精品解析：陕西渭南市富平县迤山中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

高一年级上学期第一次学情调研 （数　学） 时长：120 分钟　　　　满分：150 分 第一部分（选择题　共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ：，，则 是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（ ） 1 2 3 4 3 1 4 2 A. 4 B. 3 C. 1 D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数y=f(x)的定义域是[-1,3]，则函数的定义域是 A. [0,2] B. [-3,5] C. [-3,-2]∪[-2，5] D. (-2,2] 7. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字．以下是甲、乙、丙三位同学的描述．甲：此数为小于 5 的正整数；乙： 是 的必要不充分条件；丙： 是 的充分不必要条件．则“ ”表示的数字是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 若，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的值域是，则的定义域可能是（ ） A. B. C. D. 11. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论正确的是（　　） A. 函数 在 上单调递减 B. 已知 ，，则 的取值范围为 C. 已知函数 在定义域上是减函数，则实数 的取值范围为 D. 若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是 第二部分（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数 的定义域为集合 ，则集合 ______． 13. 已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ______． 14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 m³ 的部分 元/ 超过 但不超过 m³ 的部分 元/ 超过 的部分 元/ 若某居民 9 月份交纳水费 99 元，则此居民9月份月用水量为 ______ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，且，求实数的取值范围． 16. （1）已知 ，求 的解析式． （2）已知 为一次函数，若 ，求 的解析式． 17. 运动会的成功举办往往会带动当地经济的快速发展．运动会期间，某“农家乐”接待中心有客房 200 间，每间日租金为 40 元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金，如果每间客房日租金每增加 4 元，客房出租就会减少 10 间．（不考虑其他因素） （1）设每间客房日租金提高元（，），记该中心客房的日租金总收入为，试用表示； （2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？ 18. 已知函数，且，. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若，求实数的取值范围. 19. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式 的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足 ，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级上学期第一次学情调研 （数　学） 时长：120 分钟　　　　满分：150 分 第一部分（选择题　共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集、交集的概念即可得解. 【详解】已知全集，集合，，则. 故选：D. 2. 已知命题 ：，，则 是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题的否定需要改变量词，否定结论即可. 【解答】命题 “：，”是全称量词命题，其否定为“，” . 3. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（ ） 1 2 3 4 3 1 4 2 A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以． 故选：C． 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个函数是否为同一函数，要看定义域与对应关系是否都相同． 【详解】A： 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，不是同一函数； B： 的定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一函数； C： 与 的定义域都是 ，对应关系也相同，是同一函数； D： 的定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一函数． 6. 函数y=f(x)的定义域是[-1,3]，则函数的定义域是 A. [0,2] B. [-3,5] C. [-3,-2]∪[-2，5] D. (-2,2] 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的定义域，列出不等式组求解即可． 【详解】函数y=f（x）的定义域是[﹣1，3]， 要使函数g（x）=有意义， 可得 ， 解得：0≤x≤2． ∴函数g（x）的定义域是[0，2]． 故选A． 【点睛】本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力． 7. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字．以下是甲、乙、丙三位同学的描述．甲：此数为小于 5 的正整数；乙： 是 的必要不充分条件；丙： 是 的充分不必要条件．则“ ”表示的数字是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由甲知 ；当 时，． 由乙知 是 的真子集，而 ，，，显然成立； 由丙知 是 的真子集，即 是 的真子集， 所以 ，即 ，结合 为正整数得 或 ． 8. 若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是， 故选：C． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 若，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ，故A正确，C错误. ∴， 则，故B错误. 由于，， ∴ ，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数的值域是，则的定义域可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定函数的定义域是的子集，且含有，至少有一个端点值，对比选项得到答案. 【详解】函数的值域是，，， 故函数的定义域是的子集，且含有，且至少有一个端点值， 对比选项知：ACD满足条件. 故答案为：ACD 11. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论正确的是（　　） A. 函数 在 上单调递减 B. 已知 ，，则 的取值范围为 C. 已知函数 在定义域上是减函数，则实数 的取值范围为 D. 若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐项判断：A 看“并集上单调”的说法是否成立；B 用不等式性质；C 由分段递减与衔接处列不等式组；D 先求最小值，再解 ． 【详解】对于A：取 ，，则 ，但 ，不满足递减，错误； 对于B：由 得 ，由 得 ，所以 ，正确； 对于C： 时 递减； 时 递减需对称轴 ，即 ；衔接处需 ，所以 ，正确； 对于D：由 得 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 的最小值为 ； 由 得 或 ，正确． 第二部分（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数 的定义域为集合 ，则集合 ______． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得 ，所以． 13. 已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】定义域为 等价于 对一切实数 恒成立，用判别式列不等式即可求解． 【详解】由题意 对任意 恒成立， 所以 ，即 ，解得 ． 14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 m³ 的部分 元/ 超过 但不超过 m³ 的部分 元/ 超过 的部分 元/ 若某居民 9 月份交纳水费 99 元，则此居民9月份月用水量为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先判断用水量所在的区间：需元，需元，由知用水量超过 ，分段计算求解即可． 【详解】由题意得用水量为时水费为（元）； 用水量为时水费为（元）． 因为，所以用水量超过，超出部分的水费为（元）， 对应水量为（），故此居民用水量为（）． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集的概念求两个集合的并集. （2）根据元素与集合的从属关系列式求实数的取值范围. 【小问1详解】 由或，所以， 所以. 【小问2详解】 若即，则，所以成立； 若即，由得，所以，所以. 综上可得. 16. （1）已知 ，求 的解析式． （2）已知 为一次函数，若 ，求 的解析式． 【答案】（1）（）； （2） 或 【解析】 【详解】（1）利用换元法，注意新元的取值范围对函数解析式的约束； （2）利用待定系数法，设（）代入条件求出，即得函数解析式． 【解答】（1）令 ，则 ，且 ，， 则 ， 即 （）． （2）设 （），则 ， 由 得 且 ． 当 时，，；当 时，，． 所以 或 ． 17. 运动会的成功举办往往会带动当地经济的快速发展．运动会期间，某“农家乐”接待中心有客房 200 间，每间日租金为 40 元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金，如果每间客房日租金每增加 4 元，客房出租就会减少 10 间．（不考虑其他因素） （1）设每间客房日租金提高元（，），记该中心客房的日租金总收入为，试用表示； （2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？ 【答案】（1）（，）； （2）每间日租金为 60 元时总收入最高，最高为 9000 元. 【解析】 【分析】（1）由总收入＝每间日租金×出租间数，可列得关于的表达式； （2）根据二次函数的最值求法可得. 【小问1详解】 由题意知，每间日租金为 元，出租间数为 间， 所以（，）． 【小问2详解】 ， 因为 且 ， 所以当时，取最大值，最大值为， 此时每间客房日租金为（元）． 所以每间客房日租金为 60 元时，日租金总收入最高，最高为 9000 元． 18. 已知函数，且，. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上的单调递增，证明： 在内任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）将函数值代入，即可求得a，b的值，即可得解析式. （2）利用定义法，取值、作差、整理、定号、得结论，按照步骤整理分析，即可得证. （3）根据函数的解析式，结合定义域，分析可得时，，当时，，利用定义法，证明在上的单调性，分别讨论都在内、都在内和一个在内，一个在内，三种情况，根据函数的性质，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得，定义域为， 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 在内任取，且， 则， 由（2）得， 所以在上的单调递增. 因为， 所以当都在内，则，无解； 当都在内，则，解得； 当一个在内，一个在内， 则，解得. 综上，实数的取值范围 19. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式 的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足 ，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【答案】（1）， （2）当时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式解集为两根之外，可知二次项系数为正且对应方程的两根为区间端点，利用韦达定理建立方程组求得； （2）代入 后因式分解为 ，对分情况讨论，分别写出对应解集； （3）由两个正根得 及韦达定理，结合平方和条件导出与的关系，再代入目标式并利用基本不等式求最大值． 【小问1详解】 由 的解集为或 ，得与1是方程 的两个实根，且， 因此，解得， ， 所以， ． 【小问2详解】 由 ，，则不等式化为： ， 当时，不等式化为 ，无解； 当时， ，解得 ； 当 时， ，解得； 当 时， ，解得或， 所以当时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为． 【小问3详解】 由方程 有两个不等的正实数根，， 得， 由 ，得 ，则 ，即 ， 由 ，，得 ，，解得 ， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $