精品解析：浙江宁波市慈溪中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

慈溪中学高二上10月月考 一、选择题 1. 直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 2. 如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图及空间向量加减法可得答案. 【详解】由图可得： . 故选：C 3. 若双曲线：的渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知双曲线，则渐近线方程为， 已知渐近线方程为，， 所以，故. 4. 已知直线被圆截得的弦长为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得圆的圆心为，半径为， 直线被圆截得的弦长为，则直线过圆心， 圆心代入直线得，解得. 5. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得的不等式组，解不等式组即可得的取值范围． 【详解】由题意知焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：D. 6. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线，可知，根据抛物线定义，， 由焦点弦公式可得焦点弦. 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的性质及几何关系，先求的，，，，然后在中，结合余弦定理建立关于的等式，最后结合双曲线的离心率求解. 【详解】根据题意，可得双曲线的渐近线方程为， 又，所以，如图所示， 又，所以，所以， 又，， 所以在中，， 又， 所以，化简得， 又在双曲线中，，所以， 整理得，即，所以， 即双曲线的离心率为. 8. 在棱长为4的正方体中，在棱上，，均在棱上，，，底面内有一动点满足，侧面内有一动点满足，点是棱上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用解析几何知识可得点的轨迹是圆，点的轨迹是椭圆，它们到直线上的点的最小距离正好是直线上同一个点，则问题即可求解. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，结合已知条件可得： ，，，， ，设在底面， 由，平方得：  整理配方得：， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆在底面内的部分， 因为直线在底面的方程是，到直线的距离为，要最小化距离， 则取的最大坐标：， 所以到的最小距离为，且垂足为， 又由已知得，，在侧面，满足， 由椭圆定义可知： ，，得，，， 所以点的轨迹是椭圆，且椭圆的中心为，长轴沿方向，短轴沿方向， 在侧面的方程是，到的距离为，的最小值为， 对应，到的垂足也为， 两个垂足重合于， 因此最小值为： . 二、多选题 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. ，的夹角为钝角 B. 与向量同向的单位向量为 C. 在上的投影向量的长度为 D. 存在实数，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积，共线向量、单位向量的坐标表示，投影向量公式，垂直向量的坐标性质求解即可. 【详解】对于A，，所以，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，，， 所以与向量同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量的长度为，故C正确； 对于D，， 若，则，，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（ ） A. 双曲线的焦距为6 B. 点到渐近线的距离为2 C. 的最小值为 D. 若，则的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的性质判断A，利用点到直线的距离公式判断B，利用双曲线的定义判断C，求焦点三角形的面积，可判断D. 【详解】如图： 由双曲线的标准方程，可知，，所以，所以双曲线的焦距为：，故A正确； 双曲线的渐近线为，即，点到渐近线的距离为： ，故B错误； 设双曲线的左焦点为,根据双曲线的定义：， 所以，故C正确； 在中，由，，， 由余弦定理得：， 所以， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 11. 已知曲线，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 对任意，曲线关于轴、轴、原点对称； B. 当时，曲线是由两条直线和一个正方形组成的图形； C. 当时，曲线上任意两点距离的最大值为； D. 当时，曲线围成的区域面积最小值为． 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，将点代入曲线方程中验证即可判断；对于BC，将的值代入曲线方程中，作出函数图象即可判断；对于D，先研究曲线在第一象限的面积，再由对称性得到曲线的完整面积，最后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】对于A，将点代入曲线方程中，方程不变，所以对于任意，曲线关于轴、轴、原点对称，故A正确； 对于B，当时，曲线方程为， 当时，则，故点是曲线上的点，当，时，则曲线方程为， 即，则或者，可得曲线在第一象限的图象，如图所示： 由A选项可知，曲线关于轴、轴、原点对称，故可作出曲线的图象，如图所示： 所以当时，曲线是由两条直线和一个正方形组成的图形，故B正确； 对于C，当时，曲线方程为， 在第一象限，，，则曲线方程为， 整理可得， 此时曲线在第一象限表示圆心为，半径为的圆的一半； 由A选项可知，曲线关于轴、轴、原点对称，故可作出曲线的图象，如图所示： 由图可知，曲线上点和点的距离最大，，故C正确； 对于D，由A选项，利用曲线的对称性，只需研究曲线在第一象限与轴和轴所围成的区域面积， 当，时，曲线方程为， 整理可得，则， 因为，所以，， 则曲线在第一象限与轴和轴所围成的区域为椭圆的一半加一个腰长为1 的等腰直角三角形， 该椭圆的对称中心为，长轴长为，短轴长为， 因椭圆的面积公式为,其中分别是椭圆的长半轴长与短半轴长. 则该椭圆的面积为， 所以曲线围成的区域面积为， 令，，则，，则 因为，所以，则，当且仅当时等号成立， 故 所以当时，曲线围成的区域面积最小值为，故D错误. 三、填空题 12. 椭圆的焦距为______． 【答案】 【解析】 【详解】由椭圆，即， 则，即，则， 所以椭圆的焦距为. 13. 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离：；若内含：， 综上：. 故答案为：. 14. 如图，抛物线的焦点为，过点的直线，与分别相交于，和，，直线过点，设直线，的倾斜角分别为，，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线过定点与抛物线相交，结合韦达定理，找到，，，四点纵坐标之间的数量关系，进而推导出直线与斜率的关系，最后利用两角差的正切公式和基本不等式求最值. 【详解】由题意，设，，，， 因为直线过点与相交于，两点，设， 与抛物线联立，可得， 同理，可求得，， 由，可得；由，可得； 由，可得， 又，， 又，，， 所以，， 所以， 所以， 若，则， 若，则， 若，则， 当且仅当时，等号成立. 综上所述，的最大值为. 四、解答题 15. 已知直线（其中为非零常数）与曲线交于，两点，在点，处的切线分别为和，已知和分别与轴交于点，，与的交点为． （1）求点的横坐标； （2）已知与面积之比为，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，，，利用直线与抛物线并应用韦达定理得，，，设直线并联立抛物线，结合相切关系得，从而得到，，进而求点的横坐标； （2）首先求得的坐标，从而得，再设中点为点，并求出其坐标，结合得，最后结合已知列方程求参数值. 【小问1详解】 设，，， 联立消去得：， 所以，，得， 设直线，与抛物线联立得， 令，得， 直线，即， 同理，直线，解得，， 即，故点横坐标为； 【小问2详解】 由（1）知，令得， 同理，， 设中点为点，，代入，得， ， 所以，且且，解得或. 16. 已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和，且线段的中点分别为，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，定圆. 【解析】 【分析】（1）由离心率、焦点到渐近线距离列方程求双曲线参数，即可得双曲线方程； （2）设，，联立双曲线求，坐标，法一：研究特殊情况得，并猜想直线过轴上一定点，再由特殊到一般思想证明三点共线；法二：根据已知求直线方程，并确定其过定点，进而写出定圆方程. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为，左焦点， 所以，则，又， 所以，得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题设知，设， 则，得，， 所以， 又是的中点，所以， 则，同理， 法一：若，即，即，即， 又，则，此时，此时， 由图形的对称性，猜测直线过轴上一定点. 下面，验证一般性：，， 则，所以三点共线. 综上，直线过定点 所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4. 法二：若，则， 又，所以， 所以直线的方程为， 即，即， 即，所以直线过定点. 若，即，即，即， 又，则，此时，此时也过. 故直线过定点. 所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4. 17. 已知椭圆的短轴长为，左、右焦点分别为、，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点. （ⅰ）求面积最大值； （ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值. 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得，由时，可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程； （2）（i）设点，，则，，求得点的坐标，利用基本不等式可求得面积的最大值； （ii）利用点差法证明得出，由、、三点共线结合斜率公式可得出，代入可计算得出的值，进而可得出结论. 【详解】（1）设，由，得. 将代入，得，即， 由，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，，则，. （ⅰ）为的中点，轴，则， 所以，为的中位线，所以， 所以， 又满足，由基本不等式可得， ， 故，当且仅当， 即，时取等号， 所以面积最大值为； （ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的斜率为，， 、两点都在椭圆上，则， 两式作差得，， 即， 、、三点共线，则， ，. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的求解以及利用点差法证明斜率的定值问题，考查计算能力与推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 慈溪中学高二上10月月考 一、选择题 1. 直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线：的渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线被圆截得的弦长为，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为4的正方体中，在棱上，，均在棱上，，，底面内有一动点满足，侧面内有一动点满足，点是棱上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. ，的夹角为钝角 B. 与向量同向的单位向量为 C. 在上的投影向量的长度为 D. 存在实数，使得 10. 已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（ ） A. 双曲线的焦距为6 B. 点到渐近线的距离为2 C. 的最小值为 D. 若，则的面积为 11. 已知曲线，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 对任意，曲线关于轴、轴、原点对称； B. 当时，曲线是由两条直线和一个正方形组成的图形； C. 当时，曲线上任意两点距离的最大值为； D. 当时，曲线围成的区域面积最小值为． 三、填空题 12. 椭圆的焦距为______． 13. 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 14. 如图，抛物线的焦点为，过点的直线，与分别相交于，和，，直线过点，设直线，的倾斜角分别为，，则的最大值为______． 四、解答题 15. 已知直线（其中为非零常数）与曲线交于，两点，在点，处的切线分别为和，已知和分别与轴交于点，，与的交点为． （1）求点的横坐标； （2）已知与面积之比为，求实数的值． 16. 已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和，且线段的中点分别为，. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 17. 已知椭圆的短轴长为，左、右焦点分别为、，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点. （ⅰ）求面积最大值； （ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $