精品解析：广东广州市第十六中学2026-2027学年 上学期 阶段教学质量反馈 九年级数学(问卷)

2026学年第一学期十六中教育集团阶段教学质量反馈 九年级数学（问卷） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 铜镜是中国古代艺术的灿烂瑰宝．下列铜镜图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，当时，该函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，且，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知函数是反比例函数，则m的值为__________ 12. 若是方程的一个解，则的值是________． 13. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________． 14. 已知，满足，，则________． 15. 如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转 （），得到，边交于点，当时，的值为________． 16. 抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 解方程：； 18. 如图，利用一面墙（墙长），用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地，求的长． 19. 已知． （1）化简； （2）若，为一元二次方程的两个根，求的值． 20. 如图，是等边三角形内一点， （1）尺规作图：将线段绕点顺时针旋转得到线段（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的基础上，连接，，，若，，，求四边形的面积． 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根； （2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围． 22. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米时） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（米） 0 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2.1 （1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； （2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为19米，已知这条高速公路限速100千米时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 24. 已知点E为边长为2的正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，若，则______，若，则______． （2）如图2，将线段绕点D顺时针旋转到，连接，延长交于点M，探究线段，的数量关系，并证明． （3）在满足（2）条件下，点O是线段的中点，求线段的最小值． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； （2）已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期十六中教育集团阶段教学质量反馈 九年级数学（问卷） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 铜镜是中国古代艺术的灿烂瑰宝．下列铜镜图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，进行解答，即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、未说明，不一定是一元二次方程，不符合题意； D、整理为，是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，符合题意． 3. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ． 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 5. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 6. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 7. 已知二次函数，当时，该函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合x的取值范围，通过比较区间端点到对称轴的距离确定最大值位置，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． 在范围内， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ∴当时，函数取得最大值， 此时． 8. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数顶点坐标排除部分选项，再利用的符号一致性判断一次函数图象位置，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为，在轴的正半轴，故A、B选项不符合题意， ∵C、D选项的抛物线开口向下， ∴， ∴函数的图象经过一、二、四象限， ∴D选项不符合题意，C选项符合题意． 10. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，且，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，连接，根据矩形的性质可得到点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2026次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 如图，设第1次旋转结束时，点C的对应点为，连接，过点作轴于点G，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 同理第2次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； 第3次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； 第4次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； ……， 发现规律：旋转4次一个循环， ∵， 则第2026次旋转结束时，点C的坐标为． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知函数是反比例函数，则m的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义，即，只需令且即可． 【详解】解：根据题意， ， 又，， 所以． 故答案为：． 12. 若是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入已知方程，整理得到的值，再将所求代数式变形为可整体代入的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 整理得， ∴． 13. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知原抛物线解析式为，平移规则为先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，结合二次函数图象平移规律推导最终解析式． 【详解】解：∵二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴将抛物线向左平移2个单位，得到第一次平移后的解析式为， ∵沿y轴方向向下平移1个单位时，需在整个解析式后减去平移的单位长度， ∴对第一次平移得到的抛物线向下平移1个单位后，得到最终的抛物线解析式为． 14. 已知，满足，，则________． 【答案】4061 【解析】 【分析】将m、n满足的等式对应为一元二次方程的根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形计算目标式的值． 【详解】解：∵，， ∴ m、n可看作一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系，可得，， ∴． 15. 如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转 （），得到，边交于点，当时，的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，结合求出，利用旋转的性质得到，，判定为等边三角形，从而得出，最后在中求出与的数量关系即可求解． 【详解】解：是等边三角形，D是的中点， ，，， ， 在 （设交于点）中， ， 由旋转的性质可知， ，， 在中，，， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ． 16. 抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】先代入已知点得到系数关系，，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当时，，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与轴的交点为和，故存在两种平移方案；对于③，由与即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此；对于⑤，代入可得，当时，，且随的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴代入坐标得，，整理得， ∴ 对于①：当时， ∵， ∴，， ∴， ∴抛物线不经过第三象限，故①正确； 对于②：将代入，得， ， 因式分解，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴向左平移个单位后，交点变为和， ∵平移后过原点， ∴或，因此不一定等于，故②错误； 对于③：∵， ∴，故③正确； 对于④：由②可得，方程的根为和， ∵方程有两个不相等的整数根，且为正整数， ∴为不等于的正整数，即为的正因数，且， ∴，故④正确； 对于⑤：∵， ∴， ∴， 设， ∴与成二次函数关系， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵当时，， ∴， ∵， ∴与成反比例函数关系， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵随的增大而减小， ∴随的增大而增大，故⑤正确； 综上，正确的结论为①③④⑤． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，利用一面墙（墙长），用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，且，根据矩形面积等于48，列出一元二次方程即可求得． 【详解】解：设，则， ， 即， 解得， 又， 即， ， ． 19. 已知． （1）化简； （2）若，为一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，约分，即可得出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入（1）中化简后的式子，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵，为一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 20. 如图，是等边三角形内一点， （1）尺规作图：将线段绕点顺时针旋转得到线段（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的基础上，连接，，，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作，以A为圆心，为半径作弧，交于点Q即可； （2）证明，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可，根据，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根； （2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论a取任何实数，此方程总有实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）求出方程两根，，因为方程有一个根大于3，所以，解得：a＜－2． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于3， ∴，解得：a＜－2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式，公式法解一元二次方程． 22. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米时） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（米） 0 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2.1 （1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； （2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为19米，已知这条高速公路限速100千米时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 【答案】（1）如图， （2） ； （3）没有超速 【解析】 【分析】（1）依题意描点连线即可． （2）设抛物线为，解出a，b即可． （3）当时，代入函数关系式解出y，比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数． ∵图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取和代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． 代入各点检验，各点均满足所求表达式． 【小问3详解】 解：∵当时，，    ∴汽车没有超速行驶． 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 24. 已知点E为边长为2的正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，若，则______，若，则______． （2）如图2，将线段绕点D顺时针旋转到，连接，延长交于点M，探究线段，的数量关系，并证明． （3）在满足（2）条件下，点O是线段的中点，求线段的最小值． 【答案】（1）， （2）， 证明：连接，过点作交延长线于点， ∵四边形是正方形 ∴ ∴， 由旋转可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质以及等腰三角形的性质求解即可； ②可得均是等腰三角形，则结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可； （2）连接，过点作交延长线于点，先证明，然后导角证明是等腰三角形，再证明即可； （3）连接，则是的中位线，故，可得，由于，那么，故当点三点共线时，取得最小值，即取得最小值，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴， ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴； ②∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ 由旋转可得， ∴ ∴ ∵在正方形中， ∴ ∵ ∴ ∴当点三点共线时，取得最小值，即取得最小值， ∵， ∴ ∴的最小值为， ∴的最小值为． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； （2）已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 【答案】（1）①② （2）或 【解析】 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由，的抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），得与线段有且只有一个点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点 ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴令，则， ∴点A坐标为， ∵过点作轴，与抛物线交于点 当时，即， 即 ∴，， ∴， ②∵ ∴抛物线开口向下，顶点坐标为 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴时，为最大值， 即 ∴ 解得（舍）或； Ⅱ．当时，则在中，时，y的最大值为，不合题意， 综上所述，t的值为； 【小问2详解】 解：依题意，抛物线 ∴抛物线的对称轴为，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时 即： ∴ 解得 Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为 ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得： 综上，a的取值范围是或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，解不等式组，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $