精品解析：吉林长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2026-2027学年八年级上学期数学练习（2026.10.13）

八年级数学练习 2026.10.13 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. 2.2 D. π 2. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中的真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 垂线段最短 C. 若a，b满足，则 D. 同位角相等 6. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 7. 如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的平方根是_______． 10. 一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 11. 数轴上点和点对应的实数分别为和，则、两点之间的距离是______． 12. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，，则的周长是______． 13. 如图，，经过点A，，则的度数为_____________． 14. 如图，△两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且∥，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中正确的是_________． 三、解答题（本题共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 在一块边长m的正方形空地的四角均留出一块边长m的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪．问：草坪的面积有多大？ 18. 已知：，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M为顶点的等腰三角形． （2）在图②中，找一个格点N，画出，使与全等． 20. 如图，已知四边形是梯形，，，，垂足为E． （1）求证：； （2）若，则的度数为______°． 21. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式：有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴， 解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）若，则______． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 22. 【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” （1）【解决问题】计算：______；______；______；以上计算结果均______（填“是”或“不是”）8的倍数； （2）设奇数为（n为整数），请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； （3）【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______的倍数． 23. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第102页的部分内容． 2．线段垂直平分线： 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如下图，直线是线段的垂直平分线，点P是上任意一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．于是有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如下图，，垂足为点，，点P是直线上的任意一点． 求证： 分析：图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．请写出完整的证明过程． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，请你用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点E，垂足为D，连接．若的周长为36，，则的长度为______． （3）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为24，则的最小值是______． 24. 综合实践 （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，且．点B，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接．判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，且顶角．点B，D，E在同一条直线上，请直接写出的度数为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习 2026.10.13 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. 2.2 D. π 【答案】D 【解析】 【详解】解：整数、分数、有限小数均属于有理数． 是整数，是分数，是有限小数，三者均为有理数． 是无限不循环小数，是无理数． 2. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项利用算术平方根定义计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 3. 某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：设正方形花坛的边长为． ∵正方形花坛的面积为， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方运算法则，逐一计算四个选项，判断正误． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项错误． ，故C项正确． ，故D项错误． 5. 下列命题中的真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 垂线段最短 C. 若a，b满足，则 D. 同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，垂线段最短，绝对值的意义，平行线的性质，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；由垂线段最短可判断B；根据绝对值的意义可判断C；根据平行线的性质可判断D． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、垂线段最短，原命题是真命题，符合题意； C、若a，b满足，则，原命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 6. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 7. 如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹可得平分，，然后根据全等三角形的性质和角平分线的性质逐项证明判断即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，， ∴， ∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意． 8. 如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用“”得到，则，然后利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于和的关系式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方体的棱长与体积的关系，解决本题的关键是熟练掌握正方体的棱长与体积的关系． 根据正方体的体积公式，体积扩大倍数与棱长扩大倍数的关系可通过立方根求解，由此可得结论． 【详解】解：设原正方体棱长为a，则体积为． 体积扩大为原来的1000倍，新体积． 设新棱长为，则， 因此． ∴棱长扩大为原来的10倍． 故答案为：10． 11. 数轴上点和点对应的实数分别为和，则、两点之间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】数轴上两点间的距离等于两点对应实数差的绝对值，先比较两数大小，再作差化简计算即可 【详解】解：∵数轴上点和点对应的实数分别为和，， ∴、两点间的距离为 ． 12. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明，，将的周长转化为求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， ∵，， ∴的周长． 13. 如图，，经过点A，，则的度数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据全等三角形的性质得到，再由等边对等角得到，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，△两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且∥，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中正确的是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，关键是由角平分线的性质的性质推出． 过作于，由角平分线的性质推出， ， 得到， 推出点在的平分线上，由平行线的性质推出， ， 由角平分线定义得到， 因此，推出， 由角平分线定义得到由三角形的外角性质得到，， 求出，由三角形内角和定理得到的度数即可解题． 【详解】过作于， ∵平分，平分， 于点，于点， ∴， ， ∴， ∴点在的平分线上，故①②符合题意； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ∵平分， 平分， ， ∵， ， ， ， 故③不符合题意， ∴其中正确的是①②④， 故答案为： ①②④． 三、解答题（本题共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算算术平方根、立方根、乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算加减． （2）利用多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法与公式法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用公式法进行因式分解； （2）先提取公因数，再利用公式法进行因式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 在一块边长m的正方形空地的四角均留出一块边长m的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪．问：草坪的面积有多大？ 【答案】 【解析】 【分析】用大正方形的面积减去小正方形的面积得出草坪的面积即可． 【详解】解：草坪的面积为： ． 18. 已知：，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将所求代数式转化为含已知、的组合形式，代入数值计算． （2）先计算的取值，再开平方得到的结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 因此 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M为顶点的等腰三角形． （2）在图②中，找一个格点N，画出，使与全等． 【答案】（1）解：如图，即为所求；（答案不唯一） （2）解：如图即为所求 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，画图即可； （2）利用画出即可，找格点，使​，； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知四边形是梯形，，，，垂足为E． （1）求证：； （2）若，则的度数为______°． 【答案】（1）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． （2）29 【解析】 【分析】（1）根据，得到，利用证明全等即可． （2）根据，得到，结合，计算，利用直角三角形两个锐角互余，计算，计算即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 21. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式：有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴， 解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）若，则______． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】（1） （2） 另一个因式为，的值为 【解析】 【分析】（1）展开等式右侧的因式乘积，对比多项式对应系数求出，，再计算的值； （2）设另一个因式为，利用多项式相等时对应系数相等列方程求解． 【小问1详解】  解：∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式为，的值为． 22. 【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” （1）【解决问题】计算：______；______；______；以上计算结果均______（填“是”或“不是”）8的倍数； （2）设奇数为（n为整数），请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； （3）【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______的倍数． 【答案】（1）8，24，48，是； （2）设这个奇数为， 则有， 又因为为两个连续整数， 故其中必有一个是2的倍数， 所以，能被8整除； （3）2 【解析】 【分析】（1）计算出结果，即可得出结论； （2）设这个奇数为，计算的结果即可； （3）设这个奇数为，计算的结果即可． 【详解】解：（1）；；； ；；； 所以，以上计算结果均是8的倍数； 故答案为：8，24，48，是； （2）略 （3）设这个奇数为， 则有， 所以，任意奇数的平方加上1后都一定是2的倍数． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 23. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第102页的部分内容． 2．线段垂直平分线： 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如下图，直线是线段的垂直平分线，点P是上任意一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．于是有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如下图，，垂足为点，，点P是直线上的任意一点． 求证： 分析：图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．请写出完整的证明过程． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，请你用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点E，垂足为D，连接．若的周长为36，，则的长度为______． （3）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为24，则的最小值是______． 【答案】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：由题意，作图如下： 22 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据线段垂直平分线的性质定理证明，的周长转化为的长，求解即可； （3）根据等腰三角形的三线合一性质，可知是的垂直平分线，进而得到，推出当点在线段上时，，值最小，再根据垂线段最短结合三角形的面积公式求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵的周长为36，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∵点为上一点， ∴当时，最小， 此时的面积， ∴， ∴的最小值是． 24. 综合实践 （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，且．点B，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接．判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，且顶角．点B，D，E在同一条直线上，请直接写出的度数为______． 【答案】（1）①120；② （2）解：，理由如下： 和都是等腰直角三角形，为中边上的高， ，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）180 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，，进而得到，从而得，由全等三角形的性质得出，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案； 【小问1详解】 解：①和都是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； ②， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是等腰三角形，， ， ， 同（1）（2）可得，， ， ， 是等腰三角形，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $