江苏淮安市金湖县第二中学2026-2027学年高一年级第一学期第二次阶段检测数学试卷

金湖县第二中学高一年级第一学期第二次阶段检测 数学调研试卷参考答案解析与评分标准 一、单项选择题 1．B　　2．C　　3．D　　4．C 5．A　　6．B　　7．A　　8．D 二、多项选择题 9．BC 10．ACD 11．ABD 三、填空题 12． 13．(−∞, 0) 14． 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．已知集合 A={x|−2<x<4}，B={2,3,4,5}，则 A∩B=（　　） A．{2}　　B．{2,3}　　C．{2,3,4}　　D．{2,3,4,5} 【答案】B 【解析】 集合 A 就是区间 (−2, 4)，即 A 由满足 −2<x<4 的所有实数组成（为开区间，不含端点）。 逐一检验集合 B 中的元素是否属于 A：2∈(−2,4)；3∈(−2,4)；4∉A（4 是开区间的端点，不取）；5∉A。 所以 A∩B={2, 3}，选 B。 2．已知命题 p：∃x∈R，x+2≤0，则命题 p 的否定是（　　） A．∃x∈R，x+2>0　　B．∀x∈R，x+2≤0　　C．∀x∈R，x+2>0　　D．∃x∈R，x+2≥0 【答案】C 【解析】 含有存在量词的命题（特称命题）的否定规则：改量词、否结论——把“∃”改成“∀”，同时把结论取反。 所以 ∃x∈R，x+2≤0 的否定是 ∀x∈R，x+2>0。 注意“≤”的否定是“>”（而不是“≥”），选 C。 3．已知函数 f(x) = { −x，x≤−1；x + 2/x − 7，x>−1 }，则 f(f(−2))=（　　） A．2　　B．−2　　C．4　　D．−4 【答案】D 【解析】 先算内层函数值：因为 −2≤−1，所以 f(−2) = −(−2) = 2。 再算外层：因为 2>−1，应代入第二段，所以 f(2) = 2 + 2/2 − 7 = 2 + 1 − 7 = −4。 因此 f(f(−2)) = f(2) = −4，选 D。 4．已知 sin(π−α) = 3/5，α∈(π/2, π)，则 cosα=（　　） A．−3/5　　B．3/5　　C．−4/5　　D．4/5 【答案】C 【解析】 由诱导公式 sin(π−α) = sinα，得 sinα = 3/5。 因为 α∈(π/2, π)，即 α 是第二象限角，所以 cosα<0。 由平方关系 sin²α + cos²α = 1，得 cos²α = 1 − (3/5)² = 16/25， 所以 cosα = −4/5，选 C。 5．已知幂函数 f(x) = (m² + m − 1)x^(m+1) 在区间 (0, +∞) 上是减函数，则实数 m 的值为（　　） A．−2　　B．1　　C．−1　　D．−2 或 1 【答案】A 【解析】 ① 幂函数要求 x 的系数为 1，即 m² + m − 1 = 1，整理得 m² + m − 2 = 0，因式分解得 (m+2)(m−1) = 0，解得 m = 1 或 m = −2。 ② 在 (0, +∞) 上为减函数，要求指数小于 0，即 m + 1 < 0，解得 m < −1。 两个方面同时满足，只有 m = −2 符合，选 A。 6．在△ABC 中，若 sinAcosA = −1/3，则 cosA − sinA 的值为（　　） A．√15/3　　B．−√15/3　　C．5/3　　D．−5/3 【答案】B 【解析】 把要求值的式子平方：(cosA − sinA)² = cos²A + sin²A − 2sinAcosA = 1 − 2×(−1/3) = 1 + 2/3 = 5/3， 所以 |cosA − sinA| = √(5/3) = √15/3。 确定符号：A 是三角形的内角，所以 sinA>0；又已知 sinAcosA = −1/3<0，故 cosA<0（A 为钝角）， 于是 cosA − sinA<0，所以 cosA − sinA = −√15/3，选 B。 7．已知函数 f(x) = x³/(x² + 1)，则函数 f(x) 的大致图象为（　　） 　　　 （四个图象从左到右依次为 A、B、C、D 选项） 【答案】A 【解析】 从函数 f(x) = x³/(x²+1) 的四个特征逐项判断： ① 定义域为 R；且 f(−x) = (−x)³/[(−x)²+1] = −x³/(x²+1) = −f(x)，所以 f(x) 是奇函数，图象关于原点对称。B 图的图象关于 y 轴对称（对应偶函数），排除。 ② 当 x>0 时 f(x)>0，图象在 y 轴右侧位于 x 轴上方；又 f′(x) = (x⁴ + 3x²)/(x²+1)² ≥ 0（仅 x = 0 时为 0），所以 f(x) 在 R 上单调递增，曲线从左到右始终上升。 ③ f(0) = 0 且 f′(0) = 0，曲线在原点附近非常平缓，随着 |x| 增大逐渐变陡（先缓后陡）。C 图在原点处切线几乎竖直、先陡后缓，与本题函数“原点附近平缓”的特征相反，排除。 ④ 因为 f(x) = x·x²/(x²+1)，而 0 < x²/(x²+1) < 1，所以当 x>0 时 0 < f(x) < x，当 x<0 时 x < f(x) < 0，即曲线始终位于直线 y = x 与 x 轴之间；并且当 x 无限增大时 f(x) 也无限增大（无界）。D 图的图象向两侧趋近于水平（函数值有界），与 f(x) 无界矛盾，排除。 综合以上特征，只有 A 图符合，选 A。 8．已知 log₃2 = a，3^b = 5，则 log₁₅√30 用 a、b 表示为（　　） A．(a + b)/(1 + b)　　B．(a + b)/[2(1 + b)]　　C．(1 + a + b)/(1 + b)　　D．(1 + a + b)/[2(1 + b)] 【答案】D 【解析】 条件转化：由 3^b = 5 得 log₃5 = b；又 log₃3 = 1，log₃2 = a。 用换底公式把 log₁₅√30 都化成以 3 为底： log₁₅√30 = (1/2)·log₁₅30 = (1/2)·(log₃30)/(log₃15) 　　　　　= (1/2)·(log₃2 + log₃3 + log₃5)/(log₃3 + log₃5) 　　　　　= (1/2)·(a + 1 + b)/(1 + b) = (1 + a + b)/[2(1 + b)]。 所以选 D。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9．下列结论正确的是（　　） A．−7π/6 是第三象限角　　B．若圆心角为 π/3 的扇形的弧长为 π，则该扇形面积为 3π/2　　C．若角 α 的终边过点 P(−3, 4)，则 cosα = −3/5　　D．若角 α 是锐角，则角 2α 为钝角 【答案】BC 【解析】 A：−7π/6 + 2π = 5π/6，而 π/2 < 5π/6 < π，5π/6 是第二象限角，所以 −7π/6 是第二象限角，A 错误。 B：由弧长公式 l = r|θ| 得 r = l/θ = π ÷ (π/3) = 3；扇形面积 S = (1/2)lr = (1/2)×π×3 = 3π/2，B 正确。 C：由三角函数定义，r = √[(−3)² + 4²] = 5，所以 cosα = x/r = −3/5，C 正确。 D：取 α = π/6（是锐角），则 2α = π/3 仍是锐角，可见“2α 为钝角”不成立（只有当 π/4 < α < π/2 时 2α 才是钝角），D 错误。 故选 BC。 10．已知 a>0，b>0，c>0，则下列结论正确的是（　　） A．a + 1/a ≥ 2　　B．(a² + 3)/√(a² + 2) 的最小值为 2　　C．若 a + 2b = 2，则 (2a + b)/(ab) 的最小值为 9/2　　D．若 2a + b + c = 4，则 a(a + b + c) + bc 的最大值为 4 【答案】ACD 【解析】 A：由基本不等式，a + 1/a ≥ 2√(a·1/a) = 2（当且仅当 a = 1 时取等号），A 正确。 B：令 t = √(a²+2)，由 a>0 知 t ≥ √2，则 (a² + 3)/√(a² + 2) = ((a²+2) + 1)/√(a²+2) = t + 1/t。 　　函数 y = t + 1/t 在 [1, +∞) 上单调递增，故在 t = √2 处取得最小值 √2 + 1/√2 = 3√2/2 ≈ 2.12 > 2，B 错误（等号取不到，最小值不是 2）。 C：因为 a + 2b = 2，由柯西不等式 (1/a + 2/b)(a + 2b) ≥ (1 + 2)² = 9， 　　所以 (2a + b)/(ab) = 2/b + 1/a = 1/a + 2/b ≥ 9/2，当且仅当 a = b = 2/3 时取等号（此时 a + 2b = 2 成立），C 正确。 D：a(a + b + c) + bc = a² + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)。 　　因为 (a+b) + (a+c) = 2a + b + c = 4，由基本不等式 (a+b)(a+c) ≤ [((a+b) + (a+c))/2]² = 2² = 4， 　　当且仅当 a + b = a + c = 2（例如 a = b = c = 1）时取等号，D 正确。 故选 ACD。 11．已知函数 f(x) = { |log₂x|，0 < x ≤ 2；−4x + 9，x > 2 }，若存在 0 < a < b < c，使得 f(a) = f(b) = f(c)，则下列结论正确的是（　　） A．函数 f(x) 的值域为 R　　B．ab = 1　　C．方程 f(x) = t 有唯一解的充要条件是 t > 1　　D．abc 的取值范围为 (2, 9/4) 【答案】ABD 【解析】 先弄清两段图象：0 < x ≤ 2 时，y = |log₂x|，在 (0, 1] 上递减、在 [1, 2] 上递增，值域为 [0, +∞)； x > 2 时，y = −4x + 9 单调递减，值域为 (−∞, 1)。 A：两部分值域的并集为 [0, +∞)∪(−∞, 1) = R，A 正确。 B：由 f(a) = f(b) 且 a < b，可知 a、b 都在 (0, 2] 内（否则 f 在 (2, +∞) 上单调，不可能取等），此时 |log₂a| = |log₂b|， 　　即 log₂a = −log₂b，得 log₂(ab) = 0，所以 ab = 1（且 a < 1 < b ≤ 2），B 正确。 C：取 t = −1，此时 |log₂x| = −1 无解，而 −4x + 9 = −1 得 x = 5/2 > 2，方程 f(x) = t 恰有一个解， 　　说明“有唯一解”不能推出 t > 1，C 错误。 D：由 B 知 ab = 1，所以 abc = c。由 f(b) = f(c) 且 b∈(1, 2)、c > 2 得 log₂b = −4c + 9， 　　即 c = (9 − log₂b)/4。当 b∈(1, 2) 时 log₂b∈(0, 1)，所以 c∈(2, 9/4)，即 abc∈(2, 9/4)，D 正确。 故选 ABD。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是 6000 密位制，即将一个圆周角分为 6000 等份，每一等份是一个密位，则 120 密位 = ________ 弧度。 【答案】π/25 【解析】 一个圆周角等于 2π 弧度，也等于 6000 密位，所以 1 密位 = 2π/6000 = π/3000（弧度）， 120 密位 = 120 × π/3000 = π/25（弧度）。 13．函数 f(x) = log_(1/2)(x² − 3x) 的单调递增区间为 ________。 【答案】(−∞, 0) 【解析】 先求定义域：由 x² − 3x > 0 得 x(x − 3) > 0，解得 x < 0 或 x > 3。 设 u = x² − 3x，则 f(x) = log_(1/2) u，这是外层与内层复合而成的函数。 外层 y = log_(1/2) u 在 (0, +∞) 上单调递减；要使复合函数单调递增，需内层 u = x² − 3x 单调递减， 而 u 在 (−∞, 3/2] 上单调递减。取它与定义域的交集：(−∞, 3/2] ∩ [(−∞,0)∪(3,+∞)] = (−∞, 0)。 所以 f(x) 的单调递增区间为 (−∞, 0)。 14．已知函数 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，满足对 ∀x₁, x₂∈[0, +∞)，x₁ ≠ x₂，都有 (x₁ − x₂)[x₁f(x₁) − x₂f(x₂)] > 0，且 f(2) = 3，则不等式 f(x) > 6/x 的解集为 ________。 【答案】(−2, 0)∪(2, +∞) 【解析】 令 g(x) = x·f(x)。条件 (x₁ − x₂)[g(x₁) − g(x₂)] > 0 说明 g(x) 在 [0, +∞) 上单调递增。 又因为 f(x) 是奇函数，g(−x) = (−x)·f(−x) = (−x)·(−f(x)) = x·f(x) = g(x)，所以 g(x) 是偶函数， 从而 g(x) 在 (−∞, 0] 上单调递减。由 f(2) = 3 得 g(2) = 2×3 = 6。 分情况解 f(x) > 6/x（注意到 g(x) = x·f(x)）： ① 当 x > 0 时，两边同乘正数 x 得 x·f(x) > 6，即 g(x) > g(2)。由 g(x) 在 [0, +∞) 上递增，得 x > 2。 ② 当 x < 0 时，两边同乘负数 x，不等号方向改变，得 x·f(x) < 6，即 g(x) < g(2)。 　　由 g(x) 为偶函数可知 g(x) = g(|x|)，再由 g(x) 在 [0, +∞) 上递增得 |x| < 2，结合 x < 0 得 −2 < x < 0。 ③ 当 x = 0 时，6/x 无意义，不取。 综上，不等式的解集为 (−2, 0)∪(2, +∞)。 四、解答题 15．（本小题满分13分） 解：（1）由三角函数的定义知cosα＝ …………………………………………2分 因为α是锐角，所以sinα＝＝＝ ……………4分 所以tanα＝＝÷＝7 …………………………………………6分 （2）方法一：因为tanα＝2 所以＝ ………………………………………………10分 ＝＝3 ………………………………………………13分 方法二：因为tanα＝2，即sinα＝2cosα…………………………………10分 所以＝＝3 ……………………………………13分 16．（本小题满分15分） 解：（1）……………7分 （2）……………15分 17．（本小题满分15分） 解：（1）由题意可得， 即， 所以函数的函数关系式为……7分 （2） （2）当时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且 所以，……………………10分 当时， ，……………………13分 当且仅当即时等号成立，此时，……14分 综上所述：当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元. …………………15分 18．（本小题满分17分） 解：（1）因为 所以对，恒成立， 因为，所以，………………………4分 解得， 又因为，所以………………………5分 （2） 因为，所以由解得，，…7分 所以函数的图象在轴上截得的线段长度为， ， 当且仅当即等号成立， 所以的最大值为…………11分 （3） 因为，所以由解得，…………13分 因为“”是“”的充分条件， 所以，…………14分 所以，解得…………17分 19．（本小题满分17分） 解：（1）证明：设x1，x2为区间(1,＋∞)上的任意两个值，且x1＜x2 则h(x1)－h(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝ ………………2分 因为1＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0 所以h(x1)－h(x2)＜0，即h(x1)＜h(x2) 所以h(x)＝x＋在(1,＋∞)上是增函数 ……………………………5分 （2）当a＝－1时，f(x)＝2x－在[1，2]上单调递增， 所以当x[1，2]，f(x)＝2x－[，] …………………………………6分 所以对任意的x[1，2]，都有f(2x)≥mf(x)成立转化为 22x－≥m(2x－)，即m≤2x＋对x[1，2]恒成立 ……………………8分 令t＝2x[2，4]，则m≤t＋恒成立，所以m≤h(t)min 由（1）知h(t)＝t＋在[2，4]上单调递增，所以h(t)min＝h(2)＝ 所以m的取值范围是(－∞，] …………………………………10分 （3）当f(x)为偶函数时，对xR，都有f(－x)－f(x)＝0， 即(2－x＋)－(2x＋)＝0(2x－)(－1)＝0恒成立 所以－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝2x＋ ………………………………12分 所以方程f(2x)＝mf(x)，即22x＋＝m(2x＋) （*）有实数解 令t＝2x＋≥2＝2（当x＝0时取“=”）， 则22x＋＝(2x＋)2－2＝t2－2 ………………………………15分 所以方程（*）t2－2＝mt，即m＝t－在t[2,＋∞)上有实数解 而m＝t－在t[2,＋∞)上单调递增，所以m≥1 ………………………17分 第 6 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金湖县第二中学高一年第一学期级第二次阶段检测 数学调研试卷答题纸 （本卷满分 150 分） 班级：　　　　　　姓　名：　　　　　　座位号：　　　 考　号：　　　　　　　　　　　　　　　　 注意事项 1．答题前，请先将班级、姓名、座位号、考号填写清楚。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂，非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 一、选择题（请用 2B 铅笔填涂） （一）单项选择题（第 1—8 题，每小题 5 分，共 40 分） 1．　□ A　□ B　□ C　□ D 2．　□ A　□ B　□ C　□ D 3．　□ A　□ B　□ C　□ D 4．　□ A　□ B　□ C　□ D 5．　□ A　□ B　□ C　□ D 6．　□ A　□ B　□ C　□ D 7．　□ A　□ B　□ C　□ D 8．　□ A　□ B　□ C　□ D （二）多项选择题（第 9—11 题，每小题 6 分，共 18 分） 9．　□ A　□ B　□ C　□ D 10．　□ A　□ B　□ C　□ D 11．　□ A　□ B　□ C　□ D 二、填空题（第 12—14 题，每小题 5 分，共 15 分） 12． 13． 14． 三、解答题（第 15—19 题，共 77 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 15．（本小题满分 13 分） 16．（本小题满分 15 分） 17．（本小题满分 15 分） 18．（本小题满分 17 分） 19．（本小题满分 17 分） 第 4 页　共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金湖县第二中学高一年级第一学期第二次阶段检测 数学调研试卷 命题人：冯媛媛 试做人：钱倩倩 审核人：徐俊 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定是（　　） A.， B.， C.， D.， 3. 已知函数则（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知幂函数在区间上是减函数，则实数的值为（　　） A. B. C. D.或 6. 在中，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 8. 已知，，则用表示为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（　　） A.是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C.若角的终边过点，则 D.若角锐角，则角为钝角 10. 已知，，，则下列结论正确的是（　　） A. B.的最小值为2 C.若，则的最小值为 D.若，则的最大值为4 11. 已知函数若存在，使得.则下列结论正确的是（　　） A.函数的值域为 B. C.方程有唯一解的充要条件是 D.的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. “密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周角分为6 000等份，每一等份是一个密位，则120密位＝__________弧度． 13. 函数的单调递增区间为_________． 14. 已知函数为定义上的奇函数，满足对，其中，都有 ，且，则不等式的解集为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上. （1）若，且的终边与单位圆的交点的横坐标为，求的值； （2）若，求的值． 16. （本小题满分15分） （1）化简：； （2）求值：． 17. （本小题满分15分） 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克），与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为元/千克，且供不应求.记该单株水果树获得的利润为（单位：元）． （1）求函数的解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18. （本小题满分17分） 已知函数，其中实数．wqppei （1）若集合，求实数的取值范围； （2）求函数的图象在轴上截得的线段长度的最大值； （3）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 19. （本小题满分17分） 已知函数（为常数，且，）．wqppei （1）求证：函数在区间上是增函数； （2）当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围； （3）当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 第 6 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $