精品解析：云南昭通市正道中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季学期学生综合素养阶段性诊断练习 九年级数学（2） 【命题范围：第25至28章】 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将如图所示的创意旋转一定角度后，得到的图形可能是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，将方程配方成的形式，其中的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，7 3. 把一元二次方程化为一般式，则的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，0 4. 将某抛物线向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点 7. 某云南普洱茶加工企业引入智能温控工艺优化生产线，使制茶设备单台月加工能耗成本逐月下降．原来单台制茶设备每月能耗成本为2500元，经过两个月工艺升级迭代后，单台制茶设备每月能耗成本降至1600元．求单台制茶设备能耗成本的月平均降低率．设单台制茶设备能耗成本的月平均降低率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，当时，的最大值和最小值之差为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 关于的二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转到的位置，点恰好落在的延长线上，点是点的对应点，连接，则的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，经过点的直线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 13. 已知抛物线与轴交于点，，其中，抛物线与轴交于点，，其中，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解为 D. 关于的不等式的解集为或 15. 掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分．小林是一个数学爱好者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为轴，脚所在的位置为坐标原点，建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如图所示．小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离的相关数据记录如表： 0 1 2 3 4 … 3 … 若小林掷实心球的场地为水平地面，实心球运动路径为抛物线，则小林这次掷实心球的成绩为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 某反比例函数在第一象限内的图象如图所示，则的值可以是_________（写出一个满足条件的值即可） 17. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为_________． 18. 已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围为_________． 19. 如图，在中，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为_________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知是方程的两个根，求的值． 22. 如图，正方形是昆明某花卉展馆一块展区的平面示意图．该馆负责人准备在正方形内设置一条观景步道，其以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，观景步道所在的反比例函数的图象分别与交于点．经测量可知，． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，负责人准备在区域（图中阴影部分）内种植山茶花，求山茶花种植的面积． 23. 某研学基地为丰富学生课余生活、吸引学校组织学生参加研学活动，特推出如表的收费标准． 人数 费用 不超过20人 人均费用为100元 超过20人 每超过1人，人均费用降低2元，但人均费用不低于80元 某校组织学生参加该研学活动，共向研学基地支付费用2352元．求该校共有多少名学生参加此次研学活动． 24. 综合与实践课上，李老师拿出两张完全重合的三角形纸片和（其中），将绕着顶点旋转，并让各个数学小组进行自主探究． （1）“勤学”小组将旋转至如图（1）所示的位置，使，延长交于点，求证：四边形是正方形． （2）“智慧”小组提出问题：当旋转至点在上方，且时，如图（2），交于点．若，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求直线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，轴，交于点，求的最大值． 26. 材料一：某款冰柜内部温度上升到时，冰柜运行；当内部温度下降到时，冰柜停止运行、当内部温度上升到时，冰柜再次运行……如此循环（冰柜不运行时，耗电量忽略不计）． 材料二：从某一时刻起，该款冰柜内部温度与时间之间的函数关系如图所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 材料三：冰柜内部温度不高于时为有效制冷时间． 结合以上材料，解决下列问题． （1）求当时，关于的函数表达式，并求出的值； （2）求这款冰柜一天内（）的有效制冷时间有多长． 27. 云南鲜花饼是“云品出滇”的代表性伴手礼．某超市购进一种品牌的鲜花饼，每盒进价是50元，规定每盒的售价不低于60元．试销后发现，当每盒售价定为60元时，日销售量为600盒，每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）当每盒的售价为_________元时，日销售量为300盒． （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大日销售利润是多少？ （3）小明说：“当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期学生综合素养阶段性诊断练习 九年级数学（2） 【命题范围：第25至28章】 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1．学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2．练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将如图所示的创意旋转一定角度后，得到的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转后的图形与原图形的形状和大小都不变，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B的图形与原图形的形状和大小都相同，符合题意，其余选项均不符合题意. 2. 用配方法解方程时，将方程配方成的形式，其中的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，7 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴． 3. 把一元二次方程化为一般式，则的值分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，0 【答案】D 【解析】 【详解】解：将方程移项整理为一般式，得， ∴，，． 4. 将某抛物线向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵将抛物线向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为， ∴将抛物线向下平移2个单位长度可得到原抛物线，其表达式为，即． 5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得． 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】把函数解析式化为顶点式，运用性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，故、、选项错误，不符合题意； 令，得， ∵， ∴抛物线与轴有两个交点，故选项正确，符合题意． 7. 某云南普洱茶加工企业引入智能温控工艺优化生产线，使制茶设备单台月加工能耗成本逐月下降．原来单台制茶设备每月能耗成本为2500元，经过两个月工艺升级迭代后，单台制茶设备每月能耗成本降至1600元．求单台制茶设备能耗成本的月平均降低率．设单台制茶设备能耗成本的月平均降低率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得：第一个月后能耗成本为元， 第二个月后能耗成本为元， 则可列方程为． 8. 已知反比例函数，当时，的最大值和最小值之差为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性求得最大值和最小值，进而可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴在每个象限内，随的增大而增大， ∵且， ∴当时，取得最小值，最小值； 当时，取得最大值，最大值， ∴最大值与最小值之差为． 9. 关于的二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对因式分解，求出抛物线固定经过、，再分开口向上、顶点在轴负半轴，开口向下、顶点在轴正半轴，对照四个图像选出． 【详解】解：二次函数解析式为， 整理得， 因式分解：， 令， ， ∵ ， ∴ ． ∴ 抛物线一定与轴交于和两点． ① 当时，抛物线开口向上，顶点纵坐标为，顶点在轴负半轴； ② 当时，抛物线开口向下，顶点纵坐标为，顶点在轴正半轴． 依次判断选项： 选项 A：开口向上，与轴交于两点，顶点在轴负半轴，符合； 选项 B：抛物线和轴没有交点，不符合； 选项 C：对称轴不是轴，不符合； 选项 D：抛物线和轴没有交点，不符合． 故选：． 10. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过直接计算各点的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ． 11. 如图，在中，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转到的位置，点恰好落在的延长线上，点是点的对应点，连接，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用勾股定理求出，得到，根据旋转性质得到、，过作，利用算出，再用勾股定理算出，求出，最后在中由勾股定理算出 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， ∵ 是的中点 ， ∵ 绕点逆时针旋转得到，是的对应点 ， 过点作，垂足为． 在中，， 在中，， 由勾股定理得 ∴ 在中，． 12. 如图，经过点的直线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为反比例函数图象关于原点中心对称，所以过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点对称，即两点横、纵坐标均互为相反数．设点A的坐标为，由点A在反比例函数上，可得，同时可得点B的坐标为．因为平行于y轴、平行于x轴，所以点C的横坐标与A相同、纵坐标与B相同，即，由此可求出的长度．由是直角三角形，利用直角三角形面积公式代入的长度和的关系即可计算面积． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点中心对称， 设点A的坐标为，则点B的坐标为． ∵A、B在反比例函数上， ∴代入解析式得：，即． ∵平行于y轴， ∴C的横坐标和A相同为； ∵平行于x轴， ∴C的纵坐标和B相同为， 即． 由图可知是直角三角形， ∵，， ∴ ． 13. 已知抛物线与轴交于点，，其中，抛物线与轴交于点，，其中，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入第二个抛物线的解析式，判断对应函数值的符号，结合开口向下的抛物线的函数值与横坐标位置的关系推导大小． 【详解】解：∵是抛物线与轴的交点横坐标， ∴， 将代入， 得， ∵抛物线开口向下，且与轴交于， ， ∴当时，的取值范围是， ∴， 同理可得， 又∵， ∴． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 关于的方程的解为 D. 关于的不等式的解集为或 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向判断A，对称轴判断B，对称性求出抛物线与轴的另一个交点，进而判断C和D. 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴，故选项A错误； ∵对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴，抛物线与轴的一个交点为， ∴，关于的方程的解为；故选项C正确； ∴，故选项B错误； 由图象可知，关于的不等式的解集为，故选项D错误. 15. 掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分．小林是一个数学爱好者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为轴，脚所在的位置为坐标原点，建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如图所示．小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离的相关数据记录如表： 0 1 2 3 4 … 3 … 若小林掷实心球的场地为水平地面，实心球运动路径为抛物线，则小林这次掷实心球的成绩为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数解析式，取其与x轴正半轴交点的横坐标即可． 【详解】解：设实心球运动路径为， 根据表格可知， 解得：， ∴实心球运动路径为， 当时， 解得（舍去）， ∴小林这次掷实心球的成绩为． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 某反比例函数在第一象限内的图象如图所示，则的值可以是_________（写出一个满足条件的值即可） 【答案】3（答案不唯一，即可） 【解析】 【详解】解：过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点， 则点的横坐标为2，纵坐标大于1， ∴， ∴的值可以是3（答案不唯一，即可）． 17. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】若该一元二次方程无实数根，该方程的根的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 化简得， 解得． 18. 已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，再求出为该函数图象上的两点，结合图象即可求解． 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， ∴点为该函数图象上的两点， ∵点在的上方，点， 又抛物线与线段只有一个公共点， ∴点在点的下方，或与点重合， ∴m的取值范围为． 19. 如图，在中，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】由旋转性质可知，． 结合，证明（），得．G是在过定点C、与夹角为的一条射线上运动．由中点定义得． 过点O作，交射线于点H，得．当点G与H重合时，取得最小值1． 【详解】由旋转性质可知：，． ∵， ∴， 即． ∵， ∴（）， ∴． ∴G是在过定点C、与夹角为的一条射线上运动． ∵点O是中点，， ∴． 过点O作，交射线于点H， 则． ∵， ∴当点G与H重合时，，取得最小值． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：原方程可化为， ， 或， ． 21. 已知是方程的两个根，求的值． 【答案】24 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解和根与系数关系和求得​，进而代值求解即可． 【详解】解：是方程的两个根， ， ， ． 22. 如图，正方形是昆明某花卉展馆一块展区的平面示意图．该馆负责人准备在正方形内设置一条观景步道，其以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，观景步道所在的反比例函数的图象分别与交于点．经测量可知，． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，负责人准备在区域（图中阴影部分）内种植山茶花，求山茶花种植的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， 又， ， ． 将代入，得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ． 23. 某研学基地为丰富学生课余生活、吸引学校组织学生参加研学活动，特推出如表的收费标准． 人数 费用 不超过20人 人均费用为100元 超过20人 每超过1人，人均费用降低2元，但人均费用不低于80元 某校组织学生参加该研学活动，共向研学基地支付费用2352元．求该校共有多少名学生参加此次研学活动． 【答案】该校共有28名学生参加此次研学活动 【解析】 【分析】首先判断出参加此次研学活动的学生人数一定超过20人，设该校共有名学生参加此次研学活动，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：因为（元），， 所以参加此次研学活动的学生人数一定超过20人， 设该校共有名学生参加此次研学活动， 根据题意得，， 解得，， 当时，，故舍去此种情况； 当时，，符合题意． 答：该校共有28名学生参加此次研学活动． 24. 综合与实践课上，李老师拿出两张完全重合的三角形纸片和（其中），将绕着顶点旋转，并让各个数学小组进行自主探究． （1）“勤学”小组将旋转至如图（1）所示的位置，使，延长交于点，求证：四边形是正方形． （2）“智慧”小组提出问题：当旋转至点在上方，且时，如图（2），交于点．若，求的长． 【答案】（1）证明：， 又， 四边形是矩形． 根据旋转的性质，得， 矩形是正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，平角的定义，证明即可． （2）设，则．在中，由勾股定理，得，构造方程，解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理，得． 由旋转的性质，得． 又， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求直线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，轴，交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）首先确定两点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先确定为等腰直角三角形，进而可得，故当的值最大时，的值也最大；设，则，进一步可得，即可确定答案． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，得， ， 令，得， 解得， ∵点B在点A右侧， ， 设直线的表达式为， 将代入， 得，解得， 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：， ， 为等腰直角三角形， ， ∵轴，轴，， ， ， ， 当的值最大时，的值也最大， 设，则， ， 当时，的值最大，最大值为， 的最大值为． 26. 材料一：某款冰柜内部温度上升到时，冰柜运行；当内部温度下降到时，冰柜停止运行、当内部温度上升到时，冰柜再次运行……如此循环（冰柜不运行时，耗电量忽略不计）． 材料二：从某一时刻起，该款冰柜内部温度与时间之间的函数关系如图所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 材料三：冰柜内部温度不高于时为有效制冷时间． 结合以上材料，解决下列问题． （1）求当时，关于的函数表达式，并求出的值； （2）求这款冰柜一天内（）的有效制冷时间有多长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】结合图像分析，求出对应的函数图像，再结合函数解析式即可解决问题． 【小问1详解】 解：设当时，关于的函数表达式为． 将代入，得，解得， 故关于的函数表达式为． 对于，当时，， ． 【小问2详解】 当时，设关于的函数表达式为． 将分别代入，得 解得 ． 由题意可知，冰柜每运行一次． 对于，当时，． 对于，当时，． 故这款冰柜一天内的有效制冷时间为． 27. 云南鲜花饼是“云品出滇”的代表性伴手礼．某超市购进一种品牌的鲜花饼，每盒进价是50元，规定每盒的售价不低于60元．试销后发现，当每盒售价定为60元时，日销售量为600盒，每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． （1）当每盒的售价为_________元时，日销售量为300盒． （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大日销售利润是多少？ （3）小明说：“当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）90 （2）当每盒售价定为85元时，日销售利润最大，最大日销售利润是12250元 （3）解：不正确，理由： 当时，， 解得，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当日销售利润不低于10000元时，每盒售价的范围是． 小明的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据“日销售量为300盒”列出一元一次方程求解； （2）首先表示出日销售量，然后表示出日销售利润，然后利用二次函数的性质求解； （3）将代入求出，，然后根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得 ∴当每盒的售价为90元时，日销售量为300盒； 【小问2详解】 解：由题意知，， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为12250． 答：当每盒售价定为85元时，日销售利润最大，最大日销售利润是12250元； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $