精品解析：湖北省黄石市有色第一中学2027届高三上学期10月份考试数学试卷

高三（10月）质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集运算求解，可判断的元素个数. 【详解】因为集合， 集合， 所以， 所以的元素个数为5. 故选：C 2. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 3. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 4. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B 5. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解 【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析： ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与 相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与 相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法， 若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B． 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题 使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 6. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出的对称中心为，的对称中心为，由题意得到，求解即可. 【详解】令，得， 所以函数的对称中心为， 又函数的对称中心为， 函数的对称中心与函数的对称中心重合， 所以，即， 故选：D 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数 进而利用单调性即得. 【详解】，， 构造函数且 当时,此时; 当时,此时. 故当单调递减,当单调递增. 故 故 又 即 故 故选: B 8. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件求各边的长及，再在中用余弦定理求得与的关系，即可得解. 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查复数的相关知识； A选项，考查复数的除法运算，分子分母同乘即可； B选项，考查共轭复数，实部相等，虚部互为相反数； C选项考查复数的模长公式，，代入计算即可； D选项，考查复数的除法运算以及纯虚数的定义，计算得，实部为0，所以为纯虚数. 【详解】对于，A正确； 对于，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，为纯虚数，D正确. 10. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 11. 在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（ ） A. 平面 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D. 当时，四面体外接球体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A根据线面平行的判定定理证明即可；选项B先求出平面的法向量，再根据线面角求出和的关系，进而确定点的轨迹；选项C求出点到直线的距离与点到平面的距离，结合已知条件求解即可；选项D根据球心到已知点的距离等于球的半径列方程组求解即可. 【详解】选项A：，为中点. 连接，交于点，则为中点，所以. 又平面，平面，平面.故A正确. 选项B：以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 正方体中，易知平面的法向量为， 因为，，，， 所以，则，. 设与平面所成角为（）， 则，即， 又，，，， 所以，即. 因为，所以点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆在平面上四边形内的部分（含与四边形的交点），其长度为.故B错误. 选项C：由选项B知，点到直线的距离为1. 又，所以点到平面的距离为. 若点满足到直线与到平面的距离相等，则，即，此时，所以满足条件的点有1个（与点重合），故C错误. 选项D：当时，，又，，， 设四面体的外接球球心坐标为，半径为，则 ，解得. 所以外接球的体积为.故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准方程，判断焦点位置，求出焦准距，即得准线方程. 【详解】由可得，则抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 解得，故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，再利用正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故答案为：. 14. 在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】作平面于点，连接，确定四边形为矩形，根据余弦定理即可得，进而得球的半径，即可计算球的表面积. 【详解】如图，作平面于点，连接， 平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 平面，所以，同理得， 四边形为矩形，，则， 在中，, 由余弦定理得， 即， 解得， 设三棱锥外接球的半径为， 则三棱锥外接球即为四棱锥外接球,即为以为棱长的长方体的外接球， 故由得，解得， 所以球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和，等比数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及与的关系求出，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论得出，再利用分组求和、裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 当时，， 显然满足上式，则. 设等比数列的公比为， 因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由， 则 . 16. 如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：取BC的中点F，连接EF,OF. ∵E,O分别为DB,AC的中点， ∴EF∥DC，OF∥AB. 又∵AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,∴OF⊥BC. EF∥DC, 又平面, 平面. 平面, . （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面， ，故， 又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. . 则， . 设平面的法向量为， 则 令，则，. 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. （1）若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； （2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 【答案】（1）； （2）7. 【解析】 【分析】（1）求出的所有可能值及各个值对应的概率，再求出期望. （2）利用互斥事件的概率公式，求出第位成员闯过第二关的概率，再列出不等式求解即得. 【小问1详解】 依题意，的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 【小问2详解】 令，若前位玩家都没有通过第一关测试， 其概率为， 若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试， 则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，第位玩家通过第一关测试， 但没有通过第二关测试，其概率为， 第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试，其概率为， 所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： ， 因此第位成员闯过第二关的概率， 由，得，解得，则，所以. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 18. 已知椭圆的离心率为，是上的点. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【小问1详解】 已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）略 19. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 【答案】（1），. （2） （3）92 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性，得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算 求对勾函数最值即可求解根； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【小问1详解】 . 令，，则，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 ，即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则， 由对勾函数的性质知在上单调递减， 又，所以， 则的最大值为，故. 【小问3详解】 令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三（10月）质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 3. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C. 9 D. 16 4. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 6. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 10. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 11. 在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（ ） A. 平面 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D. 当时，四面体外接球体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程是_______． 13. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 14. 在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和，等比数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值. 17. 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. （1）若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； （2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 18. 已知椭圆的离心率为，是上的点. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 19. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $