13=0，则 a+b=＿＿＿＿＿＿＿． 8．若多项式 x2−2(m+1)x+16 是一个完全平方式，则 m=＿＿＿＿＿＿＿． 9．计算：(−0.125)2007×[(−2)2007]3=＿＿＿＿＿＿＿． 10．已知 x+y=4，x2+y2=14，则 (x−y)2=＿＿＿＿＿＿＿． 11．若单项式 x3ym 与 −3xny3 是同类项，则 m+n=＿＿＿＿＿＿＿． 12．计算：(2x−3)(2x+3)(4x2+9)=＿＿＿＿＿＿＿． 13．因式分解：6x2−5x+1=＿＿＿＿＿＿＿． 14．已知 x2−5x−1=0，则 x2+=＿＿＿＿＿＿＿． 15．将多项式 9t+3t3−27+2t2 按字母 t 的升幂排列为＿＿＿＿＿＿＿． 16．用幂的形式表示结果：(a−b)3·(b−a)2+(b−a)5=＿＿＿＿＿＿＿． 第三部分（解答题　共62分） 三、解答题（本大题共8小题，满分62分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）计算与化简 17．（8分）计算： （1）(−6a2b4)·(ab−4)； （2）(3a+b)(a−3b)； （3）(2x−3y+1)(2x+3y−1)． 18．（8分）计算： （1）(x−y)2−(x−y)(y+x)； （2）利用乘法公式计算：992−102×98． 19．（6分）已知 A=x3−5x2，B=x3−12x2+3x−2，求 (2A−B)−2(2A+3B) 的值． 20．（6分）已知 a2+3a+1=0，求 3a3+(a2+5)(a2−1)−a(5a+6) 的值． 21．（8分）因式分解： （1）2x3−8x； （2）(3a+2b)2−2(a+b)(3a+2b)+(a+b)2； （3）a4−16； （4）x3−2x2−x+2． 22．（8分）如图，已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG，点 E 在边 BC 的延长线上，点 G 在边 CD 上，正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为 b，且 a＞b。求三角形 GFD、三角形 BEF、三角形 BFD 的面积（用含 a、b 的代数式表示）． 23．（8分）观察下列一组等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，… （1）32026 的个位数字是多少？ （2）求 31+32+33+…+32026 的个位数字． 24．（10分）阅读下列材料：我们把 (a+b)2=a2+2ab+b2 与 (a−b)2=a2−2ab+b2 称为"姊妹公式"。两式相加得 a2+b2=[(a+b)2+(a−b)2]；两式相减得 ab=[(a+b)2−(a−b)2]。请利用上述结论（或公式的其他变形）解决下列问题： （1）已知 a+b=7，a−b=3，求 a2+b2 与 ab 的值； （2）已知 x+y=5，x2+y2=13，求 xy 与 (x−y)2 的值； （3）已知 (2024−a)(a−2023)=−6，求 (2024−a)2+(a−2023)2 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $