精品解析：甘肃兰州市多校2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026—2027学年度第一学期期中试卷 九年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（共11小题，每小题3分） 1. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式和分式的基本性质，熟知等式的性质是解题的关键．由已知方程，通过代数变形直接求解的值． 【详解】解：∵， ∴（两边同除以，）， ∴． 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、是一元二次方程，故选项符合题意； C、的最高次数是，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、的最高次数是1，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，代值求解即可得到答案，熟记平行线分线段成比例，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，，， ，解得， 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5. 如图，四边形和四边形相似，则下列角的度数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相似可得，则即可求得结果． 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴，，， ∴ ． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 7. 某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 8. 上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解； 根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值． 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 9. 根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根的范围是（ ） 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过代数式的正负变化确定方程根的区间． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 10. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 11. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于二分之一长为半径画弧，两弧交于点M，N两点，作直线，分别与，交于点E，F，连接，，若，．则四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解，再根据四边形的面积为可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ∵四边形为矩形， ， ， ∴， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ， ∴四边形的面积为． 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分） 12. 已知，且，则______ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值．由可得，从而得到，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义可得：从而可得答案． 【详解】解： 关于的方程是一元二次方程， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 14. 如图，已知M、N两点分别在的边上，，若的周长与的周长之比为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，根据相似三角形的周长之比等于相似比得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的周长与的周长之比为， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是__cm． 【答案】 【解析】 【详解】这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值. 如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值， 在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得： . 故答案为. 点睛：本题考查了轴对称的性质和正方形的性质，已知两个 定点，一条定直线，求这两个定点到定直线上一点的距离之和的最小值，方法是选择这两个定点中的一个，作它关于定直线的对称点，则这点与另一定点的连线段的长即是符合条件的最小值，再构造直角三角形，利用勾股定理求出这个最小值. 三、解答题（共11小题） 16. 用配方法解方程： 【答案】x=1+或x=1- 【解析】 【分析】利用配方法解一元二次方程，即可求出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题． 17. 用因式分解法解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 移项，得 或 解得，． 18. 用合适的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：x2+6x-7=0， 因式分解得：（x+7）（x-1）=0， ∴x+7=0或x-1=0， ∴x1=-7，x2=1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 19. 已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 20. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 【答案】（1） 如图所示： （2）， 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：， 点在线段上，点D对应点的坐标为． 21. 如图，有一矩形花坛，其长为30m、宽为20m，在其中修相互垂直的两条等宽小道，若剩余面积为，小道的宽为多少米？ 【答案】小道的宽为米 【解析】 【分析】构造方程即可求解． 【详解】解：设小道的宽为米， 得， 解得：，（舍去） 答：小道的宽为米． 22. 如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】 证明：， ， 即， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】略 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 24. 如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求四边形的面积S． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形． 是直角三角形，，点是的中点， 是斜边上的中线， ． 四边形是菱形． （2）24 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）证明为的中位线，求出，由（1）知，四边形是菱形，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点D，O分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 25. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． （2）深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：①若矩形绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点C逆时针旋转，边与边交于点M，连接，当时，如图③．请直接写出m的值． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）探究一；；探究二：30 【解析】 【分析】（1）首先明确两个矩形完全相同，运用矩形性质证明，得，即得，结合三角形边和角的特征判断形状． （2）探究一：由点在延长线上与矩形性质证明，得到，可得，，设 ，由，得，解得  ，结合三角形面积公式求解．探究二：取的中点H，连接，由已知条件可得，由平行线性质得，即得，根据等角对等边得，得，是等边三角形，可得，可得． 【小问1详解】 解：∵两个矩形完全相同， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：探究一： ∵点在延长线上， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， 在中，由勾股定理：， ∴， 解得 ​， ∴ 。 ∴ ． 探究二： 取的中点H，连接， ∵， ∴， 由条件 ， ∵ ， ∴ 。 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．若点关于直线的对称点恰好在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“强关联点”． （1）如图1，已知点，，． ①在点中，是矩形关于直线：的“关联点”的是__________； ②若点是矩形关于直线的“关联点”，点关于直线：的对称点为点，且是等腰三角形．在图2中所有符合条件的点有__________个； ③在②的条件下，若等腰三角形以为腰，求的值； （2）已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个点为矩形关于直线的“强关联点”，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）(1) ① ，；②；③或 （2）且 【解析】 【分析】(1) ①利用点关于直线的对称公式求出各点对称点，再判断是否在矩形内部或边上． ②先由关联点条件确定的横坐标范围，再对三边两两相等进行分类讨论，求出所有符合条件的点个数． ③以为腰包含和两种情况，分别求出的值． (2) 矩形的边上有且只有个强关联点，即矩形关于直线对称后的图形与原矩形恰有个交点在边上，通过找对称轴过矩形顶点的临界状态确定的范围． 【小问1详解】 ①解：矩形中，，，，， 直线：， 点关于的对称点为，不在矩形内， 点关于的对称点为，在矩形内部， 点关于的对称点为，在矩形的边上， 点关于的对称点为，不在矩形内， 是矩形关于直线的关联点的是，． ②解：点关于直线的对称点为， ， 点是矩形关于直线的关联点， 点在矩形的内部或边上， ，即， 点的横坐标满足，纵坐标为， 是等腰三角形，，， 当时，， ， 或（舍去）， 此时，符合题意， 当时，， ， （舍去）或， 此时，符合题意， 当时，， ， ， ， 此时，符合题意， 符合条件的点有个． ③解：由②知，当时，， 与关于直线对称， ， 当时，， 与关于直线对称， ， 的值为或． 【小问2详解】 解：矩形的顶点为，，，， 对称轴为直线， 当直线过点时， ， ， 当直线过点和时， ， ， 当直线过点时， ， ， 当时，直线与边重合，此时矩形的边上所有点都是强关联点，不符合题意， 的取值范围为且． 【点睛】新定义题首先要"翻译"定义，把对称关系用坐标公式表达出来；其次要建立参数范围，通过分类讨论或临界分析确定满足条件的参数区间；最后要注意检验边界情况，排除导致个数发生突变的特殊值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中试卷 九年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（共11小题，每小题3分） 1. 若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，四边形和四边形相似，则下列角的度数正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（ ） A. B. C. D. 9. 根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根的范围是（ ） 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 A. B. C. D. 10. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 11. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于二分之一长为半径画弧，两弧交于点M，N两点，作直线，分别与，交于点E，F，连接，，若，．则四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 9 二、填空题（共4小题，每小题3分） 12. 已知，且，则______ 13. 若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是________． 14. 如图，已知M、N两点分别在的边上，，若的周长与的周长之比为，则___________． 15. 如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是__cm． 三、解答题（共11小题） 16. 用配方法解方程： 17. 用因式分解法解方程：． 18. 用合适的方法解方程：． 19. 已知m是方程的根，求代数式的值． 20. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 21. 如图，有一矩形花坛，其长为30m、宽为20m，在其中修相互垂直的两条等宽小道，若剩余面积为，小道的宽为多少米？ 22. 如图，在和中，已知，．求证：． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 24. 如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求四边形的面积S． 25. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． （2）深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：①若矩形绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点C逆时针旋转，边与边交于点M，连接，当时，如图③．请直接写出m的值． 26. 在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．若点关于直线的对称点恰好在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“强关联点”． （1）如图1，已知点，，． ①在点中，是矩形关于直线：的“关联点”的是__________； ②若点是矩形关于直线的“关联点”，点关于直线：的对称点为点，且是等腰三角形．在图2中所有符合条件的点有__________个； ③在②的条件下，若等腰三角形以为腰，求的值； （2）已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个点为矩形关于直线的“强关联点”，直接写出的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $