4.1 指数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 4.1 指数 知识归纳与题型总结 考点01 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数幂中的指数从整数拓展 到了有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 考向01 根式的化简求值 【例1】下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】按根式与分数指数幂的互化规则逐项检验，注意偶次方根的结果非负，即可对四个选项作出判断． 【解答】对于A，，当时，，选项A错误； 对于B，，不是，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，当时，无意义，选项D错误． 考向02 分数指数幂与根式的互化 【例2】计算_________． 【答案】 【分析】由分数指数幂运算性质结合题设可得答案. 【详解】 . 【对点1】（多选）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项用分数指数幂与根式的意义判断，注意时根式与指数幂可以互化. 【详解】A项，由分数指数幂的意义，（），正确； B项，，，两者相等，正确； C项，且时，正确； D项，，不等于，错误. 【对点2】计算求值： (1) (2)若 ，求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算. （2）将已知等式两侧平方，化简计算即可. 【详解】（1）因为，，，， 故原式. （2）由，等式两侧同时平方可得：， 即，故. 考点02 指数幂的拓展 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，ab>0； ②当a≠0时，a0=1，而当a=0时，a0无意义； ③若ar=as(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 考向01 无理数指数幂的化简、求值 【例1】______．（用分数指数幂表示） 【答案】 【分析】先把根式写成分数指数幂，再用同底数幂的乘法法则． 【详解】，， 则． 【对点1】已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，将点代入得， 所以，解得， 所以. 一、单选题 1．若集合，集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且，得，所以.此时，， 故且，得，所以． 2．若实数，满足，则的最小值为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由条件等式利用指数幂的运算得，代入中结合二次函数的性质求最小值. 【详解】实数，满足，即， 设，则有，即， 可得，解得，即，所以， ，当时，有最小值. 3．已知，，且，则的最小值为（     ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】采用换元法化简已知等式，再利用基本不等式求最小值． 【详解】设，则， 可化为， 由基本不等式，故，即， 当且仅当，即时取等号， 综上可得，的最小值为． 4．下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . 5．已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】由，有，所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8． 6．的个位数字为（     ） A．1 B．3 C．5 D．以上选项都不对 【答案】C 【分析】利用任意整数，乘积的个位一定是5这个规律计算即可. 【详解】因为，且对于任意正整数，都有为奇数， 所以. 所以的个位数字为5. 7．已知函数的定义域为，且，，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法，可求出a，b，c的值，利用作商法，可比较a，b的大小，利用作差法，可比较a，c的大小，即可得答案. 【详解】令，得，解得， 令，得，解得， 令，得， 所以，则， 所以，即， 令，得， 所以，则， 则，所以， 令，得，解得， 则， 因为，， 所以， 所以，即，则， 综上，. 二、多选题 8．（多选）若正实数，满足，则（     ） A．的最大值是1 B．的最小值是 C．的最小值18 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】对AB，利用基本不等式求解判断；对C，利用“1”的代换结合基本不等式求解判断；对D，由题可得，，代入消元，利用二次函数求出最值判断. 【详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时取等号，这与已知矛盾， 故等号取不到，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由，，得，， ， 当时，上式取得最小值，最小值为，故D正确. 9．（多选）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 故选：BD. 10．（多选）定义在上的函数同时满足以下条件： ①；②；③当时，， 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先利用条件①②求出等特殊值，验证选项A、B；再通过迭代递推与条件①推导的表达式，验证选项C；最后利用条件②求出与，结合单调性得到的值，验证选项D． 【详解】对于A，因为，所以，即， 因为，所以， A正确； 对于B，因为，所以，解得， 因为，所以，解得，B错误； 对于C，因为， 所以，C正确； 对于D，因为， 且， 所以， 因为当时，，且， 所以，D正确． 三、填空题 11．根式化成分数指数幂是________. 【答案】 【详解】. 12．已知，则__________． 【答案】10 【分析】将已知条件两边同时平方可得，将平方可求﹒ 【详解】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 13．已知a满足，则的值为______. 【答案】2026 【详解】由，得， 因为，所以，故. 14．幂函数的图象经过点，则满足的值等于______. 【答案】 【分析】根据题意，求得幂函数的解析式为，结合，列出方程，即可求解. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即， 又因为，即，解得. 15．已知正数满足，且．记，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】通过换元法将无理方程转化为整式方程，利用因式分解和已知不等式约去公因式，得到与的等量关系，再通过构造一元二次方程，利用判别式和韦达定理求出的范围，进而得到目标函数的取值范围. 【详解】令，，因为为正数，所以，， 由，得，即， 已知方程，代入得 ， 整理得， 因为，令，，则，且， 即， 因为，两边同除以，得， 目标函数， 设，则， 由，得，即， 因为，所以，即， 因为，所以解得， 又因为，所以关于的一元二次方程有两个不相等的正实根， 其判别式，解得， 综上所述，的取值范围为，所以的取值范围为. 四、解答题 16．（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）原式. （2）令，由得，所以，. 分母. 故原式. 17．已知函数． (1)讨论的奇偶性； (2)若，且，求的值域． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数 (2) 【分析】（1）对参数进行分类讨论，先确定不同取值下函数的定义域，依据定义域是否关于原点对称、奇偶函数定义判断即可； （2）先求出时的值域，换元令转化为，平方之后利用二次函数即可求最值. 【详解】（1）当时，，其定义域为，且， 所以为偶函数；    若，的定义域为，， 所以，， 当，即时，，即， 所以为奇函数， 当，即时，，且， 故为非奇非偶函数； 若，由，得，函数的定义域为， 当，即时，的定义域关于原点对称， 此时，所以，所以为奇函数，    当，即且时，此时的定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数．     综上所述，当时，为偶函数；当时，为奇函数； 当且时，为非奇非偶函数． （2）若，则， 因为，所以，所以的值域为， 所以，     令，则，原函数变为，     所以，且，     所以当时，，当时，， 又，所以，， 所以的值域为． 18．计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【详解】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 19．（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 20．（1）求值：； （2）若，求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式= =   = = = （2）由，得， 故， 又 =， 故. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 4.1 指数 知识归纳与题型总结 考点01 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数幂中的指数从整数拓展 到了有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 考向01 根式的化简求值 【例1】下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 考向02 分数指数幂与根式的互化 【例2】计算_________． 【对点1】（多选）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【对点2】计算求值： (1) (2)若 ，求 的值. 考点02 指数幂的拓展 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，ab>0； ②当a≠0时，a0=1，而当a=0时，a0无意义； ③若ar=as(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 考向01 无理数指数幂的化简、求值 【例1】______．（用分数指数幂表示） 【对点1】已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若集合，集合，且，则（　　） A． B． C． D． 2．若实数，满足，则的最小值为（     ） A．2 B．1 C． D． 3．已知，，且，则的最小值为（     ） A．4 B．8 C． D． 4．下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 6．的个位数字为（     ） A．1 B．3 C．5 D．以上选项都不对 7．已知函数的定义域为，且，，记，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（多选）若正实数，满足，则（     ） A．的最大值是1 B．的最小值是 C．的最小值18 D．的最小值是 9．（多选）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 10．（多选）定义在上的函数同时满足以下条件： ①；②；③当时，， 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．根式化成分数指数幂是________. 12．已知，则__________． 13．已知a满足，则的值为______. 14．幂函数的图象经过点，则满足的值等于______. 15．已知正数满足，且．记，则的取值范围是___________． 四、解答题 16．（1）求值：； （2）已知，求的值. 17．已知函数． (1)讨论的奇偶性； (2)若，且，求的值域． 18．计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 19．（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 20．（1）求值：； （2）若，求． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $