2026-2027学年沪科版八年级数学上册期中测试卷

2026-2027学年沪科版八年级数学上册期中测试卷 测试范围：第11章平面直角坐标系~第13章三角形中的边角关系、命题与证明 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.根据下列表述，能确定准确位置的是() A.迎凤路 B.万达影城1号厅3排 C.北纬30°40'，东经10404 D.南偏东40° 2.下列各曲线中表示'是x的函数的是() B 3.如图，在△ABC中，∠I=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E,F为AB上的一点， CF⊥AD于点H,下列判断错误的是(） B A.AG是△ABE的角平分线 B.CH为△ACD边AD上的高 C.BE是△ABC边AC上的中线 D.AH为△AFC的高线 4.如图，直线a,b被直线c所截，下列命题为真命题的是() 试卷第1页（共3页） A.当∠1=∠2时，a/lb B.当∠1+∠2=90°时，a/b C.当al/b时，∠1=∠2 D.当al/b时，∠1+∠2=180° 5.下列说法正确的是() A.点4(-a-6+-定在第三象限 B.点(-2,3)到y轴的距离为3 C.若P(x,)中x、y满足y=0,则点P在坐标轴上 D.若x+y=0,则点P(x,)一定在第一、第三象限角平分线上 6若点4.-)，B,-2)在一次西数=-2x+m（m是常数)的图象上.则5，的大小关系是 () A.>5 B.龙> C.= D.无法确定 7.当3≤x≤5时，函数y=-4a(a≠0，a为常数)有最大值8，则a的值为() A.8 B.2 C.-8 D.8 8.如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点 A(1,1) 4(亿，-).42,0），A(2,-2)…按照此规律，则点的坐标为(） 15x A.(1013,-1013) B.(1013,1013) C.(2026,-2026) D.(2026,2026) 9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE 于点H.下列结论： 0Sae=5aa:@AFG=∠4GF,gEBC=∠HCB,④4G=2L4CF,其 中错误的是() 试卷第2页（共3页） G A.① B.② C.③ D.④ 10.如图①，ABCD中，AB=4cm,∠D=150°，两动点M,N同时从点A出发，点M在边AB上以 2cms的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D一C一B的路径匀速运动，到达点B时停止运 动.△AMN的面积 S(m)与点V的运动时间t(s)的关系图象如图②所示.有下列说法： ①点N的运动速度是lcm/s: ②AD的长度为3cm;③a的值为7； ④当S=lcm时，t的值为v2, 其中正确的个数() D B 2 ① ② A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11.在直角坐标系中，第三象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则P的坐标为 12.己知一次函数'=mr-2(m≠0 ,'随*的增大而减小，则点P(”m所在象限为第 象限 13.如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠A=30°，点D是AC上一点，将△ABC沿BD折叠，使C点落 在AB边上的点C'处，则∠ADC'= 试卷第3页（共3页） B m,n) 14.将自然数从1开始，按如图所示的规律排列，规定图中第行、第n列的位置记作 如自然数 (2,3) 8的位置是 则自然数17 的位置记作 5 24 12 16-15-14-13 2 17-18-19-20-21 1y=-x+ 15.在直角坐标系0中，直线： 与x轴、y轴分别交于点4，点B,直线： y=mx+m(m>0)与交于点E,点E坐标为 m）.点P在直线上，若5m=3,则点P的坐标 V个 B D A 16.如图，△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，CD=2AD,AE=BE,BD与CE交于点O,若 BC=10S四边形ADOE= ,则MB长的最小值为 0 试卷第4页（共3页） 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分) 17.已知△ABC的三边AB=c,AC=b,BC=a, 四t简：a-b-c+b-c-a+c-a- (2)如图，∠CAB=90°，AD,AE分别是△ABC的高，中线，若a=10,b=8,c=6, ①求△ABE的面积： ②若EF⊥AC于点F,则EF的长是 18.如图是由边长为1的小正方形组成的4×8网格，点A,B,C均在小正方形的顶点上. C B (I)画出△ABC的BC边上的高AD.· (2)画出△ABC的AC边上的中线BE. 19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数'=+b的图象经过点 (-2,6 ,且与x轴相交于点B,与正 比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1. v=3x y=kx+b (1)求一次函数解析式： 试卷第5页（共3页） kx-y=-b (2)直接写出方程组3x-y=0的解： (3)若点P在线段BC上，且满足Sac=4 4，求点D的坐标。 m=2a+1 20.在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)和点Q(m,n),若满足：n=3b-2,则称点P的“美好点”为 点Q」 (1)① P(-,4)的“美好点”坐标是 ②若点P的“美好点”为 0(5,7 ,则点P的坐标是 (2)若点 P(a,2a-1) 的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标， 21.为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、 乙两种型号的视力训练仪.已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3 台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元. (1)求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练 仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲型号的视力训练仪多少台时花 费最少？最少花费是多少元？ 22.解答下列各题 (L)如图1，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,若∠A=&,则∠E一 (用 含的式子表示) B 图1 ②如图2.∠ACD是1BC的外角，∠ABC和∠4CD的三等分线BECB相交于点E(∠BD=ABC, ∠BCD=ACD),若A=a,则∠B (用含a的式子表示) 试卷第6页（共3页） E D C 图2 (3)在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三等分线与∠C的外角的三等分线交于点D,请直接写出 ∠BDC的度数， (4如图3，∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B=a、∠C=B.∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN 相交于点N(∠CDN-写ADC,∠BMN=写EB),求证：∠N-a+)-120. B D A E 图3 2。如图0。在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A的坐标为50) ,将40先向上平移4个单位长 度，再向左平移3个单位长度得到对应线段BC.连接AB,AC,OC. y A x 图① 图② (1)点B的坐标为 ,点C的坐标为 (2)求四边形ABCO的面积： (3)在x轴上是否存在一点D,使得三角形ABD的面积等于三角形AOC面积的一半？若存在，请求出点 D的坐标，若不存在，请说明理由： (④)如图②，若P是射线AB上的一个动点，连接OP,PC,当点P在射线AB上运动时，请直接写出 ∠CPO,∠BCP,∠AOP之间的数量关系 试卷第7页（共3页） 24.如图1，在平面直角坐标系O少中，直线AB:y=x+4交x轴于点A,交y轴于点B. ①四将直线1B向上平移> )个单位得到直线CD,分别交x轴于点C,交'轴于点D ①若3OA=2OC,求直线CD的解析式： ②直线CD上是否存在点E,使△ABE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有t值及对应点E的坐标： 若不存在，请说明理由： (②将直线4B向上平移得到直线，如图2，点M(m-m-3m+4),N(an-3n+)(m<m)在直线1 上，连接AN,BM交于点Q,求点Q的横坐标 试卷第8页（共3页） 2026-2027学年沪科版八年级数学上册期中测试卷 测试范围:第11章平面直角坐标系三角形中的边角关系、命题与证明 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．迎凤路 B．万达影城1号厅3排 C．北纬，东经 D．南偏东 【答案】C 【详解】解：A、迎凤路为整条道路，覆盖范围大，无法确定准确位置； B、万达影城1号厅3排，缺少具体座位号，无法确定准确位置； C、北纬，东经，经纬度两个数据可唯一确定地球表面的对应位置； D、南偏东，仅给出方向，缺少观测点与距离，无法确定准确位置． 2．下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：观察图像可知，选项A、B、D，存在的值，有2个值与之对应，故不是的函数，即A、B、D不符合题意； 选项C，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意． 3．如图，在中，，为的中点，延长交于点，为上的一点，于点．下列判断错误的是（     ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴是的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵， ∴为边上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵为的中点， ∴是边上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵， ∴为的高线，故本选项结论正确，不符合题意． 4．如图，直线，被直线所截，下列命题为真命题的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示，， A、当时，，此时不能得到，原命题是假命题，不符合题意； B、当时，，此时不能得到，原命题是假命题，不符合题意； C、当时，，则，不能得到，原命题是假命题，不符合题意； D、当时，，则，原命题是真命题，符合题意． 5．下列说法正确的是（     ） A．点一定在第三象限 B．点到轴的距离为 C．若中、满足，则点在坐标轴上 D．若，则点一定在第一、第三象限角平分线上 【答案】C 【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于横坐标的绝对值对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A： ，， 点横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限， 故选项A错误； 选项B：平面直角坐标系中点到轴的距离是这个点的横坐标的绝对值， 点到轴的距离为， 故选项B错误； 选项C：， 或，点在轴或轴上，即点在坐标轴上， 故选项C正确； 选项D：， ， 点在第二、第四象限角平分线上， 故选项D错误． 6．若点，在一次函数（是常数）的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将两点坐标代入一次函数解析式，分别表示出、，通过作差比较二者大小． 【详解】解：将代入，得， ∴， 将代入，得， ∴， ∵， ∴，即． 7．当时，函数（，为常数）有最大值8，则的值为（     ） A．8 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】一次函数在给定闭区间上的最值在端点处取得，需分和两种情况讨论最大值对应的值． 【详解】解：是一次函数，， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴时，取得最大值8， 代入得，解得，符合条件， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴时，取得最大值8， 代入得，解得，符合条件， 综上，的值为． 8．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察，，，…，可得（为偶数），由此规律即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，，，，…， ∵，，，…， ∴观察可得，（为偶数）， ∴点的坐标为，即． 9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据是的中线得和等底同高，据此对结论①进行判断； 由，，，，可对结论②进行判断； 连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，可得，又因为，所以，进而得，根据已知条件不能确定，据此对结论③进行判断； 由已知得，，，据此对结论④进行判断； 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴． 故得结论①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故得结论②正确； 连接，如图： ∵是高，是中线， ∴点是斜边上的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 假设成立 ∴， 此时， 根据已知条件不能确定， 因此假设不成立． 故得结论③不正确； ∵，是角平分线，是高， ∴，，， ∴， 即． 故得结论④正确； 综上所述，错误的是③． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、高和中线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质，运用三角形的内角和定理列出角的等量关系，利用角平分线和直角三角形的性质进行角的等量代换是解题的关键，注意直角三角形斜边上的中线和三角形中线的区别． 10．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．在直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是，到轴的距离是，则的坐标为________． 【答案】 【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点，结合点到坐标轴的距离等于对应横纵坐标的绝对值，即可求出点的坐标． 【详解】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 点横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标和纵坐标均为负数， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 12．已知一次函数，随的增大而减小，则点所在象限为第________象限． 【答案】四 【分析】先根据一次函数的增减性得到的符号，再判断点横纵坐标的符号，即可确定其所在象限． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴，对于点， ∵， ∴， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限． 13．如图，在中，，，点是上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则___________ 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则由折叠的性质可得的度数，由平角的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 14．将自然数从1开始，按如图所示的规律排列，规定图中第m行、第n列的位置记作，如自然数8的位置是，则自然数的位置记作_______． 【答案】 【分析】观察寻找规律，总结规律即可． 【详解】解：由图观察可知，奇数列每列第1个数恰好是奇数的平方，，，， 偶数列第1个数刚好是前一列的第一个数字加1，，， 偶数列整个数列都是从上往下进行数字的排列， ，第列第1个数是， 第列第1个数是， 从数到刚好是第个数， 所以在第行，第列，记作． 15．在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与交于点E，点E坐标为．点P在直线上，若，则点P的坐标________________． 【答案】 或 【分析】先确定直线的解析式，再求出点的坐标，设点的坐标，利用铅垂高法表示面积建立方程求解； 【详解】解：点在直线：上， ，即， 点在直线：上， ，解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， ， 设点的横坐标为，则， 过点作轴交直线于点，则， ， ， ， ， 或， 解得或 ， 当时，，即， 当时，，即， 点的坐标为或． 16．如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．已知的三边，，． (1)化简：； (2)如图，，，分别是的高，中线，若，，， ①求的面积； ②若于点，则的长是_______． 【答案】(1) (2)①12；②3 【分析】（1）利用三角形三边的不等关系及绝对值的性质即可求解； （2）①利用面积关系求出的长，即可求解； ②利用中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：①， ∴， ∵是的中线， ∴ ②∵， ∴； 18．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数解析式； (2)直接写出方程组的解； (3)若点在线段上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正比例函数表达式求出交点，将两个点坐标代入一次函数即可； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）先由题意算出一个三角形的面积，根据等式即可求出答案．一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点，点的横坐标为， ∴，即点的坐标为． 把点，点代入一次函数解析式得， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：方程可变形为， 方程可变形为， 因此，方程组的解就是一次函数和正比例函数图象的交点坐标， 故方程组的解是． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， 设点的坐标为， 则由得 ， 解得， ∴点的坐标为． 20．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是__________； (2)若点的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于轴上这一条件进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ， ∴点的“美好点”坐标是； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在轴上， 解得：， 这个美好点的坐标为． 21．为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪．已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元． (1)求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元 (2)购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元 【分析】（1）设甲型视力训练仪的单价为元，乙型视力训练仪的单价为元，根据题意列出方程组计算即可； （2）设购买甲型视力训练仪台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，再根据总价=单价×数量，结合折扣情况列出一次函数，根据一次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：设甲型视力训练仪的单价为元，乙型视力训练仪的单价为元， 根据题意，得， 解得， 所以甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元； （2）设购买甲型视力训练仪台，则购买乙型视力训练仪台，购买甲型和乙型视力训练仪共花费元， 根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时（元）， 所以购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元． 22．解答下列各题 (1)如图1，是的外角，平分，平分，若，则_________（用含的式子表示） (2)如图2，是的外角，和的三等分线、相交于点（，），若，则_________（用含的式子表示） (3)在中，，，若的三等分线与的外角的三等分线交于点，请直接写出的度数． (4)如图3，是四边形的外角，设、．和的三等分线、相交于点（，），求证：． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或或或. (4)证明: 如图， 延长,相交于点， ∵和的三等分线、相交于点， ∴，， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】(1)根据三角形外角的性质,结合已知得，，再根据角平分线定义得，，进一步等量代换即可得． （2）根据三角形外角的性质,结合已知得，，再根据和的三等分线、相交于点，得，，等量代换即可得． （3）分别讨论①当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，②当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，③当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，的度数，再说明当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时， 进一步综合即可得答案． （4）延长,相交于点，根据和的三等分线、相交于点，得，，再根据是的外角，是的外角，得，，等量代换即可得，再根据是的外角，结合平角定义和已知条件即可得，进一步等量代换即可证明． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵和的三等分线、相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如下图，当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，则：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． ②如下图，当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，则：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为． ③如下图，当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时，则：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴    ， ∴的度数为． ④如下图， 当的三等分线与的外角的三等分线交于点，，时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴    ， ∴的度数为． 综上所述，的度数为或或或. （4）略 23．如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)如图②，若是射线上的一个动点，连接，，当点在射线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)20 (3)存在，点的坐标为或 (4)当点在线段上时，；当点在的延长线上时， 【分析】（1）根据坐标的平移法则：左减右加，上加下减，即可得出结果； （2）根据平移的性质，并结合题意计算即可得出结果； （3）由题意可得，，再结合题意求出，从而可得点的横坐标，即可得出结果； （4）分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别结合平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：四边形的面积为； （3）解：由题意可得，， ∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标为或； （4）解：如图，当点在线段上时，过点作轴，则， ∴，， ∴； 如图，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ∴，， ∴； 综上所述，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，． 24．如图1，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点． (1)将直线向上平移t个单位得到直线，分别交轴于点，交轴于点． ①若，求直线的解析式； ②直线上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有值及对应点的坐标：若不存在，请说明理由； (2)将直线向上平移得到直线，如图2，点，（）在直线上，连接，交于点，求点的横坐标． 【答案】(1)①②时，：时，，． (2) 【分析】（1）①先求出点A的坐标，进而可求出点C的坐标，根据平移的性质设的解析式为：，然后把点C的坐标代入即可求出的解析式． ②先求出，然后根据等腰直角三角形的性质分三种情况求解． （2）设出直线的解析式为，点、在直线上，代入解析式，利用韦达定理得到关于的关系，联立直线、的解析式，求解交点的横坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵将直线向上平移t个单位得到直线， ∴， 设的解析式为：， 把代入，得， ∴， ∴的解析式为：． ②设的解析式为：．则， 令，则， ∴， ∵ ∴．， ， 分三种情况求解， 当，，， 即， 则， 解得，为负值的舍去． 则，． 当，，， 即， 则， 解得，为负值的舍去． 则，， 当，，， 则， 则， 解得：，为负值的舍去， 则，， 综上：时，：时，，． （2）解：设直线的解析式为 将，，代入解析式得， ，， 和是方程的两个不同的根， 由韦达定理得：， 设直线的解析式为：， 把，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可求出的解析式为：， 联立两解析式， 整理得： 由得出代入， 得：， 即， 根据题意， 则． 即点Q的横坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $