2026-2027学年北师大版数学七年级上册期中模拟卷（第1-3章）
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内容正文：
2026-2027学年七年级上学期数学北师大版第1-3章期中模拟卷
数学 北师大版 七年级上册（新教材）
满分 100 分 考试时间 90 分钟 ｜ 考查范围：第一章 丰富的图形世界 第二章 有理数及其运算 第三章 整式及其加减
学校 班级 姓名 考号
本册为全解全析，题面与考试版一致，逐题给【答案】【解析】【分析】【详解】。
使用说明
本卷为北师大版七年级上册第 1-3 章（丰富的图形世界、有理数及其运算、整式及其加减）的期中模拟卷，共 20 个题位、满分 100 分、考试时间 90 分钟：选择题 8 小题、填空题 5 小题、解答题 7 小题。三件套的分工是：考试版只有题目与答题空行，直接印出来就能考；参考答案只给每题的结果与解答题的分步赋分，可以照着判卷；全解全析逐题给出答案、考点一句解析、思路分析、解答题的分步详解与学生最常错的那种错法，讲评时按题号对照即可。解答题都留了空行，计算题与说理题要求写出过程，只有结果没有过程的按评分标准扣分。本卷的图只表示位置关系，具体数值一律以文字为准。
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。每小题只有一个选项符合题意，把正确选项的字母填在题后括号内）
评分说明 本大题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分。答案唯一，不设部分分：只写字母，多写或涂改看不清的按 0 分计，选错不倒扣。第 1、2 题考第一章（几何体识别、截面），第 3、4、5 题考第二章（数轴上的整数点、乘方的符号、科学记数法的还原），第 6、7、8 题考第三章（多项式的项与次数、同类项判定、合并同类项）。讲评时不要只报答案——这 8 题里有 5 题错在同一个动作上：没有把四个选项逐条摆出来算或逐条对照定义，凭印象挑。
1. 下列物体的形状可以近似地看作圆柱的是（ ）。
A. 一枚硬币 B. 一个骰子
C. 一个漏斗 D. 一个篮球
【答案】A
【解析】本题考查把生活中的实物抽象成几何体：先看它由几个面围成、这些面是平的还是曲的，再对着柱、锥、球三类去认。
【分析】四个选项各是什么形状，逐个说出来再对号。硬币是上下两个圆面、中间一个曲面的立体，正是圆柱的样子。
骰子是六个全等的正方形围成的正方体；漏斗从圆形的底面收成一个尖，属于圆锥；篮球整身都是曲面，是球。
所以只有硬币的形状可以近似地看作圆柱。
【易错】把硬币当成「圆」——圆是平面图形，硬币是立体的；或者把漏斗当成圆柱，只看到它底面是圆，忘了圆柱要有上下两个平行的圆面。错在第一步：先数它有几个面、每个面是什么形状，再对号。
2. 用一个平面去截下列几何体，截面不可能是三角形的是（ ）。
A. 正方体 B. 五棱柱
C. 圆锥 D. 球
【答案】D
【解析】本题考查用平面截几何体得到的截面形状：截面是什么形状，由被截的几何体是什么、平面从哪里穿过共同决定。
【分析】逐个想「能不能截出三角形」。正方体从一个角斜着切一刀，截面就是一个三角形；五棱柱沿一条侧棱斜着切，也能得到三角形；圆锥过顶点竖直切一刀，截面是等腰三角形。
球没有棱也没有顶点，任意一个平面截球，与球面相交的线都是一个圆，所以球的截面只能是圆。
因此截面不可能是三角形的是球。
【易错】认为球也能截出三角形，理由是「斜着切」——球面上找不出三个「角」，切面与球面的交线永远是圆。或者反过来把圆锥排除掉：以为圆锥只能截出圆，忘了过顶点竖直切是三角形。错在第一步：先在脑子里把每种几何体截一刀，看截面的边是从哪几条棱（或曲面上哪条线）来的。
3. 数轴上，表示 −3 的点与表示 4 的点之间（不含这两个点）表示整数的点共有（ ）。
A. 5 个 B. 6 个
C. 7 个 D. 8 个
【答案】B
【解析】本题考查数轴上两点之间的整数点：先按大小把两个端点摆好，再把夹在中间的所有整数一个个数出来，注意 0 也是整数。
【分析】在数轴上标出 −3 与 4，题目问的是它们「之间（不含端点）」的整数点。
从 −3 往右数起：−2、−1、0、1、2、3，一共 6 个。
也可以用算的：两个端点相差 4−(−3)＝7 个单位，中间夹着 7−1＝6 个整数点。
【易错】把端点也算进去，得 8 个（错选 D）；或者忘了 0 也是整数，把 0 跳过去，数成 5 个（错选 A）。错在第一步：先在草稿上把两个端点画出来，再从左边端点右边的第一个整数，数到右边端点左边的最后一个整数，0 是整数不能漏。
4. 下列各式中，计算结果为负数的是（ ）。
A. (−2)⁴ B. −(−2)³
C. −2⁴ D. (−2)²×(−2)²
【答案】C
【解析】本题考查乘方中符号的处理：底数带括号时负号跟着一起乘方，底数不带括号时负号留在乘方外面，只管结果的正负。
【分析】四个选项逐个算。(−2)⁴ 是四个 −2 相乘，负因数有 4 个（偶数个），结果是 16。
−(−2)³ 里先算 (−2)³＝−8，前面再添一个负号，结果是 8。
−2⁴ 是 2⁴ 的相反数，2⁴＝16，所以结果是 −16。
(−2)²×(−2)²＝4×4＝16。四个选项里只有 −2⁴ 的结果是负数。
【易错】把 −2⁴ 当成 (−2)⁴＝16，于是四个选项里挑不出答案；或者把 −(−2)³ 算成 −8 而错选 B。错在第一步：看清底数带不带括号——(−2)⁴ 的负号在底数里，参与乘方；−2⁴ 的负号在乘方外面，不参与乘方。
5. 把 2.05×10⁵ 还原成原数，结果是（ ）。
A. 2050 B. 20500
C. 205000 D. 2050000
【答案】C
【解析】本题考查科学记数法的还原：a×10ⁿ 表示把 a 的小数点向右移动 n 位，位数不够时用 0 补齐。
【分析】10⁵ 表示 1 后面 5 个 0，也就是 100000；2.05×10⁵ 就是把 2.05 的小数点向右移 5 位。
2.05 只有两位小数，右移 5 位要在后面补 3 个 0，得 205000。
回头验一遍：205000 是 6 位数，写成科学记数法时小数点左移 5 位，系数是 2.05，指数是 5，与题目一致。
【易错】只把小数点移了两位（按系数的小数位数移），写成 205；或者数错位数，写成 2050000（右移 6 位，错选 D）。错在第一步：右移几位由 10 的指数决定，与系数有几位小数无关，位数不够用 0 补。
6. 关于多项式 2x³y−3x²＋5x−1，下列说法中正确的是（ ）。
A. 它是三次多项式 B. 它的一次项是 5x
C. 它的常数项是 1 D. 它的项数是 3
【答案】B
【解析】本题考查多项式的项、次数与常数项：多项式的次数是所有项里次数最高的那一项的次数，常数项是不含字母的那一项（连它的符号一起看）。
【分析】先把四项摆开：2x³y、−3x²、5x、−1，一共 4 项，所以 D 错。
再看次数：2x³y 里 x 的指数是 3、y 的指数是 1，这一项的次数是 3＋1＝4，是四项里最高的，所以它是四次多项式，A 错。
5x 是含 x 的一次项，B 对；常数项是 −1，C 错。
【易错】只看 x 的指数，把 2x³y 的次数算成 3，判成三次多项式（错选 A）；或者把常数项写成 1，把前面的负号丢了（错选 C）。错在第一步：单项式的次数是各字母指数之和，y 虽然没有写指数，它的指数是 1，不能当成 0。
7. 下列各组中的两个单项式，属于同类项的是（ ）。
A. 2x²y 与 3xy² B. −3ab 与 5ba
C. 4m² 与 4m³ D. x² 与 y²
【答案】B
【解析】本题考查同类项的判定：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，才是同类项；系数是多少、字母怎么排顺序，都不影响。
【分析】逐组比「字母」和「字母的指数」。A 组 2x²y 与 3xy² 的字母相同，可 x 的指数一个是 2 一个是 1，y 的指数一个是 1 一个是 2，不是同类项。
B 组 −3ab 与 5ba，都是 a、b 的一次项，字母相同、指数也相同，只是书写顺序和系数不同，是同类项。
C 组 m 的指数一个是 2 一个是 3，不是同类项；D 组两个单项式的字母都不一样，更不是。
【易错】看到 B 组写成 ba 就以为「字母顺序不同，不是同类项」而跳过它；或者看 C 组两个系数都是 4，就判成同类项。错在第一步：同类项只比字母与字母的指数，不比系数，也不看字母的书写顺序——ab 与 ba 是同一个字母部分。
8. 下列合并同类项的结果中，正确的是（ ）。
A. 3a＋2b＝5ab B. 5x²−3x²＝2
C. 4m²n−4nm²＝0 D. 2a＋3a＝5a²
【答案】C
【解析】本题考查合并同类项：只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母与字母的指数都不变。
【分析】逐条查。A 里 3a 与 2b 的字母不同，不是同类项，不能合并，更不会合并成 5ab。
B 里 5x² 与 3x² 是同类项，系数 5−3＝2，但字母部分 x² 要留着，结果应是 2x²，不是 2。
D 里 2a＋3a 系数相加得 5，字母部分照抄，结果应是 5a，不是 5a²。
C 里 m²n 与 nm² 字母相同、指数也相同，是同类项，系数 4−4＝0，结果是 0，正确。
【易错】只把系数加减、把字母部分丢掉，B 与 D 就是这样错的；或者把不同类的项硬凑成一项，A 就是这样错的。错在第一步：先看是不是同类项，再看系数加减，字母部分一个字都不能改，指数更不能跟着系数变。
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。把结果直接写在题中的横线上，不写解答过程）
评分说明 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分。每题有多个空的，各空平均赋分，答错一空只扣该空的分数。第 9 题考第一章（n 棱柱的面、棱、顶点），第 10、11、13 题考第二章（新定义运算、数列规律、近似数的精确位），第 12 题考第三章（整式的整体代入求值）。填空题只看结果，但结果的形式要写对：含字母的式子要写成最简形式，上标要写清楚，第 11 题的符号不能丢。
9. 如图是一个五棱柱的模型，它有＿＿＿个面、＿＿＿条棱、＿＿＿个顶点。
【答案】7，15，10
【解析】本题考查 n 棱柱的面数、棱数与顶点数：上下两个底面加上 n 个侧面是面数，棱有 3n 条，顶点有 2n 个。
【分析】数面：上下两个五边形底面，四周 5 个长方形侧面，共 2＋5＝7 个面。
数棱：每个底面 5 条边，上下两个底面共 10 条，再加 5 条侧棱，共 15 条。
数顶点：每个底面 5 个顶点，上下各 5 个，共 10 个。
也可以记成「面数 n＋2、棱数 3n、顶点数 2n」，把 n＝5 代进去，得 7、15、10，与逐个数的结果一致。
【易错】把侧面个数当成棱数，答棱 5 条（漏了上下底面的 10 条）；或者数顶点时只数上面一个底面，答 5 个。错在第一步：把「上下底面」和「侧面」分成两部分分别数，再合起来，最后用 n＝5 代进公式对一遍。
10. 定义一种新运算：a※b＝a²−2ab，例如 2※3＝2²−2×2×3＝−8。则 (−1)※4＝＿＿＿。
【答案】9
【解析】本题考查新定义运算：先按定义把式子里的 a、b 换成指定的数，再按有理数的运算顺序计算。
【分析】对着定义把 a 换成 −1、b 换成 4：(−1)※4＝(−1)²−2×(−1)×4。
先算乘方：(−1)²＝1；再算乘法：2×(−1)×4＝−8，减去 −8 就是加 8。
所以结果是 1＋8＝9。
【易错】把 (−1)² 算成 −1，得 −1＋8＝7；或者把 2×(−1)×4 的符号算错，当成 −8 却不减反加错了方向，凑出 −7。错在第一步：先把定义式抄成一个带足括号的算式，再按「先乘方、再乘除、最后加减」走——(−1)² 是 1，不是 −1。
11. 按一定规律排列的一列数：−1，3，−5，7，−9，…，则第 n 个数是＿＿＿（用含 n 的式子表示）。
【答案】(−1)ⁿ(2n−1)
【解析】本题考查从一组数里找规律：把符号与绝对值分开看，符号看奇偶位，绝对值单独看成另一列。
【分析】先看符号：第 1 个是负、第 2 个是正、第 3 个是负、第 4 个是正，奇数位为负、偶数位为正，可以用 (−1)ⁿ 表示——n 是奇数时 (−1)ⁿ＝−1，n 是偶数时 (−1)ⁿ＝1。
再看绝对值：1、3、5、7、9，每次加 2，第 n 个是 2n−1。
两件事合起来，第 n 个数是 (−1)ⁿ(2n−1)。
验一遍：n＝1 得 (−1)×1＝−1，n＝2 得 1×3＝3，n＝3 得 (−1)×5＝−5，与给出的前三个数一致。
【易错】只写出 2n−1，把符号丢了（这一列一大半是负数）；或者把符号写成 (−1)ⁿ⁺¹，对着第 1 个数就发现反了。错在第一步：符号与绝对值分成两列各自找规律，各自用 n 表示出来，再用前三个数回代验一遍。
12. 已知当 x＝2 时，整式 ax³＋bx＋1 的值是 5，则当 x＝−2 时，这个整式的值是＿＿＿。
【答案】−3
【解析】本题考查整式的求值与整体代入：把 x＝2 与 x＝−2 分别代进去，看两式里的 ax³＋bx 差一个什么关系。
【分析】把 x＝2 代进去：a×2³＋b×2＋1＝5，即 8a＋2b＋1＝5，所以 8a＋2b＝4。
把 x＝−2 代进去：a×(−2)³＋b×(−2)＋1＝−8a−2b＋1。
−8a−2b 正好是 8a＋2b 的相反数，等于 −4，所以原式＝−4＋1＝−3。
【易错】代 x＝−2 时算成 8a−2b＋1，只把 (−2)³ 变了号、b 那一项没变号；或者硬想解出 a、b 各是多少——条件只有一个，解不出来，卡在那里。错在第一步：不必求出 a、b，把 8a＋2b 整个当成一个数，看它在 x＝−2 时变成什么。
13. 近似数 2.7×10⁴ 精确到＿＿＿位。
【答案】千
【解析】本题考查近似数的精确度：带 10 的乘方的近似数，要把它还原成原数，看末位数字落在哪一位上。
【分析】先把 2.7×10⁴ 还原成 27000，再看末位的 7 落在哪一位：2 在万位，7 在千位。
所以这个近似数精确到千位，横线上填「千」。
也可以直接看：系数 2.7 的末位 7，在 10⁴ 这个数里处在 10³ 的位置，也就是千位。
【易错】看到 2.7 小数点后有一位，就答「十分位」，把系数的小数位数当成了精确度；或者答「万位」，看了最高位没看末位。错在第一步：先把它还原成 27000，末位数字在哪一位，就精确到哪一位。
三、解答题（本大题共 7 小题，共 61 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
评分说明 本大题共 7 小题，分值依次是 8、8、8、8、9、10、10 分，合计 61 分。解答题按步骤给分：第 14 题每小题 4 分，算对结果但过程跳步的扣 1 分；第 15 题化简 4 分、代入求值 4 分，化简错而代入过程正确的，只给代入部分的分数；第 16 题三问依次 2、2、4 分；第 17 题三问依次 3、2、3 分；第 18 题列式 5 分、代值 4 分；第 19 题三问依次 3、4、3 分；第 20 题三问依次 5、3、2 分。只有结果没有过程的，按「结果对给一半分」处理。
14. 计算：
（1）−1⁴＋(−2)³÷4−(−3)²×2；
（2）(−3)²×(−)−(−8)÷(−2)²＋|−6|。
【答案】（1）−21；（2）5。
【解析】本题考查有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的；减去一个数等于加上它的相反数。
【分析】两小题都按「先乘方、再乘除、最后加减」走，每一步先定符号、再算绝对值。
（1）−1⁴ 是 1⁴ 的相反数，得 −1；(−2)³＝−8，−8÷4＝−2；(−3)²＝9，9×2＝18。原式＝−1＋(−2)−18＝−21。
（2）(−3)²＝9，9 乘 (−) 得 −3；(−2)²＝4，(−8)÷4＝−2；|−6|＝6。原式＝−3−(−2)＋6＝−3＋2＋6＝5。
【详解】解：（1）原式＝−1＋(−8)÷4−9×2
＝−1＋(−2)−18
＝−21
（2）原式＝9×(−)＋2＋6
＝−3＋2＋6
＝5
【易错】（1）把 −1⁴ 当成 (−1)⁴ 算成 1，最后得 −17；或者把 (−2)³ 算成 8，符号整条错。（2）把 (−3)² 算成 −9，第一项由 −3 变成 3；或者算 −(−2) 时忘了变号，写成 −3−2＋6＝1。错在第一步：乘方先看清底数是谁、负号在里还是在外，再往下算；减去一个负数等于加上它的相反数。
15. 先化简，再求值：
2(x²y＋xy²)−3(x²y−xy²)＋x²y，其中 x＝−2，y＝1。
【答案】化简得 5xy²；当 x＝−2，y＝1 时，原式＝−10。
【解析】本题考查整式的加减与化简求值：先按分配律去括号，再合并同类项，最后代入字母的值计算。
【分析】第一步去括号，括号外的因数要乘到括号里的每一项：2(x²y＋xy²)＝2x²y＋2xy²，−3(x²y−xy²)＝−3x²y＋3xy²（括号前是负号，两项都要变号）。
第二步合并同类项，按字母部分归类：x²y 那一组是 2x²y−3x²y＋x²y，系数 2−3＋1＝0，正好抵消；xy² 那一组是 2xy²＋3xy²＝5xy²。化简结果是 5xy²。
第三步代值：x＝−2，y＝1，5xy²＝5×(−2)×1²＝−10。
【详解】解：原式＝2x²y＋2xy²−3x²y＋3xy²＋x²y
＝(2−3＋1)x²y＋(2＋3)xy²
＝5xy²
当 x＝−2，y＝1 时，
原式＝5×(−2)×1²＝−10。
【易错】去括号时只乘第一项，把 −3(x²y−xy²) 写成 −3x²y−3xy²（第二项没变号），化简出 2x²y−xy² 之类的结果；或者代值时把 xy² 当成 (xy)²，算成 5×(2×1)²＝20。错在前两步：括号外的因数「每一项都要乘」，括号前是负号「每一项都变号」；xy² 里只有 y 是平方，x 是一次。
16. 如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别是 −2 和 4。
（1）求 A、B 两点之间的距离，并写出线段 AB 上（含端点）表示整数的点共有多少个；
（2）求到 A、B 两点距离相等的点表示的数；
（3）若数轴上点 C 表示的数 x 满足点 C 到点 A 的距离等于点 C 到点 B 的距离的 2 倍，求 x 的值。
【答案】（1）6，共 7 个；（2）1；（3）x＝2 或 x＝10。
【解析】本题考查数轴上两点间的距离与绝对值：两点表示的数之差的绝对值就是距离；到两点距离相等、成倍数关系，都可以写成含绝对值的等式。
【分析】（1）距离等于两个数之差的绝对值：AB＝|4−(−2)|＝6。线段 AB 上的整数从 −2 数到 4：−2、−1、0、1、2、3、4，共 7 个。
（2）到两点距离相等的点就是线段 AB 的中点，它表示的数等于两端数的平均数：(−2＋4)÷2＝1。也可以列 |m＋2|＝|m−4| 解出来，结果是同一个数。
（3）把「C 到 A 的距离」写成 |x−(−2)|，也就是 |x＋2|；「C 到 B 的距离」写成 |x−4|。条件就是 |x＋2|＝2|x−4|。C 可能落在 A 的左边、A 与 B 之间、B 的右边，三种位置去绝对值的方式不同，要分别算。
C 在 B 的右边（x≥4）：x＋2＝2(x−4)，解得 x＝10；C 在 A、B 之间（−2＜x＜4）：x＋2＝2(4−x)，解得 x＝2；C 在 A 的左边（x≤−2）：−(x＋2)＝2(4−x)，解得 x＝10，不在 x≤−2 的范围内，舍去。
所以 x＝2 或 x＝10。验一遍：x＝2 时 CA＝4、CB＝2，4＝2×2；x＝10 时 CA＝12、CB＝6，12＝2×6，都成立。
【详解】解：（1）AB＝|4−(−2)|＝6；线段 AB 上表示整数的点有 −2、−1、0、1、2、3、4，共 7 个。
（2）设所求的点表示 m，则 |m＋2|＝|m−4|。m 在 −2 与 4 之间时，m＋2＝4−m，2m＝2，m＝1。
（3）由题意得 |x＋2|＝2|x−4|。
当 x≥4 时，x＋2＝2(x−4)，解得 x＝10，符合 x≥4；
当 −2＜x＜4 时，x＋2＝2(4−x)，解得 x＝2，符合范围；
当 x≤−2 时，−(x＋2)＝2(4−x)，解得 x＝10，不符合 x≤−2，舍去。
所以 x＝2 或 x＝10。
【易错】（1）把「含端点」与「不含端点」弄混，答 5 个或 6 个；
（3）只找到 x＝10 一个解——只在 B 的右边算，漏掉 A、B 之间还有一解；或者用 6÷(2＋1)＝2 凑出 x＝2，却说不出为什么除以 2＋1。错在第一步：先把两个距离写成绝对值式 |x＋2|＝2|x−4|，再按 C 落在三个位置分别去绝对值，每个解都要代回原式验一遍。
17. 新定义一种运算：对于任意两个有理数 a、b，规定 a⊕b＝a×b−a−b。例如 2⊕3＝2×3−2−3＝1。
（1）求 (−3)⊕4 的值；
（2）这个运算满足交换律吗？请说明理由；
（3）求 (−2)⊕[(−1)⊕3] 的值。
【答案】（1）−13；（2）满足交换律，因为 a⊕b 与 b⊕a 化简后的结果相同；（3）17。
【解析】本题考查新定义运算与运算律：按定义把字母换成数算出结果；判断是否满足交换律，要比较 a⊕b 与 b⊕a 两个式子化简后的结果是否相同。
【分析】（1）把 a 换成 −3、b 换成 4：(−3)×4−(−3)−4＝−12＋3−4＝−13。注意第二个减项是 −(−3)，等于加 3。
（2）比较两个式子：a⊕b＝ab−a−b，b⊕a＝ba−b−a。乘法满足交换律，所以 ab＝ba；加法的两个加数互换位置和不变，所以 −a−b 与 −b−a 相等。两个式子化简后完全相同，因此 a⊕b＝b⊕a 对任意 a、b 都成立，这个运算满足交换律。
（3）有括号先算括号里：(−1)⊕3＝(−1)×3−(−1)−3＝−3＋1−3＝−5；再算 (−2)⊕(−5)＝(−2)×(−5)−(−2)−(−5)＝10＋2＋5＝17。
【详解】解：（1）(−3)⊕4＝(−3)×4−(−3)−4＝−12＋3−4＝−13。
（2）满足交换律。理由：a⊕b＝ab−a−b，b⊕a＝ba−b−a，
因为 ab＝ba，且 −a−b 与 −b−a 相等，两个式子化简后完全相同，
所以 a⊕b＝b⊕a，这个运算满足交换律。
（3）(−1)⊕3＝(−1)×3−(−1)−3＝−3＋1−3＝−5，
(−2)⊕(−5)＝(−2)×(−5)−(−2)−(−5)＝10＋2＋5＝17。
【易错】（1）把第二个减项当成「减 3」，写成 −12−3−4＝−19，符号全错；或者漏了「−a」这一项，写成 −12−4＝−16。
（2）只拿 2⊕3＝1 与 3⊕2＝1 试了一组就下结论，没有说明「对任意 a、b 都成立」，理由不成立；
（3）先算 (−2)⊕(−1) 再算 ⊕3，把运算顺序弄反。错在第一步：定义式里 a、b 本身带负号时，要连符号一起代进去——「减 a」在 a＝−3 时就是「减 −3」，等于加 3。
18. 如图，一块长方形铁皮的长为 (3a＋2b) cm，宽为 (2a−b) cm。在它的一个角上剪去一个边长为 (a−b) cm 的正方形，剩下部分（图中阴影部分）用来做零件。
（1）用含 a、b 的式子表示剩下部分的面积；
（2）当 a＝3，b＝1 时，求剩下部分的面积。
【答案】（1）(5a²＋3ab−3b²) cm²；（2）51 cm²。
【解析】本题考查用整式表示图形的面积：整体（长方形）减去剪掉的部分（正方形），剩下的就是阴影部分的面积。
【分析】先算整块长方形：面积＝长×宽＝(3a＋2b)(2a−b)。按多项式乘多项式展开：6a²−3ab＋4ab−2b²＝6a²＋ab−2b²。
再算剪去的正方形：(a−b)²＝a²−2ab＋b²。
两式相减：6a²＋ab−2b²−(a²−2ab＋b²)＝6a²＋ab−2b²−a²＋2ab−b²＝5a²＋3ab−3b²（cm²）。注意减号后面括号里的三项都要变号。
（2）先把式子写好再代数：5×3²＋3×3×1−3×1²＝45＋9−3＝51（cm²）。回头验一遍：长 11 cm、宽 5 cm 的长方形面积是 55 cm²，剪去的正方形 2×2＝4 cm²，55−4＝51，对上了。
【详解】解：（1）长方形铁皮的面积是 (3a＋2b)(2a−b)＝6a²＋ab−2b²（cm²），
剪去的正方形面积是 (a−b)²＝a²−2ab＋b²（cm²），
所以剩下部分的面积是
6a²＋ab−2b²−(a²−2ab＋b²)＝5a²＋3ab−3b²（cm²）。
（2）当 a＝3，b＝1 时，
5a²＋3ab−3b²＝5×3²＋3×3×1−3×1²
＝45＋9−3
＝51（cm²）。
答：剩下部分的面积是 51 cm²。
【易错】（1）减正方形时只把第一项变号，写成 6a²＋ab−2b²−a²−2ab＋b²，化简成 5a²−ab−b²；或者把 (a−b)² 写成 a²−b²（漏了中间那一项）。
（2）代值时把 3² 算成 6，或者把 3×1² 算成 (3×1)²。错在前两步：多项式乘多项式要「每一项都乘一遍」，两式相减时括号里每一项都要变号；平方的展开是三项，不是两项。
19. 如图，是由 6 个大小相同、棱长都是 1 cm 的小立方块搭成的几何体，它放在桌面上。
（1）这个几何体从正面看有几个小正方形？从上面看有几个小正方形？
（2）求这个几何体的表面积（包括它与桌面接触的底面）；
（3）若用同样的小立方块重新搭一个表面积为 54 cm² 的正方体，需要多少个小立方块？
【答案】（1）从正面看 5 个，从上面看 4 个；（2）24 cm²；（3）27 个。
【解析】本题考查三视图与组合体的表面积：从正面看数「左右×上下」的格子，从上面看数「左右×前后」的格子；表面积按所有露在外面的面的个数算。
【分析】（1）从正面看只分左右与上下，前后方向叠在一起的方块会压到同一格：这个几何体左右占 3 列，三列从下往上叠到的层数依次是 2、2、1，共 2＋2＋1＝5 个小正方形。
从上面看只分左右与前后：左右 3 列，只有最右一列向后多出一块，共 3＋1＝4 个小正方形。
（2）一个小立方块有 6 个面，6 个共 36 个面。两块贴在一起，贴住的两个面就露不出来，要各减 1。按位置数贴住的对数：底层同一排左右相邻的 2 对（左与中、中与右），同一列上下叠住的 2 对（左列、中列各 1 对），最右一列前后贴住的 1 对，第二层两块之间左右相邻的 1 对，共 2＋2＋1＋1＝6 对，遮住 6×2＝12 个面，表面积＝36−12＝24（cm²）。
（2）也可以直接数露在外面的面：朝上 4 个、朝下 4 个，朝前 5 个、朝后 5 个，朝左 3 个、朝右 3 个，共 8＋10＋6＝24 个，与上面的算法一致。
（3）正方体有 6 个全等的面，表面积 54 cm²，每个面 54÷6＝9（cm²），棱长就是 3 cm（3×3＝9）。一个棱长 3 cm 的正方体要 3×3×3＝27 个小立方块。
【详解】解：（1）从正面看：左右 3 列，三列叠到的层数依次是 2、2、1，共 2＋2＋1＝5 个小正方形；
从上面看：左右 3 列，最右一列向后多出一块，共 3＋1＝4 个小正方形。
（2）6 个小立方块共有 6×6＝36 个面；
小立方块之间贴住的有 6 对，每贴住一对就少 2 个面，共少 6×2＝12 个面，
所以表面积是 36−12＝24（cm²）。
（3）正方体每个面的面积 54÷6＝9（cm²），棱长是 3 cm，
需要 3×3×3＝27（个）小立方块。
答：从正面看 5 个小正方形，从上面看 4 个小正方形；表面积是 24 cm²；需要 27 个小立方块。
【易错】（1）把两个视图的格子数当成小立方块的个数，答成 5 个、4 个就算了；或者把前后方向的方块也画进从正面看的图里，多数出一格。
（2）只数「眼睛看得到的面」，漏掉朝下与朝后的面，答成十几平方厘米；或者两块贴住只减 1 个面（应当减 2 个面）。
（3）把 54 当成棱长，或者算到 54÷6＝9 就答 9 个。错在第一步：三视图先定方向再看格子数；表面积先算 36，再按「贴住几对就少几个面」往下减；正方体先由表面积求一个面的面积，再求棱长，最后算块数。
20. 已知 A＝3x²＋2xy−4x＋5，B＝2x²＋xy−2x＋1。
（1）化简 2A−3B；
（2）若 2A−3B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值；
（3）在（2）的条件下，求 2A−3B 的值。
【答案】（1）xy−2x＋7；（2）y＝2；（3）7。
【解析】本题考查整式的加减与「与某个字母的取值无关」的含义：把结果按 x 的幂整理，含 x 的每一项的系数都为 0，式子的值才与 x 无关。
【分析】（1）先把两个式子分别乘开：2A＝6x²＋4xy−8x＋10，3B＝6x²＋3xy−6x＋3。相减时括号前是负号，三项都要变号：2A−3B＝6x²＋4xy−8x＋10−6x²−3xy＋6x−3＝(6−6)x²＋(4−3)xy＋(−8＋6)x＋(10−3)＝xy−2x＋7。
（2）把结果按 x 的幂整理：xy−2x＋7＝(y−2)x＋7。要与 x 的取值无关，含 x 的那一项必须「消失」，也就是它的系数 y−2＝0，所以 y＝2。
（3）y＝2 时，(y−2)x＋7＝0×x＋7＝7，无论 x 取什么值，结果都是 7。
回头验一遍：取 x＝1，y＝2，A＝3＋4−4＋5＝8，B＝2＋2−2＋1＝3，2A−3B＝16−9＝7；取 x＝5，y＝2，A＝75＋20−20＋5＝80，B＝50＋10−10＋1＝51，2A−3B＝160−153＝7，两次都是 7，与（2）（3）一致。
【详解】解：（1）2A＝6x²＋4xy−8x＋10，3B＝6x²＋3xy−6x＋3，
2A−3B＝6x²＋4xy−8x＋10−6x²−3xy＋6x−3
＝xy−2x＋7。
（2）xy−2x＋7＝(y−2)x＋7，
因为这个式子的值与 x 的取值无关，所以含 x 项的系数为 0，即 y−2＝0，
解得 y＝2。
（3）当 y＝2 时，2A−3B＝(2−2)x＋7＝7，
即不论 x 取什么值，2A−3B 的值都是 7。
【易错】（1）减去 3B 时只把第一项变号，写成 6x²＋4xy−8x＋10−6x²＋3xy−6x＋3，化简成 7xy−14x＋13；
（2）把「与 x 无关」当成「x 的系数等于 1」，得 y＝3；或者只让 x² 项的系数为 0（这里 x² 本来就抵消了），求不出 y。
（3）没求出 y 就随便代 x＝0，答成 7 却说不清为什么。错在第一步：结果先按 x 的幂整理成「(含 y 的系数)×x＋常数」，系数为 0 才与 x 无关；再把 y 的值代回去，看含 x 的项是否整项消失。
—— 全卷完 ——
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2026-2027学年七年级上学期数学北师大版第1-3章期中模拟卷
数学 北师大版 七年级上册（新教材）
满分 100 分 考试时间 90 分钟 ｜ 考查范围：第一章 丰富的图形世界 第二章 有理数及其运算 第三章 整式及其加减
学校 班级 姓名 考号
本册为参考答案，附解答题的分步赋分。
使用说明
本卷为北师大版七年级上册第 1-3 章（丰富的图形世界、有理数及其运算、整式及其加减）的期中模拟卷，共 20 个题位、满分 100 分、考试时间 90 分钟：选择题 8 小题、填空题 5 小题、解答题 7 小题。三件套的分工是：考试版只有题目与答题空行，直接印出来就能考；参考答案只给每题的结果与解答题的分步赋分，可以照着判卷；全解全析逐题给出答案、考点一句解析、思路分析、解答题的分步详解与学生最常错的那种错法，讲评时按题号对照即可。解答题都留了空行，计算题与说理题要求写出过程，只有结果没有过程的按评分标准扣分。本卷的图只表示位置关系，具体数值一律以文字为准。
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。每小题只有一个选项符合题意，把正确选项的字母填在题后括号内）
评分说明 本大题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分。答案唯一，不设部分分：只写字母，多写或涂改看不清的按 0 分计，选错不倒扣。第 1、2 题考第一章（几何体识别、截面），第 3、4、5 题考第二章（数轴上的整数点、乘方的符号、科学记数法的还原），第 6、7、8 题考第三章（多项式的项与次数、同类项判定、合并同类项）。讲评时不要只报答案——这 8 题里有 5 题错在同一个动作上：没有把四个选项逐条摆出来算或逐条对照定义，凭印象挑。
1. 下列物体的形状可以近似地看作圆柱的是（ ）。
A. 一枚硬币 B. 一个骰子
C. 一个漏斗 D. 一个篮球
【答案】A
2. 用一个平面去截下列几何体，截面不可能是三角形的是（ ）。
A. 正方体 B. 五棱柱
C. 圆锥 D. 球
【答案】D
3. 数轴上，表示 −3 的点与表示 4 的点之间（不含这两个点）表示整数的点共有（ ）。
A. 5 个 B. 6 个
C. 7 个 D. 8 个
【答案】B
4. 下列各式中，计算结果为负数的是（ ）。
A. (−2)⁴ B. −(−2)³
C. −2⁴ D. (−2)²×(−2)²
【答案】C
5. 把 2.05×10⁵ 还原成原数，结果是（ ）。
A. 2050 B. 20500
C. 205000 D. 2050000
【答案】C
6. 关于多项式 2x³y−3x²＋5x−1，下列说法中正确的是（ ）。
A. 它是三次多项式 B. 它的一次项是 5x
C. 它的常数项是 1 D. 它的项数是 3
【答案】B
7. 下列各组中的两个单项式，属于同类项的是（ ）。
A. 2x²y 与 3xy² B. −3ab 与 5ba
C. 4m² 与 4m³ D. x² 与 y²
【答案】B
8. 下列合并同类项的结果中，正确的是（ ）。
A. 3a＋2b＝5ab B. 5x²−3x²＝2
C. 4m²n−4nm²＝0 D. 2a＋3a＝5a²
【答案】C
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。把结果直接写在题中的横线上，不写解答过程）
评分说明 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分。每题有多个空的，各空平均赋分，答错一空只扣该空的分数。第 9 题考第一章（n 棱柱的面、棱、顶点），第 10、11、13 题考第二章（新定义运算、数列规律、近似数的精确位），第 12 题考第三章（整式的整体代入求值）。填空题只看结果，但结果的形式要写对：含字母的式子要写成最简形式，上标要写清楚，第 11 题的符号不能丢。
9. 如图是一个五棱柱的模型，它有＿＿＿个面、＿＿＿条棱、＿＿＿个顶点。
【答案】7，15，10
10. 定义一种新运算：a※b＝a²−2ab，例如 2※3＝2²−2×2×3＝−8。则 (−1)※4＝＿＿＿。
【答案】9
11. 按一定规律排列的一列数：−1，3，−5，7，−9，…，则第 n 个数是＿＿＿（用含 n 的式子表示）。
【答案】(−1)ⁿ(2n−1)
12. 已知当 x＝2 时，整式 ax³＋bx＋1 的值是 5，则当 x＝−2 时，这个整式的值是＿＿＿。
【答案】−3
13. 近似数 2.7×10⁴ 精确到＿＿＿位。
【答案】千
三、解答题（本大题共 7 小题，共 61 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
评分说明 本大题共 7 小题，分值依次是 8、8、8、8、9、10、10 分，合计 61 分。解答题按步骤给分：第 14 题每小题 4 分，算对结果但过程跳步的扣 1 分；第 15 题化简 4 分、代入求值 4 分，化简错而代入过程正确的，只给代入部分的分数；第 16 题三问依次 2、2、4 分；第 17 题三问依次 3、2、3 分；第 18 题列式 5 分、代值 4 分；第 19 题三问依次 3、4、3 分；第 20 题三问依次 5、3、2 分。只有结果没有过程的，按「结果对给一半分」处理。
14. 计算：
（1）−1⁴＋(−2)³÷4−(−3)²×2；
（2）(−3)²×(−)−(−8)÷(−2)²＋|−6|。
【答案】（1）−21；（2）5。
解：（1）原式＝−1＋(−2)−18（2分）
＝−21（4分）
（2）原式＝9×(−)＋2＋6（6分）
＝−3＋2＋6＝5（8分）
15. 先化简，再求值：
2(x²y＋xy²)−3(x²y−xy²)＋x²y，其中 x＝−2，y＝1。
【答案】化简得 5xy²；当 x＝−2，y＝1 时，原式＝−10。
解：原式＝2x²y＋2xy²−3x²y＋3xy²＋x²y（2分）
＝5xy²（4分）
当 x＝−2，y＝1 时，原式＝5×(−2)×1²（6分）
＝−10（8分）
16. 如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别是 −2 和 4。
（1）求 A、B 两点之间的距离，并写出线段 AB 上（含端点）表示整数的点共有多少个；
（2）求到 A、B 两点距离相等的点表示的数；
（3）若数轴上点 C 表示的数 x 满足点 C 到点 A 的距离等于点 C 到点 B 的距离的 2 倍，求 x 的值。
【答案】（1）6，共 7 个；（2）1；（3）x＝2 或 x＝10。
解：（1）AB＝|4−(−2)|＝6，线段 AB 上表示整数的点共 7 个（2分）
（2）(−2＋4)÷2＝1，所以所求的点表示的数是 1（4分）
（3）|x＋2|＝2|x−4|：x≥4 时得 x＝10；−2＜x＜4 时得 x＝2；x≤−2 时解得 x＝10 不符合，舍去（8分）
17. 新定义一种运算：对于任意两个有理数 a、b，规定 a⊕b＝a×b−a−b。例如 2⊕3＝2×3−2−3＝1。
（1）求 (−3)⊕4 的值；
（2）这个运算满足交换律吗？请说明理由；
（3）求 (−2)⊕[(−1)⊕3] 的值。
【答案】（1）−13；（2）满足交换律，因为 a⊕b 与 b⊕a 化简后的结果相同；（3）17。
解：（1）(−3)⊕4＝−12＋3−4＝−13（3分）
（2）满足交换律；a⊕b＝ab−a−b 与 b⊕a＝ba−b−a 化简后相同（5分）
（3）(−1)⊕3＝−5，(−2)⊕(−5)＝10＋2＋5＝17（8分）
18. 如图，一块长方形铁皮的长为 (3a＋2b) cm，宽为 (2a−b) cm。在它的一个角上剪去一个边长为 (a−b) cm 的正方形，剩下部分（图中阴影部分）用来做零件。
（1）用含 a、b 的式子表示剩下部分的面积；
（2）当 a＝3，b＝1 时，求剩下部分的面积。
【答案】（1）(5a²＋3ab−3b²) cm²；（2）51 cm²。
解：（1）(3a＋2b)(2a−b)−(a−b)²（3分）
＝5a²＋3ab−3b²（cm²）（5分）
（2）当 a＝3，b＝1 时，原式＝45＋9−3＝51（9分）
答：剩下部分的面积是 51 cm²。
19. 如图，是由 6 个大小相同、棱长都是 1 cm 的小立方块搭成的几何体，它放在桌面上。
（1）这个几何体从正面看有几个小正方形？从上面看有几个小正方形？
（2）求这个几何体的表面积（包括它与桌面接触的底面）；
（3）若用同样的小立方块重新搭一个表面积为 54 cm² 的正方体，需要多少个小立方块？
【答案】（1）从正面看 5 个，从上面看 4 个；（2）24 cm²；（3）27 个。
解：（1）从正面看 5 个，从上面看 4 个（3分）
（2）36−6×2＝24（cm²）（7分）
（3）54÷6＝9，棱长 3 cm，3×3×3＝27（个）（10分）
20. 已知 A＝3x²＋2xy−4x＋5，B＝2x²＋xy−2x＋1。
（1）化简 2A−3B；
（2）若 2A−3B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值；
（3）在（2）的条件下，求 2A−3B 的值。
【答案】（1）xy−2x＋7；（2）y＝2；（3）7。
解：（1）2A−3B＝6x²＋4xy−8x＋10−6x²−3xy＋6x−3（2分）
＝xy−2x＋7（5分）
（2）(y−2)x＋7 与 x 的取值无关，y−2＝0，y＝2（8分）
（3）y＝2 时，2A−3B＝7（10分）
—— 全卷完 ——
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2026-2027学年七年级上学期数学北师大版第1-3章期中模拟卷
数学 北师大版 七年级上册（新教材）
满分 100 分 考试时间 90 分钟 ｜ 考查范围：第一章 丰富的图形世界 第二章 有理数及其运算 第三章 整式及其加减
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。每小题只有一个选项符合题意，把正确选项的字母填在题后括号内）
1. 下列物体的形状可以近似地看作圆柱的是（ ）。
A. 一枚硬币 B. 一个骰子
C. 一个漏斗 D. 一个篮球
2. 用一个平面去截下列几何体，截面不可能是三角形的是（ ）。
A. 正方体 B. 五棱柱
C. 圆锥 D. 球
3. 数轴上，表示 −3 的点与表示 4 的点之间（不含这两个点）表示整数的点共有（ ）。
A. 5 个 B. 6 个
C. 7 个 D. 8 个
4. 下列各式中，计算结果为负数的是（ ）。
A. (−2)⁴ B. −(−2)³
C. −2⁴ D. (−2)²×(−2)²
5. 把 2.05×10⁵ 还原成原数，结果是（ ）。
A. 2050 B. 20500
C. 205000 D. 2050000
6. 关于多项式 2x³y−3x²＋5x−1，下列说法中正确的是（ ）。
A. 它是三次多项式 B. 它的一次项是 5x
C. 它的常数项是 1 D. 它的项数是 3
7. 下列各组中的两个单项式，属于同类项的是（ ）。
A. 2x²y 与 3xy² B. −3ab 与 5ba
C. 4m² 与 4m³ D. x² 与 y²
8. 下列合并同类项的结果中，正确的是（ ）。
A. 3a＋2b＝5ab B. 5x²−3x²＝2
C. 4m²n−4nm²＝0 D. 2a＋3a＝5a²
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。把结果直接写在题中的横线上，不写解答过程）
9. 如图是一个五棱柱的模型，它有＿＿＿个面、＿＿＿条棱、＿＿＿个顶点。
10. 定义一种新运算：a※b＝a²−2ab，例如 2※3＝2²−2×2×3＝−8。则 (−1)※4＝＿＿＿。
11. 按一定规律排列的一列数：−1，3，−5，7，−9，…，则第 n 个数是＿＿＿（用含 n 的式子表示）。
12. 已知当 x＝2 时，整式 ax³＋bx＋1 的值是 5，则当 x＝−2 时，这个整式的值是＿＿＿。
13. 近似数 2.7×10⁴ 精确到＿＿＿位。
三、解答题（本大题共 7 小题，共 61 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
14. 计算：
（1）−1⁴＋(−2)³÷4−(−3)²×2；
（2）(−3)²×(−)−(−8)÷(−2)²＋|−6|。
15. 先化简，再求值：
2(x²y＋xy²)−3(x²y−xy²)＋x²y，其中 x＝−2，y＝1。
16. 如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别是 −2 和 4。
（1）求 A、B 两点之间的距离，并写出线段 AB 上（含端点）表示整数的点共有多少个；
（2）求到 A、B 两点距离相等的点表示的数；
（3）若数轴上点 C 表示的数 x 满足点 C 到点 A 的距离等于点 C 到点 B 的距离的 2 倍，求 x 的值。
17. 新定义一种运算：对于任意两个有理数 a、b，规定 a⊕b＝a×b−a−b。例如 2⊕3＝2×3−2−3＝1。
（1）求 (−3)⊕4 的值；
（2）这个运算满足交换律吗？请说明理由；
（3）求 (−2)⊕[(−1)⊕3] 的值。
18. 如图，一块长方形铁皮的长为 (3a＋2b) cm，宽为 (2a−b) cm。在它的一个角上剪去一个边长为 (a−b) cm 的正方形，剩下部分（图中阴影部分）用来做零件。
（1）用含 a、b 的式子表示剩下部分的面积；
（2）当 a＝3，b＝1 时，求剩下部分的面积。
19. 如图，是由 6 个大小相同、棱长都是 1 cm 的小立方块搭成的几何体，它放在桌面上。
（1）这个几何体从正面看有几个小正方形？从上面看有几个小正方形？
（2）求这个几何体的表面积（包括它与桌面接触的底面）；
（3）若用同样的小立方块重新搭一个表面积为 54 cm² 的正方体，需要多少个小立方块？
20. 已知 A＝3x²＋2xy−4x＋5，B＝2x²＋xy−2x＋1。
（1）化简 2A−3B；
（2）若 2A−3B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值；
（3）在（2）的条件下，求 2A−3B 的值。
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