思维拓展第九讲同余与余数问题（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

第09讲 同余与余数问题 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 物品每七个装一盒，剩余几个，与整盒有多少盒是两件事。两个大数相加或相乘时，整盒的部分仍能整盒分掉，结果的余数常只由原来的零散部分决定。遇到大指数和多种分组条件，就把“剩下什么”当作线索。图中演示每次将余数乘后再除以取余的变化，从余出发又会回到余。 知识梳理 除数为正整数时，余数从到“除数减”。算出的余数若太大，要继续除；若出现负数，可先补上除数的若干倍再化成允许的余数。 求和、差、积的余数，可以先用各自余数计算，再对同一除数取余。例如整盒相乘和整盒乘零散部分，都仍是整盒的数量。 乘方的余数可以按次序列出。一旦回到相同的余数，后面的变化也会重复；用指数除以周期长度，定位对应位置。 多种余数条件同时成立时，可先按一种条件有序列数，再检查另一种条件；若每种都差相同数量能整除，就先补上这部分。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 除以余，除以余，求除以的余数。 跟踪1 【模拟练习】 相同条件下，除以余几？ 例2 【模拟练习】 正整数，除以余。求除以的余数。 跟踪2 【模拟练习】 正整数除以余。求除以的余数。 例3 【模拟练习】 求除以的余数。 跟踪3 【模拟练习】 求除以的余数。 例4 【模拟练习】 在至之间，找出除以余、除以余的所有整数。 跟踪4 【模拟练习】 找出小于、除以余且除以余的所有正整数。 例5 【模拟练习】 是否存在整数，除以余、除以余？说明理由。 跟踪5 【模拟练习】 一个正整数除以余、除以余，求最小可能值。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 小华写，就说除以的商是、余数是。哪里有问题？ A2 【模拟练习】 一个整数除以余，除以余几？反过来是否也总成立？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 求除以的余数。 B2 【模拟练习】 能否被整除？不求完整乘积，说明理由。 B3 【模拟练习】 求除以的余数。 B4 【模拟练习】 不计算完整乘积，判断由数字连续写两遍组成的六位数能否被整除。 B5 【模拟练习】 两个整数的平方和能否除以余？说明理由。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 一个正整数除以余、除以余、除以余，求最小可能值。 C2 【模拟练习】 正整数使除以余。求最小的，并说明以后符合条件的如何排列。 C3 【模拟练习】 求除以的余数。 真题拓展 真题1 【真题改编】 先求的次方，再把所得的数连续相乘个，所得结果的个位数字是多少？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 同余与余数问题 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 除以余，除以余，求除以的余数。 解析：先用余数计算，，再除以，余。 跟踪1 【模拟练习】 相同条件下，除以余几？ 解析：，除以余。 例2 【模拟练习】 正整数，除以余。求除以的余数。 解析：从余数中减不够，可先加再减，，所以余。 跟踪2 【模拟练习】 正整数除以余。求除以的余数。 解析：用余数代替计算，，除以余。 例3 【模拟练习】 求除以的余数。 解析：的连续正整数次幂除以，余数依次为，周期为。余，对应余数。 跟踪3 【模拟练习】 求除以的余数。 解析：余数依次为，周期为。指数是的倍数，对应周期最后一位，余。 例4 【模拟练习】 在至之间，找出除以余、除以余的所有整数。 解析：先从满足除以余的数中查找，得到。它们每次增加；向前退一次为，向后加一次为，均已超范围。 跟踪4 【模拟练习】 找出小于、除以余且除以余的所有正整数。 解析：按除以余列数检查，得。同时满足的数每次相差，前后均不再符合范围。 例5 【模拟练习】 是否存在整数，除以余、除以余？说明理由。 解析：除以余的整数是奇数；除以余的整数是偶数。同一个整数不能既奇又偶，所以不存在。 跟踪5 【模拟练习】 一个正整数除以余、除以余，求最小可能值。 解析：除以余的正整数依次为，其中第一个除以余的是。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 小华写，就说除以的商是、余数是。哪里有问题？ 解析：等式成立，但余数必须小于。把再分成，正确为商、余。 A2 【模拟练习】 一个整数除以余，除以余几？反过来是否也总成立？ 解析：除以余，因为是的倍数。反过来不总成立，例如除以余，但除以余。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 求除以的余数。 解析：和为，数字和为，所以除以余。 B2 【模拟练习】 能否被整除？不求完整乘积，说明理由。 解析：两因数除以分别余与，乘积与同余，故能被整除。两个因数自己都不能被整除，并不妨碍乘积可以。 B3 【模拟练习】 求除以的余数。 解析：按位值写为。两部分使用余数得，再除以，余。 B4 【模拟练习】 不计算完整乘积，判断由数字连续写两遍组成的六位数能否被整除。 解析：这个数为，而，所以它能被整除。 B5 【模拟练习】 两个整数的平方和能否除以余？说明理由。 解析：偶数的平方除以余，奇数的平方除以余。两个平方相加只可能余，因此不可能余。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 一个正整数除以余、除以余、除以余，求最小可能值。 解析：每个余数都比除数小。将原数加，得到的公倍数，最小为，所以原数为。 C2 【模拟练习】 正整数使除以余。求最小的，并说明以后符合条件的如何排列。 解析：的正整数次幂除以的余数循环为，周期为。第一次余在，以后每隔出现一次，所以。 C3 【模拟练习】 求除以的余数。 解析：除以余，除以也余。是的倍数，所以两项各余，和除以余。 真题拓展 真题1 【真题改编】 先求的次方，再把所得的数连续相乘个，所得结果的个位数字是多少？ 解析：所求为。的正整数次幂个位数字按循环，周期为。能被整除，因此指数是的倍数，个位数字是。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $基本范围 余数从零到除数减一 乘方循环 找出余数重复的周期 和差与乘积 先求各部分的余数 余数问题 多个条件 有序列举或凑成整除